- 364.20 KB
- 2021-06-11 发布
- 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
- 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
- 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
- 网站客服QQ:403074932
2020 年北京市海淀区高三一模数学考试逐题解析
2020.5
本试卷分为第I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,满分 150 分,考试时长 120 分钟。考生务必将答案写在答题纸上,在试卷上作答无效。考试结束后,将本试卷和答题纸一并交回。
第 I 卷(选择题 共 40 分)
一、选择题:共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。
1. 在复平面内,复数i(2 -i) 对应的点位于
(A)第一象限 (B)第二象限
(C)第三象限 (D)第四象限
【答案】A
【解析】本题考查复数的运算.
i(2 - i) = -i2 + 2i = 1+ 2i
对应点(1, 2) 在第一象限内.
故选 A.
2. 已知集合 A ={x | 0 < x < 3}, A B = {1} ,则集合B 可以是
(A){1,2} (B){1,3}
(C){0,1,2} (D){1,2,3}
21
【答案】B
【解析】本题考查集合运算. 选项 A: A B = {1, 2}
B = {1}
选项 B: A
选项 C: A B = {1, 2}
选项 D: A B = {1, 2}
故选 B.
21
1. 已知双曲线x2
- y2
b2
= 1(b > 0) 的离心率是
,则b 的值为
21
5
(A)1 (B) 2
(C) 3 (D) 4
【答案】B
【解析】本题考查双曲线的离心率.
21
由 x2
- y2
b2
= 1,可知a = 1
21
c2
a2
a2 + b2
a2
1+
b2
a2
1+ b2
5
e = c = = = = =
a
解得b2 = 4
∵ b > 0
∴ b = 2
故选 B.
21
1. 已知实数a,b,c 在数轴上对应的点如图所示,则下列式子中正确的是
21
(A) b - a < c + a
(C) c > c
b a
(B) c2 < ab
(D)| b | c <| a | c
21
【答案】D
【解析】本题考查不等式的性质.
由图可知, c < b < a < 0, 且| c | > | b | > | a |
选项 A:
∵ c < b, a < 0, ∴ c + a < c,b - a > b.
∴ c + a < c < b < b - a.
∴ c + a < b - a ,故A 项错误; 选项 B:
∵ c < b < a < 0, ∴ c2 > b2 > a2 ,且b2 > ab
∴ c2 > b2 > ab
∴ c2 > ab ,故选项B 错误; 选项 C:
∵ b < a < 0, ∴ 1 > 1
b a
∴ c < c ,故选项C 错误;
b a
选项 D:
∵| b | > | a | 且c < 0
∴| b | ×c < | a | ×c ,故选项D 正确.
21
1. 在( 1 - 2x)6 的展开式中,常数项为
x
21
(A) -120
(B)120 (C) -160
(D)160
21
【答案】C
【解析】本题考查二项式定理.
T = Cr × 1 6-r × (-2x)r = Cr × (-2)r × x2r -6 ,
r +1 6 ( x ) 6
其中常数项需满足2r - 6 = 0 ,即r = 3 ,
T = C3 × (-2)3 = 20 ´ (-8) = -160 .
4 6
故选 C.
1. 如图,半径为 1 的圆M 与直线l 相切于点 A ,圆M 沿着直线l 滚动.当圆M 滚到圆M ¢
时,圆M ¢ 与直线l 相切于点B ,点 A 运动到点 A¢ ,线段 AB 的长度为 3π ,则点M ¢ 到直线
2
BA¢ 的距离为
(A)1 (B) 3
2
21
(C) 2
2
(D) 1
2
21
【答案】C
【解析】本题考查直线与圆.
由题可知 AB = 3π ,且圆M 的周长为2π,
2
所以由圆M 到圆M ¢ 的过程中沿着直线l 旋转了 3 圈,
4
21
所以点 A¢的位置如图所示,
此时 A¢BM ¢为等腰直角三角形,
所以M ¢ 到直线BA¢ 的距离为 2 .
2
故选 C.
1. 已知函数 f (x) = | x - m | 与函数 g(x) 的图象关于 y 轴对称.若 g(x) 在区间(1, 2) 内单调递减,则m 的取值范围为
21
(A)[-1, +¥)
(B)(-¥, -1]
(C)[-2, +¥)
(D)(-¥, -2]
21
【答案】D
【解析】本题考查函数单调性.
因为函数 f (x) = | x - m | 与函数g(x) 的图象关于 y 轴对称, 所以函数g(x) = | x + m | .
由解析式可知函数 g(x) 在区间(-¥,-m) 单调递减, 若函数 g(x) 在区间(1, 2) 单调递减,
则(1,2) Í (-¥,-m) ,即-m ³ 2,
解得m £ -2 .
故选 D.
