【数学】2020届一轮复习人教版（理）第5章第2讲等差数列及其前n项和学案 11页

第2讲　等差数列及其前n项和 ‎[考纲解读]　1.理解等差数列的概念及等差数列与一次函数的关系．(重点)‎ ‎2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并熟练掌握其推导方法，能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题．(重点、难点)‎ ‎[考向预测]　从近三年高考情况来看，本讲一直是高考的热点．预测2020年高考将会以等差数列的通项公式及其性质、等差数列的前n项和为考查重点，也可能将等差数列的通项、前n项和及性质综合考查，题型以客观题或解答题的形式呈现，试题难度一般不大，属中档题型.‎ ‎1．等差数列的有关概念 ‎(1)定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示．数学语言表示为an＋1－an＝d(n∈N*)，d为常数．‎ ‎(2)等差中项：数列a，A，b成等差数列的充要条件是A＝，其中A叫做a，b的等差中项．‎ ‎2．等差数列的通项公式与前n项和公式 ‎(1)若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an＝a1＋(n－1)d，可推广为an＝am＋(n－m)d.‎ ‎(2)等差数列的前n项和公式Sn＝＝na1＋d.‎ ‎3．等差数列的相关性质 已知{an}为等差数列，d为公差，Sn为该数列的前n项和．‎ ‎(1)有穷等差数列中与首末两项等距离的两项的和都相等，即a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝…＝ak＋an－k＋1＝….‎ ‎(2)等差数列{an}中，当m＋n＝p＋q时，am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N ‎*)．‎ 特别地，若m＋n＝2p，则2ap＝am＋an(m，n，p∈N*)．‎ ‎(3)相隔等距离的项组成的数列是等差数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等差数列，公差为md(k，m∈N*)．‎ ‎(4)Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…也成等差数列，公差为n2d.‎ ‎(5)也成等差数列，其首项与{an}首项相同，公差是{an}的公差的.‎ ‎4．等差数列与函数的关系 ‎(1)等差数列与一次函数的关系 an＝a1＋(n－1)d可化为an＝dn＋a1－d的形式．当d≠0时，an是关于n的一次函数；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列．‎ ‎(2)等差数列前n项和公式可变形为Sn＝n2＋n.当d≠0时，它是关于n的二次函数，数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)．‎ ‎5．等差数列的前n项和的最值 在等差数列{an}中，a1>0，d<0，则Sn存在最大值；若a1<0，d>0，则Sn存在最小值．‎ ‎1．概念辨析 ‎(1)已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{an}一定是等差数列．(　　)‎ ‎(2)数列{an}为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数．(　　)‎ ‎(3)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数．(　　)‎ ‎(4)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2.(　　)‎ 答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√‎ ‎2．小题热身 ‎(1)(2018·日照模拟)由公差为d的等差数列a1，a2，a3，…组成的新数列a1＋a4，a2＋a5，a3＋a6，…是(　　)‎ A．公差为d的等差数列 B．公差为2d的等差数列 C．公差为3d的等差数列 D．