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- 2021-06-11 发布
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2016-2017学年宁夏石嘴山市平罗中学高二(上)期末数学试卷(文科)
一、选择题(本题共12小题,每题5分,共60分,每小题只有唯一正确答案.)
1.直线x﹣y+1=0的倾斜角为( )
A.60° B.120° C.150° D.30°
2.某市有大型超市200家、中型超市400家、小型超市1400 家.为掌握各类超市的营业情况,现按分层抽样方法抽取一个容量为100的样本,应抽取中型超市( )
A.70家 B.50家 C.20家 D.10家
3.如图所示,某几何体的正视图、侧视图均为等腰三角形,俯视图是正方形,则该几何体的体积是( )
A.2 B.4 C. D.
4.如表是某厂1﹣4月份用水量(单位:百吨)的一组数据:由散点图可知,用水量与月份之间有较好的线性相关关系,其线性回归方程是=﹣0.7x+,则=( )
月份x
1
2
3
4
用水量y
4.5
4
3
2.5
A.10.5 B.5.15 C.5.25 D.5.2
5.输入x=1时,运行如图所示的程序,输出的x值为( )
A.4 B.5 C.7 D.9
6.已知实数x,y满足,则z=4x+y的最大值为( )
A.10 B.8 C.2 D.0
7.样本中共有五个个体,其值分别为a,0,1,2,3,若该样本的平均值为1,则样本方差为( )
A.2 B.2.3 C.3 D.3.5
8.知a,b,c为三条不重合的直线,α,β,γ为三个不重合的平面:
①a∥c,b∥c⇒a∥b;
②a∥γ,b∥γ⇒a∥b;
③a∥c,c∥α⇒a∥α;
④a⊄α,b⊂α,a∥b⇒a∥α.
其中正确的命题是( )
A.①④ B.①② C.②④ D.③④
9.某校300名高三学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示,由图中数据估计此次数学成绩的众数、平均分分别为( )
A.60、69 B.65、71 C.65、73 D.60、75
10.从装有2支铅笔和2支钢笔的文具袋内任取2支笔,那么互斥而不对立的两个事件是( )
A.恰有1支钢笔;恰有2支铅笔
B.至少有1支钢笔;都是钢笔
C.至少有1支钢笔;至少有1支铅笔
D.至少有1个钢笔;都是铅笔
11.如图程序运行后,输出的结果为( )
A. B. C. D.
12.如图,棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,P为线段A1B上的动点,则下列结论错误的是( )
A.DC1⊥D1P B.平面D1A1P⊥平面A1AP
C.∠APD1的最大值为90° D.AP+PD1的最小值为
二、填空题(请将正确答案填在答案卷的横线上.每小题5分,共20分)
13.已知圆C1:x2+y2+2x+8y﹣8=0与圆C2:x2+y2﹣4x﹣4y﹣2=0相交,则圆C1
与圆C2的公共弦所在的直线的方程为 .
14.已知△ABC的三顶点坐标为A(3,0),B(0,4),C(0,0),D点的坐标为(2,0),向△ABC内部投一
点P,那么点P落在△ABD内的概率为 .
15.无论m为何值,直线l:(2m+1)x+(m+1)y﹣7m﹣4=0恒过一定点P,则点P的坐标为 .
16.不等式组所确定的平面区域记为D,则(x﹣2)2+(y+3)2的最小值为 .
三、解答题(解答要有必要的文字说明或演算过程,否则不得分,共70分)
17.设直线x+2y+4=0和圆x2+y2﹣2x﹣15=0相交于点A,B.
(1)求弦AB的垂直平分线方程;
(2)求弦AB的长.
18.某地植被面积 x(公顷)与当地气温下降的度数y(°C)之间有如下的对应数据:
x(公顷)
20
40
50
60
80
y(°C)
3
4
4
4
5
(1)请用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程=x+;
(2)根据(1)中所求线性回归方程,如果植被面积为200公顷,那么下降的气温大约是多少℃?
