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  • 2021-06-11 发布

数学卷·2018届宁夏石嘴山市平罗中学高二上学期期末数学试卷(文科)+(解析版)

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‎2016-2017学年宁夏石嘴山市平罗中学高二(上)期末数学试卷(文科)‎ ‎ ‎ 一、选择题(本题共12小题,每题5分,共60分,每小题只有唯一正确答案.)‎ ‎1.直线x﹣y+1=0的倾斜角为(  )‎ A.60° B.120° C.150° D.30°‎ ‎2.某市有大型超市200家、中型超市400家、小型超市1400 家.为掌握各类超市的营业情况,现按分层抽样方法抽取一个容量为100的样本,应抽取中型超市(  )‎ A.70家 B.50家 C.20家 D.10家 ‎3.如图所示,某几何体的正视图、侧视图均为等腰三角形,俯视图是正方形,则该几何体的体积是(  )‎ A.2 B.4 C. D.‎ ‎4.如表是某厂1﹣4月份用水量(单位:百吨)的一组数据:由散点图可知,用水量与月份之间有较好的线性相关关系,其线性回归方程是=﹣0.7x+,则=(  )‎ ‎ 月份x ‎ 1‎ ‎ 2‎ ‎ 3‎ ‎ 4‎ ‎ 用水量y ‎ 4.5‎ ‎4 ‎ ‎3 ‎ ‎2.5 ‎ A.10.5 B.5.15 C.5.25 D.5.2‎ ‎5.输入x=1时,运行如图所示的程序,输出的x值为(  )‎ A.4 B.5 C.7 D.9‎ ‎6.已知实数x,y满足,则z=4x+y的最大值为(  )‎ A.10 B.8 C.2 D.0‎ ‎7.样本中共有五个个体,其值分别为a,0,1,2,3,若该样本的平均值为1,则样本方差为(  )‎ A.2 B.2.3 C.3 D.3.5‎ ‎8.知a,b,c为三条不重合的直线,α,β,γ为三个不重合的平面:‎ ‎①a∥c,b∥c⇒a∥b;‎ ‎②a∥γ,b∥γ⇒a∥b;‎ ‎③a∥c,c∥α⇒a∥α;‎ ‎④a⊄α,b⊂α,a∥b⇒a∥α.‎ 其中正确的命题是(  )‎ A.①④ B.①② C.②④ D.③④‎ ‎9.某校300名高三学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示,由图中数据估计此次数学成绩的众数、平均分分别为(  )‎ A.60、69 B.65、71 C.65、73 D.60、75‎ ‎10.从装有2支铅笔和2支钢笔的文具袋内任取2支笔,那么互斥而不对立的两个事件是(  )‎ A.恰有1支钢笔;恰有2支铅笔 B.至少有1支钢笔;都是钢笔 C.至少有1支钢笔;至少有1支铅笔 D.至少有1个钢笔;都是铅笔 ‎11.如图程序运行后,输出的结果为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎12.如图,棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,P为线段A1B上的动点,则下列结论错误的是(  )‎ A.DC1⊥D1P B.平面D1A1P⊥平面A1AP C.∠APD1的最大值为90° D.AP+PD1的最小值为 ‎ ‎ 二、填空题(请将正确答案填在答案卷的横线上.每小题5分,共20分)‎ ‎13.已知圆C1:x2+y2+2x+8y﹣8=0与圆C2:x2+y2﹣4x﹣4y﹣2=0相交,则圆C1‎ 与圆C2的公共弦所在的直线的方程为  .‎ ‎14.已知△ABC的三顶点坐标为A(3,0),B(0,4),C(0,0),D点的坐标为(2,0),向△ABC内部投一 点P,那么点P落在△ABD内的概率为  .‎ ‎15.