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- 2021-06-11 发布
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理科数学
满分 150 分 考试时间：120 分钟；
第 I 卷（选择题，共 60 分)
一、选择题（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分)
1．已知集合 ， ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
2．已知复数 z 满足：（2＋i）z＝1－i，其中 i 是虚数单位，则 z 的共轭复数为（ ）
A． － i B． ＋ i
C． D．
3．某程序框图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数为（ ）
A．f(x)＝ B．f(x)＝
C．f(x)＝ D．f(x)＝x2ln(x2＋1)
4．数列 中， ， ，且数列 是等差数列，则 等于（ ）
A． B． C． D．
5．某电视台的夏日水上闯关节目中的前四关的过关率分别为 ， ， ， ，只有通过前
一关才能进入下一关，其中，第三关有两次闯关机会，且通过每关相互独立.一选手参加该
节目，则该选手能进入第四关的概率为（）
A． B． C． D．
2{ | 5 6 0}A x x x= − − < { | 3 1, }B x x k k Z= = + ∈ A B
{2,3,4} {1,2,3} {2,5} {1,4}
1
5
3
5
1
5
3
5
1
3 i− 1
3 i+
cos , 02 2
x x xx
π π − < < ≠
2 1
2 1
x
x
−
+
| |x
x
{ }na 2 2a = 6 0a = 1
1na
+ 4a
1
2
1
3
1
4
1
6
5
6
4
5
3
5
1
2
7
25
2
5
12
25
14
25
6．已知正三棱柱 的顶点都在球 的球面上， ， ，则球 的
表面积为（ ）
A． B． C． D．
7．函数 的函数图象是（ ）
A． B．
C． D．
8．在如图的平面图形中，已知 OM＝1，ON＝2，∠MON＝120°， ＝2 ， ＝
2 ，则 · 的值为( )
A．－15 B．－9 C．－6 D．0
9．已知 的最小值为
A． B． C． D．
10．已知正四棱锥 的侧棱长与底面边长都相等， 是 的中点，则
所成的角的余弦值为（ ）
1 1 1ABC A B C− O 2AB = 1 4AA = O
32
3
π
32π 64π 64
3
π
lg 1( ) x xf x x
−=
BM MA CN
NA BC OM
( ) 30, , 0, ,sin 2 sin ,cos2 2 2
π πα β α β β β ∈ ∈ + =
5
3
5
5
1
2
2
3
S ABCD− E SB AE SD，
A． B． C． D．
11．已知双曲线 ，过原点作一条倾斜角为 直线分别交双曲线左、
右两支 P，Q 两点，以线段 PQ 为直径的圆过右焦点 F，则双曲线离心率为
A． B． C．2 D．
12．设 表示不大于实数 的最大整数，函数 ，若关于 的
方程 有且只有 5 个解，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
第 II 卷（非选择题，共 90 分)
二、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分)
13．已知 P 为椭圆 上任意一点， ， 是椭圆的两个焦点.则 的
最小值为________.
14．已知函数 ，若 是函数 的极小值点，则实数 的值
为________.
15．设 满足约束条件 若目标函数 的最大值为 ,则 的最小
值为_________．
16．设数列{an}满足 a1=1，且 an+1﹣an=n+1（n∈N*），则数列{ }的前 10 项的和为__．
三、解答题共 70 分.解答题营写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17~21 题为必考题，
每个实体考生都必须作答，第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必做题.共 5 小题，每小题 12 分，共 60 分
17．在 中，角 对边分别为 ，且满足 ．
（1）求 的面积；
1
3
2
3
3
3
2
3
2 2
2 2
x y 1(a 0,b 0)a b
− = > > π
3
( )
2 1+ 3 1+ 5
[ ]x x
2ln [ln ] 1, 0( )
( 1), 0x
x x xf x
e ax x
− − >= + ≤
x
( ) 1f x = a
( , 1)−∞ − ( , )e−∞ − ( , 1]−∞ − ( , ]e−∞ −
2
14
x y+ = 1F 2F 2 2
1 2PF PF+
( ) 22ln 3f x x ax x= + − 2x = ( )f x a
1
na
ABC∆ , , A B C , , a b c ( )221, bc a bc b c= − = −
ABC∆
（2）若 ，求 的周长．
18．如图，在四面体 中， ， 分别是线段 ， 的中点，
， ， ，直线 与平面 所成的角等于
．
（1）证明：平面 平面 ；
（2）求二面角 的余弦值．
19．为了适当疏导电价矛盾，保障电力供应，支持可再生能源发展，促进节能减排，某省于
2018 年推出了省内居民阶梯电价的计算标准：以一个年度为计费周期、月度滚动使用，第
一阶梯电量：年用电量 2160 度以下(含 2160 度)，执行第一档电价 0.5653 元/度；第二阶梯
电量：年用电量 2161 至 4200 度(含 4200 度)，执行第二档电价 0.6153 元/度；第三阶梯电量：
年用电量 4200 度以上，执行第三档电价 0.8653 元/度.某市的电力部门从本市的用电户中随
机抽取 10 户，统计其同一年度的用电情况，列表如下表：
用户编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
年用电量
(度)
1000 1260 1400 1824 2180 2423 2 815 3325 4411 4600
(1)试计算表中编号为 10 的用电户本年度应交电费多少元？
(2)现要在这 10 户家庭中任意选取 4 户，对其用电情况作进一步分析，求取到第二阶梯电量
的户数的分布列；
(3)以表中抽到的 10 户作为样本估计全市的居民用电情况，现从全市居民用电户中随机地抽
取 10 户，若抽到 k 户用电量为第一阶梯的可能性最大，求 k 的值.
