高三数学二轮高考专题辅导与训练打包检测试题：专题五第2讲课时训练提能 6页

专题五 第2讲　椭圆　双曲线　抛物线 课时训练提能 ‎[限时45分钟，满分75分]‎ 一、选择题(每小题4分，共24分)‎ ‎1．(2012·贵阳模拟)抛物线y＝x2的焦点坐标是 A.　　 B．(1,0)‎ C.　　 D．(0,1)‎ 解析　把抛物线方程化为标准形式得x2＝4y，‎ ‎∴焦点坐标为(0,1)．‎ 答案　D ‎2．(2012·黄岗模拟)椭圆短轴的一个端点看长轴的两个端点的视角为120°，则这个椭圆的离心率是 A. B. C. D. 解析　据题意知＝，∴e2＝1－＝，∴e＝.‎ 答案　C ‎3．(2012·荆州模拟)已知点P在抛物线y2＝4x上，则点P到直线l1：4x－3y＋6＝0的距离和到直线l2：x＝－1的距离之和的最小值为 A. B. C．2 D．3‎ 解析　易知直线l2：x＝－1是抛物线y2＝4x的准线，抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，据抛物线的定义知所求的距离之和的最小值为点F到直线l1的距离，即 d＝＝2.‎ 答案　C ‎4．(2012·大纲全国卷)已知F1、F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos∠F1PF2＝‎ A. B. C. D. 解析　利用双曲线的定义及余弦定理求解．‎ 由x2－y2＝2知，a2＝2，b2＝2，c2＝a2＋b2＝4，∴a＝，c＝2.‎ 又∵|PF1|－|PF2|＝2a，|PF1|＝2|PF2|，‎ ‎∴|PF1|＝4，|PF2|＝2.‎ 又∵|F1F2|＝2c＝4，‎ ‎∴由余弦定理得cos∠F1PF2＝＝.‎ 答案　C ‎5．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点与抛物线y2＝4x的焦点重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的方程为 A．5x2－＝1 B.－＝1‎ C.－＝1 D．5x2－＝1‎ 解析　∵抛物线y2＝4x的焦点为(1,0)，∴c＝1；‎ 又e＝，a＝，b2＝c2－a2＝，所以该双曲线方程为5x2－＝1，故选D.‎ 答案　D ‎6．(2012·芜湖模拟)已知P为抛物线y2＝4x上一个动点，Q为圆x2＋(y－4)2＝1上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是 A．5 B．8‎ C.＋2 D.－1‎ 解析　设圆心为C，则C(0,4)，半径r＝1，设抛物线的焦点F(1,0)，据抛物线的定义知，点P到点Q的距离与点P到抛物线准线距离之和为|PQ|＋|PF|＝|PC|－1＋|PF|＝|PC|＋|PF|≥|CF|－1＝－1.‎ 答案　D 二、填空题(每小题5分，共15分)‎ ‎7．(2012·肇庆模拟)短轴长为，离心率e＝的椭圆的两焦点为F1，F2，过F1作直线交椭圆于A，B两点，则△ABF2的周长为________．‎ 解析　由题知即，解得，‎ 由椭圆的定义知△ABF2的周长为4a＝4×＝6.‎ 答案　6‎ ‎8．已知双曲线kx2－y2＝1的一条渐近线与直线2x＋y＋1＝0垂直，那么双曲线的离心率为________，渐近线方程为________．‎ 解析　双曲线kx2－y2＝1的渐近线方程是y＝±x.‎ 又因为一条渐近线方程与直线2x＋y＋1＝0垂直，‎ ‎∴＝，k＝，‎ ‎∴双曲线的离心率为e＝＝；‎ 渐近线方程为x±y＝0.