无论m为何值,直线l:(2m+1)x+(m+1)y﹣7m﹣4=0恒过一定点P,则点P的坐标为  .‎ ‎16.不等式组所确定的平面区域记为D,则(x﹣2)2+(y+3)2的最小值为  .‎ ‎ ‎ 三、解答题(解答要有必要的文字说明或演算过程,否则不得分,共70分)‎ ‎17.设直线x+2y+4=0和圆x2+y2﹣2x﹣15=0相交于点A,B.‎ ‎(1)求弦AB的垂直平分线方程;‎ ‎(2)求弦AB的长.‎ ‎18.某地植被面积 x(公顷)与当地气温下降的度数y(°C)之间有如下的对应数据:‎ x(公顷)‎ ‎20‎ ‎40‎ ‎50‎ ‎60‎ ‎80‎ y(°C)‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎4‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎(1)请用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程=x+;‎ ‎(2)根据(1)中所求线性回归方程,如果植被面积为200公顷,那么下降的气温大约是多少℃?‎ ‎(附:回归方程系数公式=, =﹣)‎ ‎19.如图,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AA1⊥底面ABC,且△ABC为正三角形,AA1=AB=6,D为AC的中点.‎ ‎(1)求证:直线AB1∥平面BC1D;‎ ‎(2)求证:平面BC1D⊥平面ACC1A;‎ ‎(3)求三棱锥C﹣BC1D的体积.‎ ‎20.一个袋中装有5个形状大小完全相同的球,其中有2个红球,3个白球.‎ ‎(Ⅰ)从袋中随机取两个球,求取出的两个球颜色不同的概率;‎ ‎(Ⅱ)从袋中随机取一个球,将球放回袋中,然后再从袋中随机取一个球,求两次取出的球中至少有一个红球的概率.‎ ‎21.20名学生某次数学考试成绩(单位:分)的频率分布直方图如图:‎ ‎(Ⅰ)求频率分布直方图中a的值;‎ ‎(Ⅱ)分别求出成绩落在[50,60)与[60,70)中的学生人数;‎ ‎(Ⅲ)从成绩在[50,70)的学生任选2人,求此2人的成绩都在[60,70)中的概率.‎ ‎22.已知圆C:(x﹣3)2+(y﹣4)2=4,直线l1过定点A(1,0).‎ ‎(Ⅰ)若l1与圆相切,求l1的方程;‎ ‎(Ⅱ)若l1与圆相交于P,Q两点,线段PQ的中点为M,又l1与l2:x+2y+2=0的交点为N,求证: •为定值.‎ ‎ ‎ ‎2016-2017学年宁夏石嘴山市平罗中学高二(上)期末数学试卷(文科)‎ 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一、选择题(本题共12小题,每题5分,共60分,每小题只有唯一正确答案.)‎ ‎1.直线x﹣y+1=0的倾斜角为(  )‎ A.60° B.120° C.150° D.30°‎ ‎【考点】直线的倾斜角.‎ ‎【分析】求出直线的斜率,再求直线的倾斜角,得到选项.‎ ‎【解答】解:由直线x﹣y+1=0可知:直线的斜率k=tanα=,‎ ‎∵0≤α<π,且tanα=,‎ ‎∴α=60°,‎ 故选A.‎ ‎ ‎ ‎2.某市有大型超市200家、中型超市400家、小型超市1400 家.为掌握各类超市的营业情况,现按分层抽样方法抽取一个容量为100的样本,应抽取中型超市(  )‎ A.70家 B.50家 C.20家 D.10家 ‎【考点】分层抽样方法.‎ ‎【分析】根据分层抽样的定义即可得到结论.‎ ‎【解答】解:∵大型超市200家、中型超市400家、小型超市1400 家,‎ ‎∴按分层抽样方法抽取一个容量为100的样本,应抽取中型超市为=20,‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎3.