20．已知抛物线 C： =2px 经过点 （1，2）．过点 Q（0，1）的直线 l 与抛物线 C 有两
1cos cos 4B C = ABC∆
ABCD E F AD BD
90ABD BCD∠ = ∠ = 2EC = 2AB BD= = EC ABC
30
EFC ⊥ BCD
A CE B− −
2y P
个不同的交点 A，B，且直线 PA 交 y 轴于 M，直线 PB 交 y 轴于 N．
（Ⅰ）求直线 l 的斜率的取值范围；
（Ⅱ）设 O 为原点， ， ，求证： 为定值．
21．已知函数 ， ，
（1）求 f(x)的单调区间；
（2）如果函数 有两个极值点 、 ，求证： .（参考数据：
， ， ， 为自然对数的底数）
（二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多选，则按所做的第
一题计分。
22．在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数）．
（1）求曲线 的普通方程；
（2）在以 为极点， 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线 的方程为
，已知直线 与曲线 相交于 两点，求 ．
23．设函数 f(x)＝|x－a|.
(1)当 a＝2 时，解不等式 f(x)≥4－|x－1|；
(2)若 f(x)≤1 的解集为[0,2]， (m>0，n>0)，求证：m＋2
QM QOλ= QN QOµ= 1 1
λ µ+
( ) ( )1 lnf x x x= − ( ) ( )21 02g x ax x x= + >
( ) ( ) ( )T x f x g x= − 1x 2x 1 2 16x x⋅ >
2 1.41≈ ln 2 0.69≈ 2.72e ≈ e
xOy C
sin cos
sin cos
x
y
α α
α α
= +
= −
α
C
O x l
12 sin 04 2
πρ θ − + = l C ,A B AB
1 1
2 am n
+ =
理科数学参考答案及评分标准
一、选择题（本题包括 12 小题，每小题 5 分，共 60）
1．D 2．B. 3．B 4．A 5．D 6．D 7．A 8．C 9. 10．C 11．B 12．A
二、填空题（本题包括 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
13．8 14． 15． 16．
三、解答题（本题共 70 分）
17．（1）∵ ，∴ ，即 ，
∴ ； 4 分
（2）∵ ，∴
由题意， ，∴ ， 6 分
∵ ，∴ ， 8 分
∴ 10 分
∵ ，∴ ．
∴ 的周长为 ． 12 分
18．（Ⅰ）在 中， 是斜边 的中点，
所以 .
因为 是 的中点，
所以 ，且 ，
所以 ，
所以 .
又因为 ，
所以 ，
A
1
2
20
11
2 2 2b c a bc+ − = 1cos 2A = 060A =
1 3sin2 4ABCS bc A∆ = =
( ) 1cos cos 2A B C= − + = 1sin sin cos cos 2B C B C⋅ − ⋅ =
1cos cos 4B C⋅ = 3sin sin 4B C⋅ =
2 4
sin sin sin 3
a bc
A B C
= = 1a =
( ) ( )2 22 2 2 2 1 3b c a b c bc b c+ − = + − − = + −
2 2 2 1b c a+ − = 2b c+ =
ABC∆ 1 2 3a b c+ + = + =
tR BCD∆ F BD
1 12FC BD= =
,E F ,AD BD
1 12EF AB= = 2EC =
2 2 2EF FC EC+ =
EF FC⊥
, / /AB BD EF AB⊥
EF BD⊥
又 ，
所以 平面 ，
因为 平面 ，
所以平面 平面 ． 6 分
（Ⅱ）方法一：取 中点 ，连 ，则 ，
因为 ，
所以 .