非等差数列 答案　B 解析　由题意得，新数列{an＋an＋3}是公差为2d的等差数列，理由：(an＋1＋an＋4)－(an＋an＋3)＝(an＋1－an)＋(an＋4－an＋3)＝d＋d＝2d.‎ ‎(2)在等差数列{an}中，已知a2＝2，前7项和S7＝56，则公差d＝(　　)‎ A．2 B．3 C．－2 D．－3‎ 答案　B 解析　由题意可得即 解得 ‎(3)(2018·北京高考)设{an}是等差数列，且a1＝3，a2＋a5＝36，则{an}的通项公式为________．‎ 答案　an＝6n－3(n∈N*)‎ 解析　由已知，设{an}的公差为d，则a2＋a5＝a1＋d＋a1＋4d＝2a1＋5d＝36，‎ 又a1＝3，所以d＝6，所以{an}的通项公式为 an＝3＋6(n－1)＝6n－3(n∈N*)．‎ ‎(4)在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，则a2＋a8＝________.‎ 答案　180‎ 解析　由等差数列的性质可得 a3＋a7＝a4＋a6＝2a5，‎ 又因为a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，‎ 所以5a5＝450，a5＝90，所以a2＋a8＝2a5＝180.‎ 题型 　等差数列基本量的运算 ‎1．(2018·全国卷Ⅰ)设Sn为等差数列{an}的前n项和，若3S3＝S2＋S4，a1＝2，则a5＝(　　)‎ A．－12 B．－10 C．10 D．12‎ 答案　B 解析　设该等差数列的公差为d，根据题中的条件可得3×‎ ＝2×2＋d＋4×2＋·d，整理解得d＝－3，所以a5＝a1＋4d＝2－12＝－10，故选B.‎ ‎2．(2018·碑林区期末)设{an}是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项a1＝________.‎ 答案　2‎ 解析　由题可知3a2＝12，①‎ ‎(a2－d)a2(a2＋d)＝48，②‎ 将①代入②得(4－d)(4＋d)＝12，‎ 解得d＝2或d＝－2(舍)，‎ ‎∴a1＝a2－d＝4－2＝2.‎ ‎3．(2016·全国卷Ⅱ)Sn为等差数列{an}的前n项和，且a1＝1，S7＝28.记bn＝[lg an]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]＝0，[lg 99]＝1.‎ ‎(1)求b1，b11，b101；‎ ‎(2)求数列{bn}的前1000项和．‎ 解　(1)设{an}的公差为d，据题意有7＋21d＝28，解得d＝1.‎ 所以{an}的通项公式为an＝n.‎ b1＝[lg 1]＝0，b11＝[lg 11]＝1，b101＝[lg 101]＝2.‎ ‎(2)因为bn＝ 所以数列{bn}的前1000项和为1×90＋2×900＋3×1＝1893.‎ ‎1．等差数列基本运算的解题策略 ‎(1)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程组解决问题的思想．‎ ‎(2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换的作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知量和未知量是常用方法．如举例说明1.‎ ‎2．等差数列设项技巧 若奇数个数成等差数列且和为定值时，可设中间三项为a－d，a，a＋d；若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设中间两项为a－d，a＋d，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元(注意此时数列的公差为2d)．见举例说明2.　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎1．(2017·全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a4＋a5＝24，S6＝48，则{an}的公差为(　　)‎ A．1 B．2 C．4 D．8‎ 答案　C 解析　设{an}的公差为d，则 由得 解得d＝4.故选C.‎ ‎2．在公差为d的等差数列{an}中，已知a1＝10，且5a3·a1＝(2a2＋2)2.‎ ‎(1)求d，an；‎ ‎(2)若d<0，求|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|.