2019届高三上学期期末考试数学试题分类汇编：16 21页

‎（山东省德州市2019届高三期末联考数学（理科）试题）‎ ‎7.设，，，若，则与的夹角为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由向量的坐标运算得：（0，），由数量积表示两个向量的夹角得：cosθ， 可得结果.‎ ‎【详解】由（1，），（1，0），．‎ 则（1+k，），‎ 由，‎ 则0，‎ 即k+1＝0，即k＝﹣1，即（0，），‎ 设与的夹角为θ，‎ 则cosθ，‎ 又θ∈[0，π]，‎ 所以，‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查了数量积表示两个向量的夹角、及向量的坐标运算，属于简单题 ‎（福建省宁德市 2019届高三第一学期期末质量检测数学理科试题）‎ ‎14.边长为6的正三角形中，点满足，则的值为__________．‎ ‎【答案】30‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本道题利用向量表示,结合向量运算,即可.‎ ‎【详解】,‎ 所以 ‎【点睛】本道题考查了向量的线性运算,难度较小.‎ ‎（辽宁省实验中学、大连八中、大连二十四中、鞍山一中、东北育才学校2019届高三上学期期末考试数学（文）试题）‎ ‎11.中，，点是内（包括边界）的一动点，且，则的最大值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先利用向量数量积的运算，求得的大小，由余弦定理计算的长度，由此判断三角形为直角三角形.利用向量加法的平行四边形法则，判断点的位置，从而确定取得最大值时点的位置，由此计算出的长.‎ ‎【详解】依题意，.由余弦定理得，故，三角形为直角三角形.设，过作，交于，过作，交于.由于，根据向量加法运算的平行四边形法则可知，点位于线段上，由图可知最长时为.由于，所以.所以.故选C.‎ ‎【点睛】本小题主要考查平面向量数量积的运算，考查余弦定理解三角形，考查平面向量加法的平行四边形法则，综合性较强，属于中档题.‎ ‎（辽宁省实验中学、大连八中、大连二十四中、鞍山一中、东北育才学校2019届高三上学期期末考试数学（文）试题）‎ ‎14.已知向量 ()∥，，则夹角的余弦值为________ .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设，根据向量共线和向量垂直的条件得到的值，进而得到向量的坐标，然后可求出夹角的余弦值．‎ ‎【详解】设，则，‎ ‎∵()∥，，‎ ‎∴，即．‎ 又，,‎ ‎∴．‎ 由，解得，‎ ‎∴．‎ 设的夹角为，则，‎ 即夹角的余弦值为．‎ 故答案为．‎ ‎【点睛】本题考查向量的基本运算，解题时根据向量的共线和垂直的充要条件得到向量的坐标是关键，同时也考查转化和计算能力，属于基础题．‎ ‎（四川省绵阳市2019届高三第二次（1月）诊断性考试数学理试题）‎ ‎5.设是互相垂直的单位向量，且（＋）⊥（＋2），则实数的值是（ ）‎ A. 2 B. －2 C. 1 D. －1‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用向量垂直的充要条件：向量垂直数量积等于0，列出方程求出λ．‎ ‎【详解】依题意，有：｜a｜＝｜b｜＝1，且a•b＝0，‎ 又（a＋b）⊥（a＋2b），所以，（a＋b）（a＋2b）＝0，即 a2＋2b2＋（2＋1）a•b＝0，即＋2＝0，所以，＝－2‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本题考查两向量垂直的充要条件：数量积等于0；单位向量的定义，属于基础题.‎ ‎（江西省新余市2019届高三上学期期末考试数学（理）试题）‎ ‎14.已知向量，满足，，则向量在方向上的投影为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据平面向量的数量积运算性质计算，得出，再代入投影公式计算．‎ ‎【详解】解：，，‎ ‎，‎ ‎，‎ 在方向上的投影为．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查平面向量的数量积运算，考查投影的计算公式，属于基础题．‎ ‎（湖南省长沙市2019届上学期高三统一检测理科数学试题）‎ ‎7.