又因为 ， ，
所以 平面 ，
所以 平面 ．
因此 是直线 与平面 所成的角．
故 ，
所以 .
过点 作 于 ，则 平面 ，
且 ．
过点 作 于 ，连接 ，
则 为二面角 的平面角．
因为 ，
所以 ，
所以 ，
BD FC F∩ =
EF ⊥ BCD
EF ⊂ EFC
EFC ⊥ BCD
AC M ME / /ME CD
1 22CE AD= =
CD AC⊥
CD BC⊥ AC BC C∩ =
CD ⊥ ABC
ME ⊥ ABC
ECM∠ EC ABC
2 2 cos30 6AC MC EC= = ⋅ =
2CD BC= =
B BN AC⊥ N BN ⊥ ACD
2 3
3
AB BCBN AC
⋅= =
B BH EC⊥ H HN
BHN∠ A CE B− −
2BE BC EC= = =
2 23 6 6,2 2 6BH BE HN BH BN= = = − =
1cos 3
HNBHN BH
∠ = =
因此二面角 的余弦值为 ． 12 分
方法二：
如图所示，在平面 BCD 中，作 x 轴⊥BD，以 B 为坐标原点，BD，BA 所在直线为 y 轴，z
轴建立空间直角坐标系 ．
因为 (同方法一,过程略)
则 ， , ．
所以 , , ，
设平面 的法向量 ，
则 ，即 ，取 ,得 ．
设平面 的法向量
则 ，即 ，取 ,得 ．
所以 ，
由图形得二面角 为锐角，
因此二面角 的余弦值为 ． 12 分
19．(1)因为第二档电价比第一档电价多 0.05 元/度，第三档电价比第一档电价多 0.3 元/度，
编号为 10 的用电户一年的用电量是 4 600 度，则该户本年度应交电费为 4 600×0.565 3＋(4
200－2 160)×0.05＋(4 600－4200)×0.3＝2822.38(元). 4 分
（2）设取到第二阶梯电量的用户数为 ，可知第二阶梯电量的用户有 4 户，则 可取 0，
1，2，3，4.
A CE B− − 1
3
Bxyz
2CD BC= =
( )1,1,0C ( )0,0,2A ( )0,1,1E
( )= 1,0,1CE − ( )0,1,1BE = ( )0,1, 1AE = −
ACE ( )1 1 1, ,m x y z=
· 0
C · 0
AE m
E m
=
=
1 1
1 1
0
0
y z
x z
− =
− + = 1 1x = ( )1,1,1m =
BCE ( )2 2 2, ,n x y z=
· 0
· 0
BE n
CE n
=
=
2 2
2 2
0
0
y z
x z
+ =
− + = 2 1x = ( )1, 1,1n = −
· 1 1cos , = 33 3
m nm n m n
= =
×
A CE B− −
A CE B− − 1
3
X X
, ，
, ，
故 的分布列为
0 1 2 3 4
所以 ． 8 分
（3）由题意可知从全市中抽取 10 户的用电量为第一阶梯，满足 ，可知
，
由 ,
解得 ，
所以当 时概率最大，
故 . 12 分
20．解：（Ⅰ）因为抛物线 y2=2px 经过点 P（1，2），
所以 4=2p，解得 p=2，所以抛物线的方程为 y2=4x． 2 分
由题意可知直线 l 的斜率存在且不为 0，
设直线 l 的方程为 y=kx+1（k≠0）．
由 得 ．
( ) 0 4
4 6
4
10
10 14
C CP X C
= = = ( ) 1 3
4 6
4
10
81 21
C CP X C
= = = ( ) 2 2
4 6
4
10
32 7
C CP X C
= = =
( ) 3 1
4 6
4
10
43 35
C CP X C
= = = ( ) 4 0
4 6
4
10
14 210
C CP X C
= = =
X
X
p 1
14
8
21
3
7
4
35
1
210
( ) 1 8 3 4 1 80 1 2 3 414 21 7 35 210 5E X = × + × + × + × + × =
2~ 10, 5X B
( ) 10
10
2 3
5 5
k k
kP X k C
− = =
( )0,1,2,3 ,10k =
10 1 9
1
10 10
10 1 11
1
10 10
2 3 2 3
5 5 5 5
2 3 2 3
5 5 5 5
k k k k
k k
k k k k
k k
C C
C C
− + −
+
− − −
−
≥
≥
17 22
5 5k≤ ≤
*k N∈
4k =
4k =
2 4
1
y x
y kx
=
= +
( )2 2 2 4 1 0k x k x+ − + =
依题意 ，解得 k<0 或 0
1 2 2
2 4kx x k