‎ 解　(1)由题意得5a3·a1＝(2a2＋2)2，即d2－3d－4＝0，故d＝－1或d＝4，所以an＝－n＋11，n∈N*或an＝4n＋6，n∈N*.‎ ‎(2)设数列{an}的前n项和为Sn，因为d<0，‎ 由(1)得d＝－1，an＝－n＋11，‎ 则当n≤11时，|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝Sn＝－n2＋n，‎ 当n≥12时，|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝－Sn＋2S11＝n2－n＋110.‎ 综上所述，‎ ‎|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝ 题型 　等差数列的判断与证明 已知数列{an}中，a1＝，an＝2－(n≥2，n∈N*)，数列{bn}满足bn＝(n∈N*)．‎ ‎(1)求证：数列{bn}是等差数列；‎ ‎(2)求数列{an}中的最大项和最小项，并说明理由．‎ 解　(1)证明：因为an＝2－(n≥2，n∈N*)，bn＝(n∈N*)，‎ 所以bn＋1－bn＝－＝－＝－＝1.‎ 又b1＝＝－.‎ 所以数列{bn}是以－为首项，1为公差的等差数列．‎ ‎(2)由(1)知bn＝n－，则an＝1＋＝1＋.‎ 设f(x)＝1＋，‎ 则f(x)在区间和上为减函数．‎ 所以当n＝3时，an取得最小值－1，‎ 当n＝4时，an取得最大值3.‎ 条件探究1　举例说明中，若将条件变为“a1＝，nan＋1＝(n＋1)an＋n(n＋1)”，试求数列{an}的通项公式．‎ 解　由已知可得＝＋1，‎ 即－＝1，又a1＝，‎ ‎∴是以＝为首项，1为公差的等差数列，‎ ‎∴＝＋(n－1)×1＝n－，∴an＝n2－n.‎ 条件探究2　把举例说明条件改为“a1＝2，a2＝1，且＝”，求数列{an}的通项公式．‎ 解　因为＝，‎ ‎1－＝－1，‎ an＝2，‎ an＝，‎ 所以＝＋，即＝＋.‎ 所以为等差数列．‎ 其首项＝，公差d＝－＝.‎ 所以＝＋(n－1)·＝，‎ 所以an＝.‎ 判定数列{an}是等差数列的常用方法 ‎(1)定义法：对任意n∈N*，an＋1－an是同一个常数．见举例说明．‎ ‎(2)等差中项法：对任意n≥2，n∈N*，满足2an＝an＋1＋an－1.‎ ‎(3)通项公式法：数列的通项公式an是n的一次函数．‎ ‎(4)前n项和公式法：数列的前n项和公式Sn是n的二次函数，且常数项为0.‎ 提醒：判断是否为等差数列，最终一般都要转化为定义法判断．　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎1．正项数列{an}满足a1＝1，a2＝2,2a＝a＋a(n∈N*，n≥2)，则a7＝________.‎ 答案　 解析　由2a＝a＋a(n∈N*，n≥2)，得数列{a}是等差数列，公差d＝a－a＝3，首项a＝1，所以a＝1＋3(n－1)＝3n－2，‎ ‎∴an＝，∴a7＝.‎ ‎2．已知数列{an}满足a1＝－，an＋1＝(n∈N*)．‎ ‎(1)证明：数列是等差数列；‎ ‎(2)求{an}的通项公式．‎ 解　(1)证明：因为＝＝＝3＋，‎ 所以－＝3.‎ 所以数列是首项为3，公差为3的等差数列．‎ ‎(2)由(1)知＝3n.所以an＝－1.‎ 题型 　等差数列的性质及前n项和的最值 角度1　等差数列的性质的应用 ‎1．(1)在等差数列{an}中，已知a4，a7是函数f(x)＝x2－4x＋3的两个零点，则{an}的前10项和等于(　　)‎ A．－18 B．9 C．18 D．20‎ ‎(2)(2019·金版原创)已知函数f(x)＝cosx，x∈(0,2π)有两个不同的零点x1，x2，且方程f(x)＝m有两个不同的实根x3，x4，若把这四个数按从小到大排列构成等差数列，则实数m＝________.‎ 答案　(1)D　(2)－ 解析　(1)因为a4，a7是函数f(x)＝x2－4x＋3的两个零点，‎ 由韦达定理可知，a4＋a7＝4，‎ S10＝×10＝×10＝20，故选D.‎ ‎(2)若m>0，则公差d＝－＝π，显然不成立，所以m<0，则公差d＝＝.‎ 所以m＝cos＝－.‎ 角度2　等差数列前n项和的性质的应用 ‎2．等差数列{an}中，前m项的和为30，前2m项的和为100，试求前3m项的和．