如图所示,某几何体的正视图、侧视图均为等腰三角形,俯视图是正方形,则该几何体的体积是(  )‎ A.2 B.4 C. D.‎ ‎【考点】简单空间图形的三视图.‎ ‎【分析】此几何体是四棱锥,由图形其高与底面边长已知,利用棱锥的体积公式,即可得出结论.‎ ‎【解答】解:由三视图知,此几何体是一个高为,底面边长为2的四棱锥,顶点在底面上的投影是底面的中心,‎ 故其几何体的体积是=,‎ 故选C.‎ ‎ ‎ ‎4.如表是某厂1﹣4月份用水量(单位:百吨)的一组数据:由散点图可知,用水量与月份之间有较好的线性相关关系,其线性回归方程是=﹣0.7x+,则=(  )‎ ‎ 月份x ‎ 1‎ ‎ 2‎ ‎ 3‎ ‎ 4‎ ‎ 用水量y ‎ 4.5‎ ‎4 ‎ ‎3 ‎ ‎2.5 ‎ A.10.5 B.5.15 C.5.25 D.5.2‎ ‎【考点】线性回归方程.‎ ‎【分析】计算样本中心,代入回归方程得出.‎ ‎【解答】解: =, =3.5.‎ ‎∴3.5=﹣0.7×2.5+,解得=5.25.‎ 故选C.‎ ‎ ‎ ‎5.输入x=1时,运行如图所示的程序,输出的x值为(  )‎ A.4 B.5 C.7 D.9‎ ‎【考点】程序框图.‎ ‎【分析】由程序框图依次计算程序运行的结果,直到满足条件n≥4时,计算x的值.‎ ‎【解答】解:由程序框图知:第一次运行x=1+2=3,n=2;‎ 第二次运行x=1+2+2=5,n=3;‎ 第三次运行x=1+2+2+2=7,n=4,此时满足条件n≥4,输出x=7.‎ 故选C.‎ ‎ ‎ ‎6.已知实数x,y满足,则z=4x+y的最大值为(  )‎ A.10 B.8 C.2 D.0‎ ‎【考点】简单线性规划.‎ ‎【分析】画出足约束条件的平面区域,再将平面区域的各角点坐标代入进行判断,即可求出4x+y的最大值.‎ ‎【解答】解:已知实数x、y满足,‎ 在坐标系中画出可行域,如图中阴影三角形,‎ 三个顶点分别是A(0,0),B(0,2),C(2,0),‎ 由图可知,当x=2,y=0时,‎ ‎4x+y的最大值是8.‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ ‎7.样本中共有五个个体,其值分别为a,0,1,2,3,若该样本的平均值为1,则样本方差为(  )‎ A.2 B.2.3 C.3 D.3.5‎ ‎【考点】极差、方差与标准差.‎ ‎【分析】先由数据的平均数公式求得a,再根据方差的公式计算.‎ ‎【解答】解:∵由题可知样本的平均值为1,‎ ‎∴(a+0+1+2+3)=1,解得a=﹣1,‎ ‎∴样本的方差为 [(﹣1﹣1)2+(0﹣1)2+(1﹣1)2+(2﹣1)2+(3﹣1)2]=2.‎ 故选A.‎ ‎ ‎ ‎8.知a,b,c为三条不重合的直线,α,β,γ为三个不重合的平面:‎ ‎①a∥c,b∥c⇒a∥b;‎ ‎②a∥γ,b∥γ⇒a∥b;‎ ‎③a∥c,c∥α⇒a∥α;‎ ‎④a⊄α,b⊂α,a∥b⇒a∥α.‎ 其中正确的命题是(  )‎ A.①④ B.①② C.②④ D.③④‎ ‎【考点】空间中直线与平面之间的位置关系.‎ ‎【分析】由平行公理知①正确;在②中,a与b平行、相交或异面;在③中,a∥α或a⊂α;由线面平行的判定定理得④正确.‎ ‎【解答】解:由a,b,c为三条不重合的直线,α,β,γ为三个不重合的平面,知:‎ 在①中,a∥c,b∥c⇒a∥b,由平行公理知①正确;‎ 在②中,a∥γ,b∥γ⇒a与b平行、相交或异面,故②错误;‎ 在③中,a∥c,c∥α⇒a∥α或a⊂α,故③错误;‎ 在④中,a⊄α,b⊂α,a∥b⇒a∥α,由线面平行的判定定理得④正确.‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎9.某校300名高三学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示,由图中数据估计此次数学成绩的众数、平均分分别为(  )‎ A.60、69 B.65、71 C.65、73 D.60、75‎ ‎【考点】频率分布直方图.‎ ‎【分析】由频率分布直方图能估计此次数学成绩的众数,由频率分布图的性质先求出a=0.005,由此能估计平均分.‎ ‎【解答】解:由频率分布直方图知:‎ 估计此次数学成绩的众数为: =65,‎ 由频率分布图的性质得:(2a+0.02+0.03+0.04)×10=1,‎ 解得a=0.005,‎ 平均分为:0.005×10×55+0.04×10×65+0.03×10×75+0.02×10×85+0.005×10×95=73.‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎10.从装有2支铅笔和2支钢笔的文具袋内任取2支笔,那么互斥而不对立的两个事件是(  )‎ A.恰有1支钢笔;恰有2支铅笔 B.至少有1支钢笔;都是钢笔 C.至少有1支钢笔;至少有1支铅笔 D.至少有1个钢笔;都是铅笔 ‎【考点】互斥事件与对立事件.‎ ‎【分析】根据恰有1支钢笔 和 恰有2支铅笔 互斥但不对立,至少有1支钢笔 和 都是钢笔不互斥,至少有1支钢笔 和 至少有1支铅笔 不互斥,至少有1个钢笔 和 都是铅笔 是对立事件,得到答案.‎ ‎【解答】解:A 恰有1支钢笔 和 恰有2支铅笔 互斥但不对立.‎ B至少有1支钢笔 和 都是钢笔不互斥.‎ C至少有1支钢笔 和 至少有1支铅笔 不互斥.‎ D 至少有1个钢笔 和 都是铅笔 是对立事件.‎ 故选 A.‎ ‎ ‎ ‎11.如图程序运行后,输出的结果为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【考点】伪代码.‎ ‎【分析】由题意,S=++…+,利用裂项法即可得出结论.‎ ‎【解答】解:由题意,S=++…+=1﹣+﹣+…+﹣=.‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎12.如图,棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,P为线段A1B上的动点,则下列结论错误的是(  )‎ A.DC1⊥D1P B.平面D1A1P⊥平面A1AP C.∠APD1的最大值为90° D.AP+PD1的最小值为 ‎【考点】棱柱的结构特征.‎ ‎【分析】利用DC1⊥面A1BCD1,可得DC1⊥D1P,A正确 利用平面D1A1BC,⊥平面A1ABB1,得出平面D1A1P⊥平面A1AP,B正确;‎ 当A1P= 时,∠APD1为直角,当0<A1P<时,∠APD1为钝角,C错;‎ 将面AA1B与面A1BCD1沿A1B展成平面图形,线段AD1即为AP+PD1的最小值.‎ ‎【解答】解:∵A1D1⊥DC1,A1B⊥DC1,∴DC1⊥面A1BCD1,D1P⊂面A1BCD1,∴DC1⊥D1P,A正确 ‎∵平面D1A1P即为平面D1A1BC,平面A1AP 即为平面A1ABB1,切D1A1⊥平面A1ABB1,‎ ‎∴平面D1A1BC,⊥平面A1ABB1,∴平面D1A1P⊥平面A1AP,∴B正确;‎ ‎ 当0<A1P<时,∠APD1为钝角,∴C错;‎ 将面AA1B与面A1BCD1沿A1B展成平面图形,线段AD1即为AP+PD1的最小值,‎ 在△D1A1A中,∠D1A1A=135°利用余弦定理解三角形得AD1=,‎ 即AP+PD1≥,‎ ‎∴D正确.‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ 二、填空题(请将正确答案填在答案卷的横线上.每小题5分,共20分)‎ ‎13.已知圆C1:x2+y2+2x+8y﹣8=0与圆C2:x2+y2﹣4x﹣4y﹣2=0相交,则圆C1与圆C2的公共弦所在的直线的方程为 x+2y﹣1=0 .‎ ‎【考点】圆与圆的位置关系及其判定.‎ ‎【分析】利用圆系方程,求出公共弦所在直线方程.‎ ‎【解答】解:圆C1:x2+y2+2x+8y﹣8=0…①和C2:x2+y2﹣4x﹣4y﹣2=0…②‎ ‎①﹣②得公共弦所在的直线方程为:6x+12y﹣6=0,即x+2y﹣1=0.‎ 故答案为x+2y﹣1=0.‎ ‎ ‎ ‎14.已知△ABC的三顶点坐标为A(3,0),B(0,4),C(0,0),D点的坐标为(2,0),向△ABC内部投一 点P,那么点P落在△ABD内的概率为  .‎ ‎【考点】几何概型.‎ ‎【分析】欲求的点落在△ABD内的概率,则可求出△ABD与△ABC的面积之比,再根据几何概型概率公式求解.‎ ‎【解答】解:因为D是AC 上的靠近A点的三等份点,‎ 所以S△ABD=S△ABC,‎ 所以点落在△ABD内的概率为P=.‎ 故答案为.‎ ‎ ‎ ‎15.无论m为何值,直线l:(2m+1)x+(m+1)y﹣7m﹣4=0恒过一定点P,则点P的坐标为 (3,1) .‎ ‎【考点】恒过定点的直线.‎ ‎【分析】直线l即:m(2x+y﹣7)+(x+y﹣4)=0,一定经过直线2x+y﹣7=0和 x+y﹣4=0的交点,解方程组,求得定点P的坐标.‎ ‎【解答】解:直线l:(2m+1)x+(m+1)y﹣7m﹣4=0 即 m(2x+y﹣7)+(x+y﹣4)=0,‎ 故直线l一定经过直线2x+y﹣7=0和 x+y﹣4=0的交点.‎ 由 求得,‎ ‎∴点P的坐标为(3,1),‎ 故答案为 (3,1).‎ ‎ ‎ ‎16.不等式组所确定的平面区域记为D,则(x﹣2)2+(y+3)2的最小值为 4 .‎ ‎【考点】简单线性规划.‎ ‎【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用线性规划的知识即可得到结论.‎ ‎【解答】解:不等式组所确定的平面区域记为D,如图:阴影ABC,A(2,2),B(﹣1,﹣1),C(0,﹣2),‎ ‎(x﹣2)2+(y+3)2的几何意义是可行域的D与P连线距离的平方,由图形可知,C到P的距离的平方最小,‎ 所以z最小值=(0﹣2)2+(﹣3+3)2=4.‎ 故答案为:4.‎ ‎ ‎ 三、解答题(解答要有必要的文字说明或演算过程,否则不得分,共70分)‎ ‎17.设直线x+2y+4=0和圆x2+y2﹣2x﹣15=0相交于点A,B.‎ ‎(1)求弦AB的垂直平分线方程;‎ ‎(2)求弦AB的长.‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系;直线的一般式方程与直线的垂直关系.‎ ‎【分析】(1)求出圆的圆心为C(1,0),半径r=4.根据垂径定理,弦AB的垂直平分线经过圆心C,由此加以计算即可得出AB的垂直平分线方程;‎ ‎(2)利用点到直线的距离公式,算出圆心C(1,0)到直线x+2y+4=0的距离,再根据垂径定理加以计算,可得弦AB的长.‎ ‎【解答】解:(1)∵圆x2+y2﹣2x﹣15=0化成标准方程得(x﹣1)2+y2=16,‎ ‎∴圆心为C(1,0),半径r=4.‎ ‎∵直线x+2y+4=0和圆x2+y2﹣2x﹣15=0相交于点A、B,‎ ‎∴设弦AB的垂直平分线为l:2x﹣y+m=0,‎ 由垂径定理,可知点C(1,0)在l上,得2×1﹣0+m=0,解之得m=﹣2.‎ 因此,弦AB的垂直平分线方程为2x﹣y﹣2=0;‎ ‎(2)圆心C(1,0)到直线x+2y+4=0的距离为:‎ d==.