广东省13市2017届高三上学期期末考试数学文试题分类汇编：导数及其应用 Word版 22页

广东省13市2017届高三上学期期末考试数学文试题分类汇编 导数及其应用 一、选择、填空题 ‎1、（潮州市2017届高三上学期期末）若曲线y=a（x﹣1）﹣lnx在x=2处的切线垂直于直线y=﹣2x+2，则a=（　　）‎ A．4 B．3 C．2 D．1‎ ‎2、（佛山市2017届高三教学质量检测（一））对任意，曲线在点处的切线与圆的位置关系是（ ）‎ A．相交 B．相切 ‎ C．相离 D．以上均有可能 ‎3、（佛山市2017届高三教学质量检测（一））已知函数，是常数，若在上单调递减，则下列结论中：‎ ‎ ①；②；③有最小值．正确结论的个数为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4、（广州市2017届高三12月模拟）若函数在上单调递增，则实数的取值范围是 ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎5、（惠州市2017届高三第三次调研）已知，则不等式的解集为( )‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎6、（揭阳市2017届高三上学期期末）已知曲线在点 处的切线的倾斜角为，则的值为 ‎（A）1 （B）－4 （C） （D）－1‎ ‎7、（茂名市2017届高三第一次综合测试）已知，又，若满足的x有四个，则t的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8、（韶关市2017届高三1月调研）已知函数是偶函数，且当时其导函数满足，若，则下列不等式式成立的是 ‎ ‎（A） （B） ‎ ‎（C） （D）‎ ‎9、（肇庆市2017届高三第二次模拟）‎ 已知函数 若对任意的，总存在，使得，则实数的取值范围为 ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ ‎10、（珠海市2017届高三上学期期末）函数 f (x) ＝ln x在点(1，f (1))处的切线方程是______________.‎ 二、解答题 ‎1、（潮州市2017届高三上学期期末）已知函数f（x）=mlnx+（4﹣2m）x+（m∈R）．‎ ‎（1）当m=2时，求函数f（x）的极值；‎ ‎（2）设t，s∈[1，3]，不等式|f（t）﹣f（s）|＜（a+ln3）（2﹣m）﹣2ln3对任意的 m∈（4，6）恒成立，求实数a的取值范围．‎ ‎2、（东莞市2017届高三上学期期末）已知函数 f (x) ＝ (2x －m)，（mR）.‎ ‎（1）若函数 f (x)在(－1，+)上单调递增，求实数m的取值范围；‎ ‎（2）当曲线 y＝f (x)在x＝0处的切线与直线 y＝x平行时，设h(x) ＝f (x) －ax+a，若存在唯一的整数 使得h（）＜0 ，求实数a的取值范围.‎ ‎3、（佛山市2017届高三教学质量检测（一））设函数，其中，是自然对数的底数 ‎（Ⅰ）若是上的单调函数，求的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）若，证明：函数有两个极值点 ‎4、（广州市2017届高三12月模拟）设函数. 若曲线在点处的切线方程为 ‎（为自然对数的底数）.‎ ‎（Ⅰ）求函数的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）若，试比较与的大小，并予以证明.‎ ‎5、（惠州市2017届高三第三次调研）已知函数．‎ ‎（Ⅰ）若，求函数的极值和单调区间；‎ ‎（Ⅱ）若在区间上至少存在一点，使得成立，‎ 求实数的取值范围．‎ ‎6、（江门市2017届高三12月调研）已知函数(其中，为自然对数的底数，)．‎ ‎（Ⅰ）求；‎ ‎（Ⅱ）求函数的极值；‎ ‎（Ⅲ）是否存在整数，使得对任意的，恒成立 （*）‎ 若存在，写出一个整数，并证明（*）；若不存在，说明理由．‎ ‎7、（揭阳市2017届高三上学期期末）已知函数.()‎ ‎（I）试确定函数的零点个数；‎ ‎（II）设是函数的两个零点，证明：．‎ 参考公式：‎ ‎8、（茂名市2017届高三第一次综合测试）已知函数.‎ ‎(Ⅰ) 当a=0时，求曲线f (x)在x =1处的切线方程；‎ ‎(Ⅱ) 设函数,求函数h (x)的极值；‎ ‎(Ⅲ) 若在[1，e](e=2.718 28…)上存在一点x0，使得成立，‎ 求a的取值范围．