‎ 答案　　x±y＝0‎ ‎9．(2012·衡水模拟)已知＋＝1(a＞b＞0)，M，N是椭圆的左、右顶点，P是椭圆上任意一点，且直线PM、PN的斜率分别为k1，k2(k1k2≠0)，若|k1|＋|k2|的最小值为1，则椭圆的离心率为________．‎ 解析　设P(x0，y0)，不妨设y0＞0，‎ 则k1＝＞0，k2＝＜0，‎ ‎∴|k1|＋|k2|＝k1－k2＝－＝.‎ 又∵＋＝1，∴a2－x＝y，‎ ‎∴|k1|＋|k2|＝＝.‎ ‎∵0＜y0≤b，∴当y0＝b时，|k1|＋|k2|的最小值为＝＝1，‎ ‎∴＝，e2＝＝1－＝，∴e＝.‎ 答案　 三、解答题(每小题12分，共36分)‎ ‎10．如图所示，已知直线l：y＝kx＋2(k为常数)过椭圆＋＝1(a＞b＞0)的上顶点B和左焦点F，直线l被圆x2＋y2＝4截得的弦长为d.‎ ‎(1)若d＝2，求k的值；‎ ‎(2)若d≥，求椭圆离心率e的取值范围．‎ 解析　(1)取圆中弦的中点M，连接OM.‎ 由平面几何知识，知|OM|＝＝1，‎ 解得k2＝3，k＝±.‎ ‎∵直线l过点F、B，∴k＞0，则k＝.‎ ‎(2)设圆中弦的中点为M，连接OM，则|OM|2＝，‎ d2＝4≥2，解得k2≥.‎ ‎∴e2＝＝＝≤.‎ ‎∴0＜e≤.‎ ‎11．设F1，F2分别是椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的左，右焦点，过F1且斜率为1的直线l与E相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列．‎ ‎(1)求E的离心率；‎ ‎(2)设点P(0，－1)满足|PA|＝|PB|，求E的方程．‎ 解析　(1)由椭圆定义知|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4a，‎ 因为2|AB|＝|AF2|＋|BF2|，‎ 所以|AB|＝a.‎ l的方程为y＝x＋c，其中c＝.‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点坐标满足方程组 化简得(a2＋b2)x2＋2a2cx＋a2(c2－b2)＝0，‎ 则x1＋x2＝，x1x2＝.‎ 因为直线AB的斜率为1，所以|AB|＝|x2－x1|‎ ‎＝ .‎ 故a＝，得a2＝2b2，‎ 所以E的离心率e＝＝＝.‎ ‎(2)设AB的中点为N(x0，y0)，‎ 由(1)知x0＝＝＝－c，‎ y0＝x0＋c＝.‎ 由|PA|＝|PB|，得kPN＝－1，即＝－1，‎ 得c＝3，从而a＝3，b＝3.‎ 故椭圆E的方程为＋＝1.‎ ‎12．已知直线l：y＝x＋m，m∈R.‎ ‎(1)若以点M(2,0)为圆心的圆与直线l相切于点P，且点P在y轴上，求该圆的方程；‎ ‎(2)若直线l关于x轴对称的直线为l′，问直线l′与抛物线C：x2＝4y是否相切？说明理由．‎ 解析　(1)依题意，点P的坐标为(0，m)．‎ 因为MP⊥l，‎ 所以×1＝－1，‎ 解得m＝2，‎ 即点P的坐标为(0,2)．‎ 从而圆的半径 r＝|MP|＝＝2，‎ 故所求圆的方程为(x－2)2＋y2＝8.‎ ‎(2)因为直线l的方程为y＝x＋m，‎ 所以直线l′的方程为y＝－x－m.‎ 由消去y，整理得x2＋4x＋4m＝0.‎ Δ＝42－4×‎4m＝16(1－m)．‎ 当m＝1，即Δ＝0时，直线l′与抛物线C相切；‎ 当m≠1，即Δ≠0时，直线l′与抛物线C不相切．‎ 综上，当m＝1时，直线l′与抛物线C相切；‎ 当m≠1时，直线l′与抛物线C不相切．‎