‎ 根据垂径定理,得|AB|=2=2,即弦AB的长等于2.‎ ‎ ‎ ‎18.某地植被面积 x(公顷)与当地气温下降的度数y(°C)之间有如下的对应数据:‎ x(公顷)‎ ‎20‎ ‎40‎ ‎50‎ ‎60‎ ‎80‎ y(°C)‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎4‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎(1)请用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程=x+;‎ ‎(2)根据(1)中所求线性回归方程,如果植被面积为200公顷,那么下降的气温大约是多少℃?‎ ‎(附:回归方程系数公式=, =﹣)‎ ‎【考点】线性回归方程.‎ ‎【分析】(1)根据表中数据,计算、,求出回归方程的系数、,写出线性回归方程;‎ ‎(2)利用回归直线方程求出x=200时的值即可.‎ ‎【解答】解:(1)根据表中数据,计算 ‎=×(20+40+50+60+80)=50,‎ ‎=×(3+4+4+4+5)=4,‎ xiyi=20×3+40×4+50×4+60×4+80×5=1060,‎ ‎=202+402+502+602+802=14500;‎ 则回归方程系数为 ‎===0.03,‎ ‎=﹣=4﹣0.03×50=2.5,‎ 所以y关于x的线性回归方程为=0.03x+2.5;‎ ‎(2)由(1)得:当x=200时, =0.03×200+2.5=8.5,‎ 即如果植被面积为200公顷,那么下降的气温大约是8.5℃.‎ ‎ ‎ ‎19.如图,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AA1⊥底面ABC,且△ABC为正三角形,AA1=AB=6,D为AC的中点.‎ ‎(1)求证:直线AB1∥平面BC1D;‎ ‎(2)求证:平面BC1D⊥平面ACC1A;‎ ‎(3)求三棱锥C﹣BC1D的体积.‎ ‎【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积;平面与平面垂直的判定.‎ ‎【分析】(1)连接B1C交BC1于点O,连接OD,则点O为B1C的中点.可得DO为△AB1C中位线,A1B∥OD,结合线面平行的判定定理,得A1B∥平面BC1D;‎ ‎(2)由AA1⊥底面ABC,得AA1⊥BD.正三角形ABC中,中线BD⊥AC,结合线面垂直的判定定理,得BD⊥平面ACC1A1,最后由面面垂直的判定定理,证出平面BC1D⊥平面ACC1A;‎ ‎(3)利用等体积转换,即可求三棱锥C﹣BC1D的体积.‎ ‎【解答】(1)证明:连接B1C交BC1于点O,连接OD,则点O为B1C的中点.‎ ‎∵D为AC中点,得DO为△AB1C中位线,‎ ‎∴A1B∥OD.‎ ‎∵OD⊂平面AB1C,A1B⊄平面BC1D,‎ ‎∴直线AB1∥平面BC1D;‎ ‎(2)证明:∵AA1⊥底面ABC,‎ ‎∴AA1⊥BD,‎ ‎∵底面ABC正三角形,D是AC的中点 ‎∴BD⊥AC ‎∵AA1∩AC=A,∴BD⊥平面ACC1A1,‎ ‎∵BD⊂平面BC1D,∴平面BC1D⊥平面ACC1A;‎ ‎(3)解:由(2)知,△ABC中,BD⊥AC,BD=BCsin60°=3,‎ ‎∴S△BCD==,‎ ‎∴VC﹣BC1D=VC1﹣BCD=••6=9.‎ ‎ ‎ ‎20.一个袋中装有5个形状大小完全相同的球,其中有2个红球,3个白球.‎ ‎(Ⅰ)从袋中随机取两个球,求取出的两个球颜色不同的概率;‎ ‎(Ⅱ)从袋中随机取一个球,将球放回袋中,然后再从袋中随机取一个球,求两次取出的球中至少有一个红球的概率.