‎ ‎9、（汕头市2017届高三上学期期末）设函数.‎ ‎（1）求函数的单调区间； ‎ ‎（2）讨论函数的零点个数.‎ ‎10、（韶关市2017届高三1月调研）已知函数，．‎ ‎（Ⅰ）若函数在区间为增函数，求实数的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）当时，过原点分别作曲线与的切线，，已知两切线的斜率互为倒数，证明：．‎ ‎11、（肇庆市2017届高三第二次模拟）已知函数，.‎ ‎（Ⅰ）讨论函数的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）若有两个零点，求的取值范围. ‎ ‎12、（珠海市2017届高三上学期期末）已知函数 f (x) ＝x －ln(x +a)的最小值为 0，其中a＞0，设g(x)＝ ln x +‎ ‎⑴ 求a 的值；‎ ‎⑵ 对任意恒成立，求实数m 的取值范围；‎ ‎⑶ 讨论方程g(x) ＝f (x) +ln(x+1)在[1，＋)上根的个数．‎ 参考答案 一、选择、填空题 ‎1、【解答】解：由y=a（x﹣1）﹣lnx，求导得f′（x）=a﹣，‎ 依题意曲线y=a（x﹣1）﹣lnx在x=2处的切线垂直于直线y=﹣2x+2，‎ 得，a﹣，即a=1．‎ 故选：D．‎ ‎2、A　　3、C　　‎ ‎4、解析：特殊值法。当a＝0时，函数为，在上＞0，函数单调递增成立，排除C，D；‎ 当a＝1时，函数为，，在上＞0，所以，f(x)单调递增。因此，选A。‎ ‎5、【解析】，因为所以是偶函数。 所以所以变形为： 又所以在单调递增，在单调递减。所以等价于故选D ‎6、D ‎7、【解析】令，则，由，得，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增. 作出 图象，利用图象变换得图象如图2，令，‎ 当，有3个根，‎ 当，有1个根，‎ 因此，关于方程两根分别在时，满足的有4个，令，由 和，解得. 选择B.‎ ‎8、【解析】由函数是偶函数可知，函数关于直线对称，又 ‎，故函数在上单调递减，在上单调递增，又，所以，，所以选.‎ ‎9、C　　10、‎ 二、解答题 ‎1、【解答】解：（1）函数的定义域是（0，+∞），‎ m=2时，f（x）=2lnx+，f′（x）=，‎ 令f′（x）＞0，解得：x＞，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜，‎ 故函数f（x）在（0，）递减，在（，+∞）递增，‎ 故f（x）的极小值是f（）=2﹣2ln2，无极大值；‎ ‎（2）f′（x）=，‎ 令f′（x）=0，得x1=，x2=﹣，‎ m∈（4，6）时，函数f（x）在[1，3]递减，‎ ‎∴x∈[1，3]时，f（x）max=f（1）=5﹣2m，f（x）min=f（3）=mln3++12﹣6m，‎ 问题等价于：对任意的m∈（4，6），恒有（a+ln3）（2﹣m）﹣2ln3＞5﹣2m﹣mln3﹣﹣12+6m成立，‎ 即（2﹣m）a＞﹣4（2﹣m），‎ ‎∵m＞2，则a＜﹣4，‎ ‎∴a＜（﹣4）min，‎ 设m∈[4，6），则m=4时，﹣4取得最小值﹣，‎ 故a的范围是（﹣∞，﹣]．‎ ‎2、（1） ………………1分 上单调递增 ‎ 在上恒成立 ………………2分 即在上恒成立 ‎ ………………3分 在上递增 ‎ ………………4分 ‎（2） ‎ 依题有即 ………………5分 存在唯一的整数使得，‎ 所以，显然不满足不等式 ………………6分 当时，，令，‎ ‎，解得 ………………７分 ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ 递减 递增 ‎………………８分 又，‎ 存在唯一的整数使得，所以 ………………9分 ‎ ‎ 当时，，令，‎ ‎，解得 　　　　　　　　　　　　　　………………１０分 ‎+‎ ‎0‎ ‎—‎ 递增 ‎1‎ 递减 又，，‎ 存在唯一的整数使得，所以 ‎ 综上实数的取值范围为 ………………12分 ‎（2）【解法二】存在唯一的整数使得，‎ 即存在唯一的整数使得，，即 考察函数，，解得 ‎ ‎—‎ ‎0‎ ‎+‎ 递减 递增 由（1）可知 ………………7分 因为存在唯一的整数使得满足，由函数图象可知 所以或 ………………10分 解得：或 综上：实数的取值范围为 ………………12分 ‎3、‎ ‎4、（Ⅰ）函数的定义域为.