‎ 解　记数列{an}的前n项和为Sn，由等差数列前n项和的性质知Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列，则2(S2m－Sm)＝Sm＋(S3m－S2m)，又Sm＝30，S2m＝100，所以S2m－Sm＝100－30＝70，所以S3m－S2m＝2(S2m－Sm)－Sm＝110，所以S3m＝110＋100＝210.‎ 角度3　等差数列前n项和的最值问题 ‎3．(1)(2018·吉林长春一模)等差数列{an}中，已知a6＋a11＝0，且公差d>0，则其前n项和取最小值时的n的值为(　　)‎ A．6 B．7 C．8 D．9‎ ‎(2)在等差数列{an}中，a1＝29，S10＝S20，则数列{an}的前n项和Sn的最大值为(　　)‎ A．S15 B．S16 C．S15或S16 D．S17‎ 答案　(1)C　(2)A 解析　(1)解法一：因为a6＋a11＝0，‎ 所以a1＋5d＋a1＋10d＝0，解得a1＝－d，‎ 所以Sn＝na1＋d＝·n＋d ‎＝(n2－16n)＝[(n－8)2－64]．‎ 因为d>0，所以当n＝8时，其前n项和取最小值．‎ 解法二：由等差数列的性质可得a8＋a9＝a6＋a11＝0.‎ 由公差d>0得等差数列{an}是递增数列，所以a8<0，a9>0，‎ 故当1≤n≤8时，an<0；n≥9时，an>0，‎ 所以当n＝8时，其前n项和取最小值．‎ ‎(2)∵a1＝29，S10＝S20，‎ ‎∴10a1＋d＝20a1＋d，解得d＝－2，‎ ‎∴Sn＝29n＋×(－2)＝－n2＋30n＝－(n－15)2＋225.‎ ‎∴当n＝15时，Sn取得最大值．‎ ‎1．应用等差数列的性质解题的两个注意点 ‎(1)如果{an}为等差数列，m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)．因此，若出现am－n，am，am＋n等项时，可以利用此性质将已知条件转化为与am(或其他项)有关的条件；若求am项，可由am＝(am－n＋am＋n)转化为求am－n，am＋n或am＋n＋am－n的值．‎ ‎(2)要注意等差数列通项公式及前n项和公式的灵活应用，如an＝am＋(n－‎ m)d，d＝，S2n－1＝(2n－1)an，Sn＝＝(n，m∈N*)等．‎ ‎(3)当项数为偶数2n时，S偶－S奇＝nd；项数为奇数2n－1时，S奇－S偶＝a中，S奇∶S偶＝n∶(n－1)．见巩固迁移3.‎ ‎2．求等差数列前n项和Sn最值的两种方法 ‎(1)函数法：等差数列前n项和的函数表达式Sn＝an2＋bn＝a2－，求“二次函数”最值．如举例说明3(1)解法一．‎ ‎(2)邻项变号法 ‎①当a1＞0，d＜0时，满足的项数m使得Sn取得最大值为Sm；‎ ‎②当a1＜0，d＞0时，满足的项数m使得Sn取得最小值为Sm.如举例说明3(1)解法二．　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎1．设等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1>0，a3＋a10>0，a6a7<0，则满足Sn>0的最大自然数n的值为(　　)‎ A．6 B．7 C．12 D．13‎ 答案　C 解析　因为a1>0，a6a7<0，所以a6>0，a7<0，等差数列的公差小于零，又a3＋a10＝a1＋a12>0，a1＋a13＝2a7<0，所以S12>0，S13<0，所以满足Sn>0的最大自然数n的值为12.‎ ‎2．设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知前6项和为36，最后6项的和为180，Sn＝324(n>6)，则数列{an}的项数为________．‎ 答案　18‎ 解析　由题意知a1＋a2＋…＋a6＝36，①‎ an＋an－1＋an－2＋…＋an－5＝180，②‎ ‎①＋②得(a1＋an)＋(a2＋an－1)＋…＋(a6＋an－5)＝6(a1＋an)＝216，‎ ‎∴a1＋an＝36，‎ 又Sn＝＝324，∴18n＝324，∴n＝18.‎ ‎3．(2018·太原模拟)一个等差数列的前12项的和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和的比为32∶27，求该数列的公差d.‎ 解　设等差数列的前12项中奇数项的和为S奇，偶数项的和为S偶，等差数列的公差为d.由已知条件，得 解得 又S偶－S奇＝6d，所以d＝＝5.‎