在中，，，，且是的外心，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 建立坐标系，分别计算出B,A,O坐标，代入，结合向量数量积坐标表示，即可。‎ ‎【详解】建立坐标系，以C为原点，，,则 所以，故选D。‎ ‎【点睛】本道题考查了向量数量积坐标表示，难度中等。‎ ‎（湖南省长沙市2019届高三上学期统一检测文科数学试题）‎ ‎10.在中，，，，且是的外心，则 （ ）‎ A. 16 B. 32 C. -16 D. -32‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用数量积公式和投影的定义计算即可得到答案.‎ ‎【详解】，又是的外心，‎ 由投影的定义可知 则 故选.‎ ‎【点睛】本题考查向量的数量积的运算，考查投影定义的简单应用，属于基础题.‎ ‎（湖南省湘潭市2019届高三上学期第一次模拟检测数学（理）试题）‎ ‎13.已知向量，向量，若，则向量与的夹角为__________．‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由向量的夹角公式可得，从而可得夹角.‎ ‎【详解】，则向量的夹角为.‎ ‎【点睛】本题主要考查向量的夹角公式，属于基础题型.[来源:学科网]‎ ‎（湖北省宜昌市2019届高三元月调研考试文科数学试题）‎ ‎5.已知，，且，则向量与向量的夹角为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过向量的垂直转化为向量的数量积的运算，利用向量夹角的余弦公式求出其余弦值，问题得解．‎ ‎【详解】 ‎ ‎ ，即：‎ 又， ‎ 向量与向量的夹角的余弦为，‎ 向量与向量的夹角为：‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查向量夹角公式及向量运算，还考查了向量垂直的应用，考查计算能力．[来源:学科网]‎ ‎（河南省驻马店市2019届高三上学期期中考试数学文试题）‎ ‎16.已知两个单位向量，的夹角为，，若，则_____．‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由向量的数量积运算得•[t（2﹣t）]＝0，即t•（2﹣t）2＝0，又||＝||＝1，且•，代入可计算得解．‎ ‎【详解】因为t（2﹣t），‎ 当•0，‎ 则•[t（2﹣t）]＝0，‎ 即t•（2﹣t）2＝0，‎ 又•||||cos60°，||＝||＝1，‎ 所以2﹣t＝0，解得：t＝4，‎ 故答案为：4‎ ‎【点睛】本题考查了向量的数量积运算，考查了运算能力，属于简单题．‎ ‎[来源:Zxxk.Com]‎ ‎（河北省张家口市2019届高三上学期期末考试数学（文）试题）‎ ‎11.圆 ：与轴正半轴交点为，圆上的点，分别位于第一、二象限，并且 ‎，若点的坐标为，则点的坐标为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】[来源:学科网]‎ ‎【分析】‎ 由，可知，设的坐标为，根据向量的关系列方程求解即可。‎ ‎【详解】由题意知，，设的坐标为,则,,,‎ 因为，所以，即，又，‎ 联立解得或，因为在第二象限，故只有满足，即.‎ 故答案为B.‎ ‎【点睛】本题考查了单位圆的性质，考查了向量的坐标表示，向量的数量积，考查了方程思想，属于基础题。‎ ‎（福建省厦门市2019届高三第一学期期末质检文科数学试题）[来源:学科网]‎ ‎8.在中，，，为的中点，则（ ）‎ A. B. C. D. 5‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据平面向量的基本定理，求得，代入计算，即可求解.‎ ‎【详解】由题意，如图所示，根据平面向量的基本定理和数量积的运算，‎ 可得，故选B.‎ ‎ ‎ ‎【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积的运算，以及平面向量的基本定理的应用，其中解答中利用平面向量的基本定理，转化为向量和是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.‎ ‎（河北省衡水中学2019届高三上学期七调考试数学（文）试题）‎ ‎6.设是边长为2的正三角形，是的中点，是的中点，则的值为（ ）‎ A. 3 B. C. 4 D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 用表示,在利用向量数量积的运算，求得的值.