−+ = − 1 2 2
1x x k
=
( )1
1
22 11
yy xx
−− = −−
1 1
1 1
2 12 21 1M
y kxy x x
− + − += + = +− −
2
2
1 21N
kxy x
− += +−
=QM QOλ =QN QOµ =1 Myλ − 1 Nyµ = −
( ) ( )
( ) 2 21 2 1 21 2
1 2 1 2
2
2 2 4
21 11 1 1 1 1 1 =211 1 1 1 1 1M N
k
x x x xx x k k
y y k x k x k x x k
k
λ µ
−+− +− −+ = + = + = ⋅ = ⋅− − − − − −
1 1
λ µ+
( ) ( ) 211 ln 2T x x x ax x= − − −
( ) 1ln 0T x x axx
= − − =′ 1x 2x
1 1
1
2 2
2
1ln
1ln
x axx
x axx
− =
− =
( ) ( )1 2
1 2 1 2
1 2
ln x xx x a x xx x
+− = +
( )2 1 2
2 1
1 1 2
ln x x x a x xx x x
−− = −
2
1
2 1 1 2
ln 1
x
xa x x x x
= +−
代入①有 ，
即 ， 8 分
不妨设 ，则 ，由（1）有 .
又 ，
所以 ，即 ， 9 分
设 ，则 ， 在 单调递增，
又 ，
， ，因此 .
22．解：（1）由 得 ，将两式相加得
，
故曲线 的普通方程为 ； 4 分
（2）由 得 ，
化为直角坐标方程为 ， 6 分
圆心到直线 的距离 ， 8 分
由垂径定理得 ． 10 分
23．(1)当 a＝2 时，不等式为|x－2|＋|x－1|≥4.
当 x≥2 时，原不等式化为 2x－3≥4，解得 x≥ ，所以 x≥ ；
( ) ( )
2
1 2 1
1 2 1 2
1 2 2 1 1 2
ln 1ln
x
x x xx x x xx x x x x x
+ − = + +−
( ) ( )1 2 1 2 2
1 2
1 2 2 1 1
2ln lnx x x x xx x x x x x x
+ +− = −
1 20 x x< < 2
1
1x
x
> ( ) ( )1 2
1 2
1 2
2ln x xx x x x
+− 1 2 2
2 1 1
ln 2x x x
x x x
+= > −
( ) ( )1 2
1 2
1 2
2ln x xx x x x
+− ( ) ( )1 2
1 2 1 2
1 2 1 2
4 4ln 2lnx xx x x xx x x x
< − = −
( )1 2
1 2
42ln 2x x
x x
− > ( )1 2
1 2
2ln 1x x
x x
− >
( ) 2lnG x x x
= − ( ) 2
1 2 0G x x x
′ = + > ( ) 2lnG x x x
= − ( )0, ∞+
( ) 2 14 ln 4 2ln 2 2 0.69 0.5 14 2G = − = − ≈ × − <
( ) ( )1 2 1 2
1 2
2ln 4 41 4
2lnG x x x x
x x
G∴ = − − => >
1 2 4x x∴ > 1 2 16x x⋅ >
sin cos
sin cos
x
y
α α
α α
= +
= −
2
2
1 2sin cos
1 2sin cos
x
y
α α
α α
= +
= −
2 2 2x y+ =
C 2 2 2x y+ =
12 sin 04 2
πρ θ − + =
1cos sin 02
ρ θ − ρ θ + =
1 02x y− + =
l
1
22
42
d = =
2 22AB r d= − 1 302 2 8 2
= − =
7
2
7
2
当 1≤x＜2 时，原不等式化为 1≥4，无解；
当 x<1 时，原不等式化为 3－2x≥4，
解得 x≤－ ，所以 x≤－ . 4 分
所以原不等式的解集为 .
(2)证明：f(x)≤1，即|x－a|≤1，解得 a－1≤x≤a＋1，
而 f(x)≤1 的解集是[0,2]，
所以 ，解得 a＝1，所以 ＝1(m>0，n>0)．
所以 m＋2n＝(m＋2n) ＝2＋ ，
当且仅当 m＝2n 时，等号成立 10 分
1
2
1
2
1 7, ,2 2
−∞ − +∞
1 0
1 2
a
a
− =
+ =
1 1
2m n
+
1 1
2m n
+
2 22 2 42 2
n m n m
m n m n
+ ≥ + ⋅ =
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