(附:回归方程系数公式=, =﹣)
19.如图,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AA1⊥底面ABC,且△ABC为正三角形,AA1=AB=6,D为AC的中点.
(1)求证:直线AB1∥平面BC1D;
(2)求证:平面BC1D⊥平面ACC1A;
(3)求三棱锥C﹣BC1D的体积.
20.一个袋中装有5个形状大小完全相同的球,其中有2个红球,3个白球.
(Ⅰ)从袋中随机取两个球,求取出的两个球颜色不同的概率;
(Ⅱ)从袋中随机取一个球,将球放回袋中,然后再从袋中随机取一个球,求两次取出的球中至少有一个红球的概率.
21.20名学生某次数学考试成绩(单位:分)的频率分布直方图如图:
(Ⅰ)求频率分布直方图中a的值;
(Ⅱ)分别求出成绩落在[50,60)与[60,70)中的学生人数;
(Ⅲ)从成绩在[50,70)的学生任选2人,求此2人的成绩都在[60,70)中的概率.
22.已知圆C:(x﹣3)2+(y﹣4)2=4,直线l1过定点A(1,0).
(Ⅰ)若l1与圆相切,求l1的方程;
(Ⅱ)若l1与圆相交于P,Q两点,线段PQ的中点为M,又l1与l2:x+2y+2=0的交点为N,求证: •为定值.
2016-2017学年宁夏石嘴山市平罗中学高二(上)期末数学试卷(文科)
参考答案与试题解析
一、选择题(本题共12小题,每题5分,共60分,每小题只有唯一正确答案.)
1.直线x﹣y+1=0的倾斜角为( )
A.60° B.120° C.150° D.30°
【考点】直线的倾斜角.
【分析】求出直线的斜率,再求直线的倾斜角,得到选项.
【解答】解:由直线x﹣y+1=0可知:直线的斜率k=tanα=,
∵0≤α<π,且tanα=,
∴α=60°,
故选A.
2.某市有大型超市200家、中型超市400家、小型超市1400 家.为掌握各类超市的营业情况,现按分层抽样方法抽取一个容量为100的样本,应抽取中型超市( )
A.70家 B.50家 C.20家 D.10家
【考点】分层抽样方法.
【分析】根据分层抽样的定义即可得到结论.
【解答】解:∵大型超市200家、中型超市400家、小型超市1400 家,
∴按分层抽样方法抽取一个容量为100的样本,应抽取中型超市为=20,
故选:C.
3.如图所示,某几何体的正视图、侧视图均为等腰三角形,俯视图是正方形,则该几何体的体积是( )
A.2 B.4 C. D.
【考点】简单空间图形的三视图.
【分析】此几何体是四棱锥,由图形其高与底面边长已知,利用棱锥的体积公式,即可得出结论.
【解答】解:由三视图知,此几何体是一个高为,底面边长为2的四棱锥,顶点在底面上的投影是底面的中心,
故其几何体的体积是=,
故选C.
4.如表是某厂1﹣4月份用水量(单位:百吨)的一组数据:由散点图可知,用水量与月份之间有较好的线性相关关系,其线性回归方程是=﹣0.7x+,则=( )
月份x
1
2
3
4
用水量y
4.5
4
3
2.5
A.10.5 B.5.15 C.5.25 D.5.2
【考点】线性回归方程.
【分析】计算样本中心,代入回归方程得出.
【解答】解: =, =3.5.
∴3.5=﹣0.7×2.5+,解得=5.25.
故选C.
5.输入x=1时,运行如图所示的程序,输出的x值为( )
A.4 B.5 C.7 D.9
【考点】程序框图.
【分析】由程序框图依次计算程序运行的结果,直到满足条件n≥4时,计算x的值.
【解答】解:由程序框图知:第一次运行x=1+2=3,n=2;
第二次运行x=1+2+2=5,n=3;
第三次运行x=1+2+2+2=7,n=4,此时满足条件n≥4,输出x=7.
故选C.
6.已知实数x,y满足,则z=4x+y的最大值为( )
A.10 B.8 C.2 D.0
【考点】简单线性规划.