‎ ‎【详解】 ‎ ‎，故选A.‎ ‎【点睛】本小题主要考查平面向量的线性运算，考查平面向量数量积的计算，还考查了等边三角形的几何性质，属于基础题.‎ ‎（湖南省长沙市雅礼中学2019届高三上学期月考（五）数学（文）试题）‎ ‎3.下列命题中是假命题的是（ ）‎ A. ，函数都不是偶函数 B. ，‎ C. ，使 D. 若向量，则在方向上的投影为2‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用三角函数的奇偶性，单调性，向量投影概念等对四个选项逐一进行判断，可以得到正确的结论．‎ ‎【详解】选项A,当φ＝时，f（x）＝sin（2x+φ）＝cos2x是偶函数，故A错误；‎ 选项B,由0＜α＜，可得sinα、α、tanα都是正实数,设f（α）=α-sinα，求导f′（α）=1-cosα＞0,f（α）=α-sinα在α∈（0，）上是增函数，则有f（α）=α-sinα＞f（0）=0，即sinα＜α．同理，令g（α）=tanα-α，则g′（α）=,所以，g（α）=tanα-α在α∈（0，）上也是增函数，有g（α）=tanα-α＞g（0）=0，即tanα＞α．综上，当α∈（0，）时，sinα＜α＜tanα．故B正确；‎ 选项C，当β＝0时，sinβ＝0，cos（α+β）＝cosα=cosα+sinβ，故C正确；‎ 选项D,根据向量数量积的几何意义知，向量在上的投影为，故D正确；[来源:学科网ZXXK]‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查正弦函数的奇偶性，单调性，向量投影概念等知识的综合考查，属于基础试题．‎ ‎（湖南师范大学附属中学2019届高三上学期月考（四）数学（理）试题）‎ ‎12.设，是抛物线上的两点，是坐标原点，若，则以下结论恒成立的结论个数为（ ）‎ ‎①；②直线过定点；③到直线的距离不大于1.‎ A. 0 B. 1 C. 2 D. 3‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意，根向量的运算，求得，得到，再根据向量的模的计算公式，化简得到①正确；直线的斜率求得直线方程，可判定直线不一定过点，②错误；利用点到直线的距离公式，可判定③正确，即可得到答案.‎ ‎【详解】设，，，， ，①正确；‎ 直线的斜率，方程为，过定点，②错误；‎ 原点到直线：的距离，③正确．故选C.‎ ‎【点睛】本题主要考查了向量的数量积和向量模的运算，以直线的方程及点到直线的距离公式的应用，其中解答中认真审题，合理利用向量的运算公式和直线方程的相关知识求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，试题有一定的综合性，属于中档试题.‎ ‎（广东省广州市天河区2019届高三毕业班综合测试（二）理科数学试题）‎ ‎7.在中，，，则( )‎ A. 3 B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 由题意得：，展开得：，又因为，所以可得：，因为所以 .‎ 故本题正确答案为 ‎（江西省上饶市重点中学2019届高三六校第一次联考数学（文）试卷）‎ ‎14.已知向量，，则在方向上的投影为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出， ，再代入向量的投影公式计算即可．‎ ‎【详解】因为＝-1 ， ， ‎ ‎∴向量在向量方向上的投影 ．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查了平面向量的数量积和模长及投影公式，属于基础题．‎ ‎（陕西省宝鸡市2019届高三高考模拟检测（二）数学（文科）试题）‎ ‎16.在△ABC中，AB＝5，AC＝3，∠BAC＝60°，点D是BC的中点，E是线段AD的中点，则BE＝________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 运用向量数量积的定义和中点向量表示，以及向量数量积的性质，主要是向量的平方即为模的平方，计算可得所求值．‎ ‎【详解】AB＝5，AC＝3，∠BAC＝60°，得•5×3×＝，‎ D是边BC的中点，（），‎ E是线段AD的中点，‎ ‎（）①，又（），代入①中得到 ‎，平方得•=，BE=，故答案为.‎ ‎【点睛】本题考查向量中点表示，以及向量数量积的运算和应用，考查了向量法解决几何问题的方法，考查运算能力，属于中档题．