‎ ‎. ………………………………………………………………1分 依题意得，即 ……………………3分 所以. ………………………………………………………………4分 所以，.‎ 当时, ; 当时, .‎ 所以函数的单调递减区间是, 单调递增区间是.………………6分 ‎（Ⅱ）当时，.‎ 等价于，‎ 也等价于. ………………………………………7分 不妨设，‎ 设（）, ‎ 则. …………………………………………………………8分 ‎ 当时，，所以函数在上为增函数，‎ 即， ……………………9分 故当时，（当且仅当时取等 号）.‎ 令，则， …………………………………………10分 即（当且仅当时取等号），……………11分 综上所述，当时，（当且仅当时取等号）.‎ ‎ ………………………………………………………………12分 ‎5、解：（Ⅰ）当，．‎ 令得，．………………………………1分 又的定义域为，由得，由得，．‎ 所以时，有极小值为1．‎ 的单调递增区间为，单调递减区间为．………………3分 ‎（Ⅱ）若在区间上存在一点，使得成立，即在区间上的最小值小于0．‎ ‎，且，令，得到………………………4分 当，即时，恒成立，即在区间上单调递减…………5分 故在区间上的最小值为 ‎，………………………6分 由，得，即．………………………………………………7分 当即时，‎ ‎①若，则对成立，所以在区间上单调递减………8分 则在区间上的最小值为，‎ 显然，在区间的最小值小于0不成立．………………………9分 ‎②若，即时，则有 ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ 所以在区间上的最小值为，……………………10分 由，得，解得，即，……11分 综上，由①②可知，符合题意．………………12分 ‎6、解：⑴……1分 ‎，……2分 ‎⑵由⑴知，……3分 令……4分 令，……5分 令，……6分 ‎ ，无极大值。……7分 ‎⑶①当k=1时，命题成立……8分。证明如下：‎ 对任意的，即恒成立 令，‎ 令……9分;‎ 令，……10分;‎ 令，……11分;‎ ‎……12分;‎ ‎②当k=2时，命题成立……8分。证明如下：‎ 对任意的，即恒成立 令，令……9分;‎ 令，……10分;‎ 令，……11分;‎ ‎……12分;‎ ‎③当k=3时，命题成立……8分。证明如下：‎ 对任意的，即恒成立 令，令……9分 令，……10分;‎ 令，……11分;‎ ‎……12分 ‎（说明：k=1,k=2,k=3只要对其中一种都是满分。）‎ ‎7、解：（I）由得，令，‎ 函数的零点个数即直线与曲线的交点个数，‎ ‎∵，-------------2分 由得，∴函数在单调递增，‎ 由得，∴函数在上单调递减，‎ ‎∴当时，函数有最大值，，----------------------------------------3分 又当时，>0，，当时，‎ ‎∴当时，函数没有零点；----------------------------------------------------------------4分 当或时，函数有一个零点；------------------------------------------------------5分 当时，函数有两个零点．------------------------------------------------------------6分 ‎（II）证明：函数的零点即直线与曲线的交点横坐标，‎ 不妨设，由（I）知，得，‎ ‎ ∵函数在上单调递增，‎ ‎∴函数在单调递减，‎ 要证，只需证， ------------------------------------------------------------7分 ‎∴只需证，又，即要证，---------------------8分 ‎∵由得，（）--------9分 令，则，------------------------------10分 当时，，，即函数在上单调递减，‎ ‎ ∴，‎ ‎ ∴当时，，即．------------------------------------------------12分 ‎【证法二：由（Ⅰ）知，，不妨设，‎ 设，则，-----------------------------8分 ‎，易知是减函数，‎ 当x>1时，，又1-x<0， 得，‎ 所以在递增，，即>.