【分析】画出足约束条件的平面区域,再将平面区域的各角点坐标代入进行判断,即可求出4x+y的最大值.
【解答】解:已知实数x、y满足,
在坐标系中画出可行域,如图中阴影三角形,
三个顶点分别是A(0,0),B(0,2),C(2,0),
由图可知,当x=2,y=0时,
4x+y的最大值是8.
故选:B.
7.样本中共有五个个体,其值分别为a,0,1,2,3,若该样本的平均值为1,则样本方差为( )
A.2 B.2.3 C.3 D.3.5
【考点】极差、方差与标准差.
【分析】先由数据的平均数公式求得a,再根据方差的公式计算.
【解答】解:∵由题可知样本的平均值为1,
∴(a+0+1+2+3)=1,解得a=﹣1,
∴样本的方差为 [(﹣1﹣1)2+(0﹣1)2+(1﹣1)2+(2﹣1)2+(3﹣1)2]=2.
故选A.
8.知a,b,c为三条不重合的直线,α,β,γ为三个不重合的平面:
①a∥c,b∥c⇒a∥b;
②a∥γ,b∥γ⇒a∥b;
③a∥c,c∥α⇒a∥α;
④a⊄α,b⊂α,a∥b⇒a∥α.
其中正确的命题是( )
A.①④ B.①② C.②④ D.③④
【考点】空间中直线与平面之间的位置关系.
【分析】由平行公理知①正确;在②中,a与b平行、相交或异面;在③中,a∥α或a⊂α;由线面平行的判定定理得④正确.
【解答】解:由a,b,c为三条不重合的直线,α,β,γ为三个不重合的平面,知:
在①中,a∥c,b∥c⇒a∥b,由平行公理知①正确;
在②中,a∥γ,b∥γ⇒a与b平行、相交或异面,故②错误;
在③中,a∥c,c∥α⇒a∥α或a⊂α,故③错误;
在④中,a⊄α,b⊂α,a∥b⇒a∥α,由线面平行的判定定理得④正确.
故选:A.
9.某校300名高三学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示,由图中数据估计此次数学成绩的众数、平均分分别为( )
A.60、69 B.65、71 C.65、73 D.60、75
【考点】频率分布直方图.
【分析】由频率分布直方图能估计此次数学成绩的众数,由频率分布图的性质先求出a=0.005,由此能估计平均分.
【解答】解:由频率分布直方图知:
估计此次数学成绩的众数为: =65,
由频率分布图的性质得:(2a+0.02+0.03+0.04)×10=1,
解得a=0.005,
平均分为:0.005×10×55+0.04×10×65+0.03×10×75+0.02×10×85+0.005×10×95=73.
故选:C.
10.从装有2支铅笔和2支钢笔的文具袋内任取2支笔,那么互斥而不对立的两个事件是( )
A.恰有1支钢笔;恰有2支铅笔
B.至少有1支钢笔;都是钢笔
C.至少有1支钢笔;至少有1支铅笔
D.至少有1个钢笔;都是铅笔
【考点】互斥事件与对立事件.
【分析】根据恰有1支钢笔 和 恰有2支铅笔 互斥但不对立,至少有1支钢笔 和 都是钢笔不互斥,至少有1支钢笔 和 至少有1支铅笔 不互斥,至少有1个钢笔 和 都是铅笔 是对立事件,得到答案.
【解答】解:A 恰有1支钢笔 和 恰有2支铅笔 互斥但不对立.
B至少有1支钢笔 和 都是钢笔不互斥.
C至少有1支钢笔 和 至少有1支铅笔 不互斥.
D 至少有1个钢笔 和 都是铅笔 是对立事件.
故选 A.
11.如图程序运行后,输出的结果为( )
A. B. C. D.
【考点】伪代码.
【分析】由题意,S=++…+,利用裂项法即可得出结论.
【解答】解:由题意,S=++…+=1﹣+﹣+…+﹣=.
故选:D.