‎ ‎（陕西省宝鸡市2019届高三高考模拟检测（二）数学（文科）试题）‎ ‎4.设向量，，若与垂直，则实数k的值等于（ ）‎ A. 1 B. －1 C. 2 D. －2‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 分析：由两个向量垂直得向量的数量积为0，利用向量的坐标表示计算即可.‎ 详解：向量，‎ 则 若与垂直，则.‎ 解得.‎ 故选B.‎ 点睛：本题主要考查了向量数量积的坐标运算，属于基础题.‎ ‎（广东省汕尾市普通高中2019年3月高三教学质量检测文科数学试题）‎ ‎13.已知向量，若，则 ______．‎ ‎【答案】0‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 可求出，根据即可得出，这样进行数量积的坐标运算即可求出x．‎ ‎【详解】∵‎ ‎∴；‎ ‎；‎ ‎；‎ 解得．‎ 故答案为：0．‎ ‎【点睛】本题考查向量垂直的充要条件，以及向量数量积的坐标运算．‎ ‎（广东省揭阳市2019届高三一模数学（文科）试题）‎ ‎3.已知向量，若，则的值为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求，再根据向量数量积得方程，解得的值.‎ ‎【详解】因为，所以由得，选A.‎ ‎【点睛】求平面向量数量积有三种方法：一是夹角公式；二是坐标公式；三是利用数量积的几何意义.‎ ‎（河北省沧州市2019年普通高等学校招生全国统一模拟考试理科数学试题）‎ ‎11.在锐角三角形中，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由同角三角函数基本关系可得，结合两角和差正余弦公式可知 ，利用余弦定理可得，最后利用平面向量数量积的定义求解数量积即可.‎ ‎【详解】由同角三角函数基本关系可得，‎ 则 ，‎ 由余弦定理可得,‎ 则，‎ 结合平面向量数量积的定义可得：.‎ 本题选择A选项.‎ ‎【点睛】求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．‎ ‎（河南省濮阳市2019届高三下学期摸底考试数学（理）试题）‎ ‎7.如图，在中，，若在边AC上存在点D，使成立，则（ ）‎ A. B. 12 C. D. 8‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎ ,选D ‎[来源:学。科。网]‎ ‎（西安市2019届高三年级第一次质量检测文科数学）‎ ‎13.已知向量与的夹角为，，，则_______．‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，设||＝t，（t＞0），由数量积的计算公式可得•，进而由||，平方可得9+3t+t2＝13，解得t的值，即可得答案．‎ ‎【详解】根据题意，设||＝t，（t＞0），‎ 向量与的夹角为60°，||＝3，则•，‎ 又由||，则（）22+2•2＝9+3t+t2＝13，‎ 变形可得：t2+3t﹣4＝0，‎ 解可得t＝﹣4或1，‎ 又由t＞0，则t＝1；‎ 故答案为1．‎ ‎【点睛】本题考查向量数量积的计算公式，考查了向量的模的转化，属于基础题．‎ ‎（江西省临川一中，南昌二中，九江一中，新余一中等九校重点中学协作体2019届高三第一次联考数学（理）试题）‎ ‎9.已知扇形，，扇形半径为，是弧上一点，若，则（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将已知等式两边同时平方，利用数量积的运算法则计算，可得到cos，即可求得结果.‎ ‎【详解】由，两边同时平方得=，‎ 则有3=4+1+2=5+22cos，‎ ‎∴cos，，故选D.‎ ‎【点睛】本题考查了向量数量积的运算，考查了夹角的求法，属于基础题.‎ ‎（晋冀鲁豫名校2018-2019年度高三上学期期末联考数学(理)试题）‎ ‎13.已知，则向量与夹角的正弦值为______________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意利用向量夹角公式首先求得向量夹角的余弦值，然后结合同角三角函数基本关系求解其正弦值即可.‎ ‎【详解】，‎ ‎．‎ ‎【点睛】本题主要考查平面向量的夹角，同角三角函数基本关系及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎（河北省五个一名校联盟2019届高三下学期第一次诊断考试数学（文）试题）‎ ‎13.