21
1. 某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥中最长棱的棱长为
5
(A)
2
(B) 2
3
(C) 2
13
(D)
【答案】C
【解析】本题考查三视图.
四棱锥的直观图如图所示:由图可知,
21
22 + 22 + 22
该四棱锥中最长棱的棱长为PA =
故选 C.
9. 若数列{a }满足a = 2 ,则“ "p, r Î N*, a
= 2
3
= a a
.
”是“{a }为等比数列”的
21
n 1 p+r p r n
(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件
(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】本题考查等比数列.
21
充分条件:因为数列{a }中, a = 2 ,并且对于"p, r Î N*, a = a a
都成立,
21
n 1 p+r p r
所以 p ³1, r ³1,即a2 = a1 × a1 = 4, a3 = a1 × a2 = 8,a4 = a1 × a3 = 16,
所以{an}各项均不为 0.
21
令r = 1,则a
= a = a × a = 2a ,即 ap+1 = 2 ,
21
a
p+r p+1 1 p p
p
所以{an}为以a1 = 2 为首项,公比q = 2 的等比数列,所以充分条件成立;
21
必要条件:若{an}为等比数列,则公比q 可以为 1.
21
当q = 1时, a
= a × qp+r -1 = a
= 2 , a
= a × qp-1 = a
= 2 , a = a × qr -1 = a
= 2 ,
21
p+r 1 1
p 1 1
r 1 1
21
此时apar = 4 ¹ ap+r = 2 ,所以必要条件不成立.
p+r p r n
所以“ "p, r Î N*, a = a a ”是“{a }为等比数列”的充分而不必要条件,
故选 A.
9. 形如22n +1( n 是非负整数)的数称为费马数,记为F .数学家费马根据F , F , F , F , F
n 0 1 2 3 4
都是质数提出了猜想:费马数都是质数.多年之后,数学家欧拉计算出 F5 不是质数,那么F5 的位数是
(参考数据: lg 2 » 0.3010 )
(A) 9 (B)10 (C)11 (D)12
【答案】B
【解析】本题考查指对数运算.
21
由题知, F5
= 225 +1 = 232 +1 » 232 = 10lg 232
= 1032lg 2 » 1032´0.3010 = 109.632 = 100.632 ´109
21
5
因为1 < 100.632 < 10 ,所以F 的位数是 10.
故选 B.
21
第 II 卷(非选择题 共 110 分) 二、填空题:共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分。
9. 已知点P(1, 2) 在抛物线C : y2 = 2 px 上,则抛物线C 的准线方程为 .
【答案】x = -1
【解析】本题考查抛物线.
将点P(1, 2) 代入 y2 = 2 px ,解得 p = 2,所以抛物线C : y2 = 4x ,其准线方程为x = -1.
10. 在等差数列{an}中, a1 = 3, a2 + a5 = 16 ,则数列{an}的前 4 项的和为 .
【答案】24
【解析】本题考查等差数列.
设等差数列{an}公差为d ,由a1 = 3, a2 + a5 = 2a1 + 5d = 16,解得d = 2 ,
21
其中a4 = a1 + 3d = 3 + 6 = 9 .
所以数列{an}的前 4 项和S4
= (a1 + a4 ) ´ 4 = (3 + 9) ´ 4 = 24.
2 2
21
11. 已知非零向量a,b 满足| a | = | a - b | ,则(a - 1 b) × b = .
2
【答案】0
【解析】本题考查平面向量.
因为| a | = | a - b | ,平方得| a |2 = | a - b |2 ,化简得2a × b - b2 = 0 ,
所以(a - 1 b) × b = a × b - 1 b2 = 1 (2a × b - b2 ) = 0 .
2 2 2
21
9. 在
中, AB = 4 3,ÐB = π , 点D 在边 BC 上, ÐADC = 2π ,CD = 2 ,则 AD = ;
21
4 3
ACD 的面积为
6
【答案】4 2; 2
21
【解析】本题考查解三角形.
在 ABD 中,由正弦定理得 AB
= AD ,
21
sinÐADB
其中ÐADB = π - ÐADC = π ,
3
sin ÐB
21
21
AB × sin ÐB
4 3 ´ 2
21
2
所以 AD = = 2 = 4 ,
sin ÐADB 3
2
21
所以S
= 1 AD × CD × sinÐADC = 1 ´ 4 ´ 2 ´ 3 = 2 .
21
2
6
ACD
2 2 2
21
ABC
9. 如图,在等边三角形 ABC 中, AB = 6 .动点P 从点 A 出发,沿着此三角形三边逆时针运动回到 A 点,记 P 运动的路程为 x ,点 P 到此三角形中心O 距离的平方为 f (x) ,给出下列三个结论:
①函数 f (x) 的最大值为12 ;
②函数 f (x) 的图象的对称轴方程为x = 9 ;
③关于 x 的方程 f (x) = kx + 3 最多有5 个实数根.