12.如图,棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,P为线段A1B上的动点,则下列结论错误的是( )
A.DC1⊥D1P B.平面D1A1P⊥平面A1AP
C.∠APD1的最大值为90° D.AP+PD1的最小值为
【考点】棱柱的结构特征.
【分析】利用DC1⊥面A1BCD1,可得DC1⊥D1P,A正确
利用平面D1A1BC,⊥平面A1ABB1,得出平面D1A1P⊥平面A1AP,B正确;
当A1P= 时,∠APD1为直角,当0<A1P<时,∠APD1为钝角,C错;
将面AA1B与面A1BCD1沿A1B展成平面图形,线段AD1即为AP+PD1的最小值.
【解答】解:∵A1D1⊥DC1,A1B⊥DC1,∴DC1⊥面A1BCD1,D1P⊂面A1BCD1,∴DC1⊥D1P,A正确
∵平面D1A1P即为平面D1A1BC,平面A1AP 即为平面A1ABB1,切D1A1⊥平面A1ABB1,
∴平面D1A1BC,⊥平面A1ABB1,∴平面D1A1P⊥平面A1AP,∴B正确;
当0<A1P<时,∠APD1为钝角,∴C错;
将面AA1B与面A1BCD1沿A1B展成平面图形,线段AD1即为AP+PD1的最小值,
在△D1A1A中,∠D1A1A=135°利用余弦定理解三角形得AD1=,
即AP+PD1≥,
∴D正确.
故选:C.
二、填空题(请将正确答案填在答案卷的横线上.每小题5分,共20分)
13.已知圆C1:x2+y2+2x+8y﹣8=0与圆C2:x2+y2﹣4x﹣4y﹣2=0相交,则圆C1与圆C2的公共弦所在的直线的方程为 x+2y﹣1=0 .
【考点】圆与圆的位置关系及其判定.
【分析】利用圆系方程,求出公共弦所在直线方程.
【解答】解:圆C1:x2+y2+2x+8y﹣8=0…①和C2:x2+y2﹣4x﹣4y﹣2=0…②
①﹣②得公共弦所在的直线方程为:6x+12y﹣6=0,即x+2y﹣1=0.
故答案为x+2y﹣1=0.
14.已知△ABC的三顶点坐标为A(3,0),B(0,4),C(0,0),D点的坐标为(2,0),向△ABC内部投一
点P,那么点P落在△ABD内的概率为 .
【考点】几何概型.
【分析】欲求的点落在△ABD内的概率,则可求出△ABD与△ABC的面积之比,再根据几何概型概率公式求解.
【解答】解:因为D是AC 上的靠近A点的三等份点,
所以S△ABD=S△ABC,
所以点落在△ABD内的概率为P=.
故答案为.
15.无论m为何值,直线l:(2m+1)x+(m+1)y﹣7m﹣4=0恒过一定点P,则点P的坐标为 (3,1) .
【考点】恒过定点的直线.
【分析】直线l即:m(2x+y﹣7)+(x+y﹣4)=0,一定经过直线2x+y﹣7=0和 x+y﹣4=0的交点,解方程组,求得定点P的坐标.
【解答】解:直线l:(2m+1)x+(m+1)y﹣7m﹣4=0 即 m(2x+y﹣7)+(x+y﹣4)=0,
故直线l一定经过直线2x+y﹣7=0和 x+y﹣4=0的交点.
由 求得,
∴点P的坐标为(3,1),
故答案为 (3,1).
16.不等式组所确定的平面区域记为D,则(x﹣2)2+(y+3)2的最小值为 4 .
【考点】简单线性规划.
【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用线性规划的知识即可得到结论.
【解答】解:不等式组所确定的平面区域记为D,如图:阴影ABC,A(2,2),B(﹣1,﹣1),C(0,﹣2),
(x﹣2)2+(y+3)2的几何意义是可行域的D与P连线距离的平方,由图形可知,C到P的距离的平方最小,
所以z最小值=(0﹣2)2+(﹣3+3)2=4.
故答案为:4.