---------------------------10分 由得>，又，所以，‎ ‎ 由在上单调递增，得在单调递减，‎ 又，∴，即，得证． ---------------------------------------12分】‎ ‎8、解：(Ⅰ) 当a=0时，f (x) =, f (1) =1, 则切点为(1, 1)， ……………………………1分 ‎∵, ∴切线的斜率为, ……………………………………2分 ‎∴曲线f (x)在点(1, 1)处的切线方程为y-1= -( x-1)，即x+ y-2=0 ………………………3分 ‎(Ⅱ)依题意，定义域为(0, +∞)，‎ ‎∴, ……………………4分 ‎①当a+1＞0，即a＞-1时，令，∵x＞0，∴0＜x＜1+ a, ‎ 此时，h(x) 在区间(0, a+1)上单调递增，‎ 令，得 x＞1+ a.‎ 此时，h(x)在区间(a+1,+∞)上单调递减. ………………………………………………5分 ‎②当a+1≤0，即a≤-1时，恒成立， h(x)在区间(0,+∞)上单调递减. …………6分 综上，当a＞-1时，h(x)在x=1+a处取得极大值h(1+a)=，无极小值；‎ 当a≤-1时，h(x)在区间(0,+∞)上无极值. ………………………………………7分 ‎(Ⅲ) 依题意知，在[1, e]上存在一点x0，使得成立,‎ 即在[1, e]上存在一点x0，使得h(x0)≥0，‎ 故函数在[1, e]上，有h(x)max≥0. ………………………………8分 由(Ⅱ)可知，①当a+1≥e, 即a≥e-1时，h(x)在[1, e]上单调递增，‎ ‎∴, ∴, ‎ ‎∵，∴. ………………………………………………………9分 ‎②当0＜a+1≤1，或a≤-1，即a≤0时，h(x)在[1, e]上单调递减，‎ ‎∴，∴a ≤-2. ……………………………………………10分 ‎③当1＜a+1＜e，即0＜a＜e-1时，‎ 由(Ⅱ)可知，h(x)在x=1+a处取得极大值也是区间(0, +∞)上的最大值，‎ 即h(x)max=h(1+a)=，‎ ‎∵0＜ln(a+1)＜1, ∴h(1+a)＜0在[1, e]上恒成立，‎ 此时不存在x0使h(x0)≥0成立．……………………………………………………………11分 综上可得，所求a的取值范围是或a≤-2. ……………………………………12分 ‎9、解：（1）函数的定义域为 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 当时，令得；令得或，‎ 所以函数的单调增区间为和，单调减区间为； ‎ 当时，恒成立，所以函数的单调增区间为，无减区间；‎ 当时，令得；令得或，‎ 所以函数的单调增区间为和，单调减区间为. ‎ （2） 由（1）可知，当时，‎ 函数的单调增区间为和，单调减区间为，‎ 所以，，‎ 注意到， ‎ 所以函数有唯一零点，当时，函数在上单调递增，‎ 又注意到， 所以函数有唯一零点； ‎ 当时，函数的单调递增是和上，单调递减是上，‎ 所以，， ‎ 注意到， ‎ 所以函数有唯一零点， ‎ 综上，函数有唯一零点. ‎ ‎10、解：（1）由得， ………………1分 ‎∵函数在区间单调递增 ‎∴在区间恒成立，即在区间恒成立 …………2分 ‎∴，而 ……………………3分 ‎∴ ……………………4分 ‎（2）设切线的方程为，切点为，则，‎ ，所以，，则． ………………5分 由题意知，切线的斜率为，的方程为． …………6分 设与曲线的切点为，则，………7分 所以，． ………………8分 又因为，消去和后，整理得 ………9分 令，则，‎ 在上单调递减，在上单调递增．‎ 若，因为，，所以，‎ 而在上单调递减，所以．‎ 若，因为在上单调递增，且，则，‎ 所以（舍去）．‎ 综上可知，． ………………12分 ‎11、解：（Ⅰ）. （1分）‎ ‎（i）若，则当时，；当时，；‎ 故函数在单调递减，在单调递增． （2分）‎ ‎（ii）当时，由，解得：或. （3分）‎ ‎①若，即，则，，‎ 故在单调递增． （4分）‎ ‎②若，即，则当时，；当时，；故函数在，单调递增，在单调递减． （5分）‎ ‎③若，即，则当时，；当时，；故函数在，单调递增，在单调递减． （6分）‎ ‎（Ⅱ）（i）当时，由（Ⅰ）知，函数在单调递减，在单调递增．‎ ‎∵，‎ 取实数满足且，则，‎ ‎ （7分）‎ 所以有两个零点． （8分）‎ ‎（ii）若，则，故只有一个零点． （9分）‎ ‎（iii）若，由（I）知，‎ 当，则在单调递增，又当时，，故不存在两个零点；‎ 当，则函数在单调递增；在单调递减．又当时，，故不存在两个零点． （11分）‎ 综上所述，的取值范围是． （12分）‎ ‎12、‎