‎ ‎【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率.‎ ‎【分析】(Ⅰ)所有的取法共有种,而取出的两个球颜色不同的取法有2×3种,由此求得取出的两个球颜色不同的概率.‎ ‎(Ⅱ)所有的取法共有5×5种,其中,没有红球的取法有3×3=9种,由此求得求得没有红球的概率,再用1减去此概率,即得所求.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)从袋中随机取两个球,所有的取法共有=10种,‎ 而取出的两个球颜色不同的取法有2×3=6种,‎ ‎∴取出的两个球颜色不同的概率为=.‎ ‎(Ⅱ)从袋中随机取一个球,将球放回袋中,然后再从袋中随机取一个球,‎ 所有的取法共有5×5=25种,其中,没有红球的取法有3×3=9种,‎ 故没有红球的概率为,‎ 故求两次取出的球中至少有一个红球的概率为1﹣=.‎ ‎ ‎ ‎21.20名学生某次数学考试成绩(单位:分)的频率分布直方图如图:‎ ‎(Ⅰ)求频率分布直方图中a的值;‎ ‎(Ⅱ)分别求出成绩落在[50,60)与[60,70)中的学生人数;‎ ‎(Ⅲ)从成绩在[50,70)的学生任选2人,求此2人的成绩都在[60,70)中的概率.‎ ‎【考点】古典概型及其概率计算公式;频率分布直方图.‎ ‎【分析】(Ⅰ)根据频率分布直方图求出a的值;‎ ‎(Ⅱ)由图可知,成绩在[50,60)和[60,70)的频率分别为0.1和0.15,用样本容量20乘以对应的频率,即得对应区间内的人数,从而求出所求.‎ ‎(Ⅲ)分别列出满足[50,70)的基本事件,再找到在[60,70)的事件个数,根据古典概率公式计算即可.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)根据直方图知组距=10,由(2a+3a+6a+7a+2a)×10=1,解得a=0.005.‎ ‎(Ⅱ)成绩落在[50,60)中的学生人数为2×0.005×10×20=2,‎ 成绩落在[60,70)中的学生人数为3×0.005×10×20=3.‎ ‎(Ⅲ)记成绩落在[50,60)中的2人为A,B,成绩落在[60,70)中的3人为C,D,E,则成绩在[50,70)的学生任选2人的基本事件有AB,AC,AD,AE,BC,BD,BE,CD,CE,DE共10个,‎ 其中2人的成绩都在[60,70)中的基本事件有CD,CE,DE共3个,‎ 故所求概率为P=.‎ ‎ ‎ ‎22.已知圆C:(x﹣3)2+(y﹣4)2=4,直线l1过定点A(1,0).‎ ‎(Ⅰ)若l1与圆相切,求l1的方程;‎ ‎(Ⅱ)若l1与圆相交于P,Q两点,线段PQ的中点为M,又l1与l2:x+2y+2=0的交点为N,求证: •为定值.‎ ‎【考点】直线和圆的方程的应用;圆的切线方程.‎ ‎【分析】(I)由直线l1与圆相切,则圆心到直线的距离等于半径,求得直线方程,注意分类讨论;‎ ‎(II)分别联立相应方程,求得M,N的坐标,再求•.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)①若直线l1的斜率不存在,即直线x=1,符合题意.‎ ‎②若直线l1斜率存在,设直线l1为y=k(x﹣1),即kx﹣y﹣k=0.‎ 由题意知,圆心(3,4)到已知直线l1的距离等于半径2,‎ 即解之得.‎ 所求直线方程是x=1,3x﹣4y﹣3=0.‎ ‎(Ⅱ)直线与圆相交,斜率必定存在,且不为0,可设直线方程为kx﹣y﹣k=0‎ 由得又直线CM与l1垂直,‎ 得.‎ ‎∴•=为定值.‎ ‎ ‎

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