三、解答题(解答要有必要的文字说明或演算过程,否则不得分,共70分)
17.设直线x+2y+4=0和圆x2+y2﹣2x﹣15=0相交于点A,B.
(1)求弦AB的垂直平分线方程;
(2)求弦AB的长.
【考点】直线与圆的位置关系;直线的一般式方程与直线的垂直关系.
【分析】(1)求出圆的圆心为C(1,0),半径r=4.根据垂径定理,弦AB的垂直平分线经过圆心C,由此加以计算即可得出AB的垂直平分线方程;
(2)利用点到直线的距离公式,算出圆心C(1,0)到直线x+2y+4=0的距离,再根据垂径定理加以计算,可得弦AB的长.
【解答】解:(1)∵圆x2+y2﹣2x﹣15=0化成标准方程得(x﹣1)2+y2=16,
∴圆心为C(1,0),半径r=4.
∵直线x+2y+4=0和圆x2+y2﹣2x﹣15=0相交于点A、B,
∴设弦AB的垂直平分线为l:2x﹣y+m=0,
由垂径定理,可知点C(1,0)在l上,得2×1﹣0+m=0,解之得m=﹣2.
因此,弦AB的垂直平分线方程为2x﹣y﹣2=0;
(2)圆心C(1,0)到直线x+2y+4=0的距离为:
d==.
根据垂径定理,得|AB|=2=2,即弦AB的长等于2.
18.某地植被面积 x(公顷)与当地气温下降的度数y(°C)之间有如下的对应数据:
x(公顷)
20
40
50
60
80
y(°C)
3
4
4
4
5
(1)请用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程=x+;
(2)根据(1)中所求线性回归方程,如果植被面积为200公顷,那么下降的气温大约是多少℃?
(附:回归方程系数公式=, =﹣)
【考点】线性回归方程.
【分析】(1)根据表中数据,计算、,求出回归方程的系数、,写出线性回归方程;
(2)利用回归直线方程求出x=200时的值即可.
【解答】解:(1)根据表中数据,计算
=×(20+40+50+60+80)=50,
=×(3+4+4+4+5)=4,
xiyi=20×3+40×4+50×4+60×4+80×5=1060,
=202+402+502+602+802=14500;
则回归方程系数为
===0.03,
=﹣=4﹣0.03×50=2.5,
所以y关于x的线性回归方程为=0.03x+2.5;
(2)由(1)得:当x=200时, =0.03×200+2.5=8.5,
即如果植被面积为200公顷,那么下降的气温大约是8.5℃.
19.如图,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AA1⊥底面ABC,且△ABC为正三角形,AA1=AB=6,D为AC的中点.
(1)求证:直线AB1∥平面BC1D;
(2)求证:平面BC1D⊥平面ACC1A;
(3)求三棱锥C﹣BC1D的体积.
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积;平面与平面垂直的判定.
【分析】(1)连接B1C交BC1于点O,连接OD,则点O为B1C的中点.可得DO为△AB1C中位线,A1B∥OD,结合线面平行的判定定理,得A1B∥平面BC1D;
(2)由AA1⊥底面ABC,得AA1⊥BD.正三角形ABC中,中线BD⊥AC,结合线面垂直的判定定理,得BD⊥平面ACC1A1,最后由面面垂直的判定定理,证出平面BC1D⊥平面ACC1A;
(3)利用等体积转换,即可求三棱锥C﹣BC1D的体积.
【解答】(1)证明:连接B1C交BC1于点O,连接OD,则点O为B1C的中点.
∵D为AC中点,得DO为△AB1C中位线,
∴A1B∥OD.
∵OD⊂平面AB1C,A1B⊄平面BC1D,
∴直线AB1∥平面BC1D;
(2)证明:∵AA1⊥底面ABC,
∴AA1⊥BD,
∵底面ABC正三角形,D是AC的中点
∴BD⊥AC
∵AA1∩AC=A,∴BD⊥平面ACC1A1,
∵BD⊂平面BC1D,∴平面BC1D⊥平面ACC1A;
(3)解:由(2)知,△ABC中,BD⊥AC,BD=BCsin60°=3,
∴S△BCD==,
∴VC﹣BC1D=VC1﹣BCD=••6=9.