其中,所有正确结论的序号是 .
注:本题给出的结论中,有多个符合题目要求.全部选对得 5 分,不选或有错选得 0 分,
其他得 3 分.
21
【答案】①②
【解析】本题考查函数的应用、图象与性质. 由题意可知,函数 f (x) 解析式为:
ì3 + (x - 3)2 , 0 £ x < 6
21
ï
f (x) = í3
+ (x - 9)2 , 6 £ x < 12 ,
21
î
ï3 + (x -15)2 , 12 £ x £ 18
图象如图所示.
易知:当点P 与 ABC 的顶点重合,即x = 0,6,12,18 时, f (x) 取得最大值为 12,故①正确;
由 f (x) 解析式可知, f (x) = f (18 - x) ,函数 f (x) 的图象的对称轴方程为x = 9 ,故②正确;
21
由图象可知,
f (x) 的图象与直线 y = kx + 3 的交点的个数最多为 6 个,即此时方程
21
f (x) = kx + 3 有 6 个实数根,故③不正确. 综上所述,所有正确结论的序号为①②.
21
三、解答题:共 6 小题,共 85 分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
9. (本小题满分 14 分)
3
如图,在三棱柱 ABC - A1B1C1 中, AB⊥平面BB1C1C , AB = BB1 = 2BC = 2 , BC1 = ,点E
为 A1C1 的中点.
(Ⅰ)求证: C1B⊥平面 ABC ;
(Ⅱ)求二面角 A - BC - E 的大小.
【解析】
(Ⅰ)因为 ABC - A1B1C1 是三棱柱,三棱柱侧棱平行且相等,
所以BB1 // CC1 , BB1 = CC1 = 2 ,
在 BCC1 中, BC = 1, BC1 = 3,CC1 = 2 ,
1 1
所以CC 2 = BC 2 + BC 2 ,
BCC1
所以 是直角三角形,且ÐCBC = π ,即BC ^ BC ,
1 2 1
又因为 AB ^平面BB1C1C , BC1 Ì 平面BB1C1C ,
所以 AB ^ BC1 ,
又因为 AB Ì 平面 ABC , BC Ì 平面 ABC , AB BC = B ,
所以C1B ^平面 ABC .
(Ⅱ)由(Ⅰ)得 AB, BC, BC1 两两垂直,故以B 为原点,分别以BC, BC1, BA 为 x 轴, y 轴,
z 轴,如图建立空间直角坐标系,
B(0,0,0) , C(1,0,0) , A(0,0, 2) , C1(0, 3,0) , A1(-1, 3, 2),
21
因为E 为 A1C1 中点,
所以E(- 1 , 3,1) ,
2
所以BC = (1,0,0) , BE = (- 1 , 3,1) ,
2
由(Ⅰ)可知平面 ABC 一个法向量为
BC1 = (0, 3,0) ,
设平面BCE 的一个法向量n = (x, y, z) ,
21
ìïBC × n = 0
由í
BE × n = 0
ìx = 0,
,得
ï
í- 1 x +
3y + z = 0,
21
îï ïî 2
21
令 y =1,得n = (0,1, -
3) .
21
设二面角 A - BC - E 为q ,由图可知q 为锐角,
21
BC1, n > |
则cosq = | cos < = |
= = 1 ,
BC1 × n
| BC1 | × | n |
|
3
0 + ( 3)2 + 0 × 0 +12 + (- 3)2
2
21
即二面角 A - BC - E 为π .
3
9. (本小题满分 14 分)
1 2
已知函数 f (x) = 2cos2 w x + sinw x .
(Ⅰ)求 f (0) 的值;
(Ⅱ)从①w1 =1,w2 = 2 ;②w1 =1,w2 =1这两个条件中任选一个,作为题目的已知条件,求函数 f (x) 在[- π , π]上的最小值,并直接写出函数 f (x) 的一个周期.
2 6
注:如果选择两个条件分别解答,按第一个解答计分.
21
【解析】
(Ⅰ) f (0) = 2cos2 0 + sin 0 = 2 .
(Ⅱ)选①w1 =1,w2 = 2 时,
f (x) = 2cos2 x + sin 2x ,
= cos 2x + sin 2x +1
= 2 sin(2x + π) +1
4
, ]
因为x Î[- π π ,
2 6
所以2x + π Î[- 3π , 7π],
4 4 12
2
所以当2x + π = - π ,即 x =- 3π 时函数 f (x) 有最小值1- ,
4 2 8
函数 f (x) 的一个周期T = π .