已知向量，则向量在上的投影为_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出利用投影公式计算即可.‎ ‎【详解】，则向量在上的投影为 故答案为 ‎【点睛】本题考查向量数量积，投影，是基础题，准确运用投影公式是关键.‎ ‎（河北省唐山市2019届高三上学期第一次摸底考试数学（文）试题）‎ ‎15.已知的两个单位向量，且，则__________.‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意，向量的两个单位向量，且，求得两向量的夹角满足，再由模的计算公式和向量的数量积的公式，即可求解.‎ ‎【详解】由题意，向量的两个单位向量，且，‎ 则，所以，[来源:Zxxk.Com]‎ 所以.‎ ‎【点睛】平面向量的计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用，利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决．‎ ‎（河南省九师联盟2019届高三2月质量检测数学文试题）‎ ‎9.在中，，，是所在平面上的一点，若，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据题意，用表示出，然后再利用数量积的运算求得结果即可.‎ ‎【详解】由题可知， ‎ ‎ ‎ 所以 ‎ ‎ 故选A ‎【点睛】本题主要考查了平面向量的基本定理和数量积的运算，易错在于用表示出，属于较为基础题.‎ ‎（山东省淄博实验中学、淄博五中2019届高三上学期第一次教学诊断理科数学试题）‎ ‎13.已知向量与满足，则则与的夹角为________。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析:有题意得，‎ 考点：求平面向量的夹角.‎ ‎【此处有视频，请去附件查看】‎ ‎（广西南宁市、玉林市、贵港市等2019届高三毕业班摸底考试数学（文）试题）‎ ‎13.已知平面向量与的夹角为，且，若，则__________．‎ ‎【答案】 1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】[来源:Z*xx*k.Com]‎ 由已知求出的值，再由（m）⊥，得（m）•=0，展开后得答案．‎ ‎【详解】∵向量与的夹角为120°，且||=2，||=4，‎ ‎∴，‎ 又（m）⊥，‎ ‎∴（m）•=，解得m=1．‎ 故答案为：1．‎ ‎【点睛】本题考查平面向量的数量积运算，考查向量垂直与数量积间的关系，是基础题．‎ ‎（江西省红色七校2019届高三第二次联考数学（理）试题）‎ ‎13.已知向量满足,且,则向量与的夹角为___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由向量夹角公式求得向量夹角的余弦，结合向量夹角的范围，即可得解.‎ ‎【详解】由题cos,‎ ‎ ,所以 故答案为 ‎【点睛】本题考查向量夹角公式，准确计算是关键，是基础题.‎ ‎[来源:学科网]‎ ‎（四川省成都市实验外国语学校2019届高三二诊模拟考试理科数学）‎ ‎6.已知向量与的夹角为，=2，=5，则在方向上的投影为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出，再根据投影的定义可得所求结果．‎ ‎【详解】∵=2，=5，向量与的夹角为，‎ ‎∴，‎ ‎∴在方向上的投影为．‎ 故选B．‎ ‎【点睛】解答本题的关键利用投影的定义求解，其中先求出两个向量的数量积是必须的步骤，考查数量积的定义和数量积的运算，属于基础题．‎ ‎（安徽省合肥一中、马鞍山二中等六校教育研究会2019届高三第二次联考数学（文）试题）‎ ‎6.两个非零向量满足，则向量与夹角为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 运用向量的平方即为模的平方，将已知等式平方，可得，，再由向量的夹角公式，计算即可得到所求角.‎ ‎【详解】两个非零向量，满足，‎ 两边平方可得，，‎ 化简得，，‎ 则，‎ 由，可得向量与夹角为，故选A.‎ ‎【点睛】本题考查向量模的平方等于向量的平方、利用向量的数量积公式求向量的夹角，考查了学生的计算能力，属于中档题.‎