20.一个袋中装有5个形状大小完全相同的球,其中有2个红球,3个白球.
(Ⅰ)从袋中随机取两个球,求取出的两个球颜色不同的概率;
(Ⅱ)从袋中随机取一个球,将球放回袋中,然后再从袋中随机取一个球,求两次取出的球中至少有一个红球的概率.
【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率.
【分析】(Ⅰ)所有的取法共有种,而取出的两个球颜色不同的取法有2×3种,由此求得取出的两个球颜色不同的概率.
(Ⅱ)所有的取法共有5×5种,其中,没有红球的取法有3×3=9种,由此求得求得没有红球的概率,再用1减去此概率,即得所求.
【解答】解:(Ⅰ)从袋中随机取两个球,所有的取法共有=10种,
而取出的两个球颜色不同的取法有2×3=6种,
∴取出的两个球颜色不同的概率为=.
(Ⅱ)从袋中随机取一个球,将球放回袋中,然后再从袋中随机取一个球,
所有的取法共有5×5=25种,其中,没有红球的取法有3×3=9种,
故没有红球的概率为,
故求两次取出的球中至少有一个红球的概率为1﹣=.
21.20名学生某次数学考试成绩(单位:分)的频率分布直方图如图:
(Ⅰ)求频率分布直方图中a的值;
(Ⅱ)分别求出成绩落在[50,60)与[60,70)中的学生人数;
(Ⅲ)从成绩在[50,70)的学生任选2人,求此2人的成绩都在[60,70)中的概率.
【考点】古典概型及其概率计算公式;频率分布直方图.
【分析】(Ⅰ)根据频率分布直方图求出a的值;
(Ⅱ)由图可知,成绩在[50,60)和[60,70)的频率分别为0.1和0.15,用样本容量20乘以对应的频率,即得对应区间内的人数,从而求出所求.
(Ⅲ)分别列出满足[50,70)的基本事件,再找到在[60,70)的事件个数,根据古典概率公式计算即可.
【解答】解:(Ⅰ)根据直方图知组距=10,由(2a+3a+6a+7a+2a)×10=1,解得a=0.005.
(Ⅱ)成绩落在[50,60)中的学生人数为2×0.005×10×20=2,
成绩落在[60,70)中的学生人数为3×0.005×10×20=3.
(Ⅲ)记成绩落在[50,60)中的2人为A,B,成绩落在[60,70)中的3人为C,D,E,则成绩在[50,70)的学生任选2人的基本事件有AB,AC,AD,AE,BC,BD,BE,CD,CE,DE共10个,
其中2人的成绩都在[60,70)中的基本事件有CD,CE,DE共3个,
故所求概率为P=.
22.已知圆C:(x﹣3)2+(y﹣4)2=4,直线l1过定点A(1,0).
(Ⅰ)若l1与圆相切,求l1的方程;
(Ⅱ)若l1与圆相交于P,Q两点,线段PQ的中点为M,又l1与l2:x+2y+2=0的交点为N,求证: •为定值.
【考点】直线和圆的方程的应用;圆的切线方程.
【分析】(I)由直线l1与圆相切,则圆心到直线的距离等于半径,求得直线方程,注意分类讨论;
(II)分别联立相应方程,求得M,N的坐标,再求•.
【解答】解:(Ⅰ)①若直线l1的斜率不存在,即直线x=1,符合题意.
②若直线l1斜率存在,设直线l1为y=k(x﹣1),即kx﹣y﹣k=0.
由题意知,圆心(3,4)到已知直线l1的距离等于半径2,
即解之得.
所求直线方程是x=1,3x﹣4y﹣3=0.
(Ⅱ)直线与圆相交,斜率必定存在,且不为0,可设直线方程为kx﹣y﹣k=0
由得又直线CM与l1垂直,
得.
∴•=为定值.