选②w1 =1,w2 =1时,
f (x) = 2cos2 x + sin x ,
= 2(1 - sin2 x) + sin x
= -2sin2 x + sin x + 2
令t = sin x , h(t) = -2t 2 + t + 2 ,
因为x Î[- π , π] ,
2 6
所以t Î[-1, 1],
2
21
因为h(-1) = - 1 = 2 且函数h(t) 开口向下,
1, h( )
2
所以当t = -1时函数h(t) 有最小值-1,
即当x =- π 时,函数 f (x) 有最小值-1,
2
函数 f (x) 的一个周期T = 2π .
9. (本小题满分 14 分)
科技创新能力是决定综合国力和国际竞争力的关键因素,也是推动经济实现高质量发展的重要支撑,而研发投入是科技创新的基本保障.下图是某公司从 2010 年到 2019 年
这 10 年研发投入的数据分布图:
其中折线图是该公司研发投入占当年总营收的百分比,条形图是当年研发投入的数值(单位:十亿元).
(Ⅰ)从 2010 年至 2019 年中随机选取一年,求该年研发投入占当年总营收的百分比超过10% 的概率;
(Ⅱ)从 2010 年至 2019 年中随机选取两个年份,设 X 表示其中研发投入超过 500 亿元的年份的个数,求 X 的分布列和数学期望;
21
(Ⅲ)根据图中的信息,结合统计学知识,判断该公司在发展的过程中是否比较重视研发, 并说明理由.
【解析】
(Ⅰ)设“该年研发投入占当年总营收的百分比超过10% ”为事件 A ,从 2010 年到 2019
年共有 10 年,其中研发投入占当年总营收的百分比超过10% 的有 9 年,所以P( A) = 9 .
10
(Ⅱ)低于 500 亿的年份是 2010、2011、2012、2013、2014 共 5 年,超过 500 亿的年份是 2015、2016、2017、2018、2019 共 5 年.
X 的所有可能的取值为:0,1,2
21
C2 2
C1C1 5
C2 2
21
P( X
= 0) = 5 = ; P( X = 1) = 5 5 = ; P( X = 2) = 5 =
21
C
C
C
9
9
9
2 2 2
10 10 10
所以 X 的分布列为:
X
0
1
2
P
2
9
5
9
2
9
E( X ) = 0 ´ 2 + 1´ 5 + 2 ´ 2 = 1
9 9 9
(Ⅲ)该公司在发展的过程中比较重视研发,原因是:总体看从 2010 年到 2019 年研发投入从 180 亿到 980 亿,研发投入占比从9.7% -13.9%,均呈上涨趋势,且研发投入占比平均数为13.54%,判断该公司在发展过程中比较重视研发.
21
9. (本小题满分 15 分) 已知函数 f (x) = ex + ax .
(Ⅰ)当a = -1时,
21
①曲线 y =
f (x) 在点(0, f (0)) 处的切线方程;
21
②求函数 f (x) 的最小值;
(Ⅱ)求证:当a Î(-2,0) 时,曲线 y = f (x) 与 y =1- ln x 有且只有一个交点.
【解析】
(Ⅰ)①由题意,得当a = -1时, f (x) = ex - x , f ¢(x) = ex -1
则 f ¢(0) = e0 -1 = 0 , f (0) = e0 - 0 = 1
所以 y = f (x) 在(0, f (0)) 处的切线方程为 y =1
②由①知:随着 x 变化, f ¢(x) 与 f (x) 的变化情况如下表所示:
x
(-¥,0)
0
(0, +¥)
f ¢(x)
0
+
f (x)
↘
极小值
↗
所以 f (x) 在(-¥,0) 上单调递减,在(0, +¥) 上单调递增. 所以 f (x) 的最小值为 f (0) = 1.
21
(Ⅱ)当a Î(-2,0) 时,令g(x) = f (x) -1+ ln x = ex + ax -1+ ln x , x Î(0,+¥)
由②知:当 x > 0 时, ex - x > 1,即: ex > x +1
g¢(x) = ex + a + 1 > x +1+ a + 1 ³ 3 + a > 0
x x
所以 g(x) 在(0, +¥) 上单调递增
g(e) = ee + ae = e(ee-1 + a) > 0 ,
1 1 a 1 a a
g( ) = ee + - 2 < (2e)e + - 2 = < 0 e e e e
21
所以$x
1
Î
( ,e),使得 g(x
) = 0
21
0 e 0
由 g(x) 在(0, +¥) 上单调递增可知:
y = g(x) 在(0, +¥) 上有且仅有一个零点
即: y = f (x) 与 y =1- ln x 有且只有一个交点.
9. (本小题满分 14 分)
x2 y2 3
21
A1BA2
已知椭圆C : +
a2 b2
的面积为2 .
(Ⅰ)求椭圆C 的方程;
= 1(a > b > 0) 的离心率为
2 , A1(-a,0), A2 (a,0), B(0,b),
21
(Ⅱ)设M 是椭圆C 上一点,且不与顶点重合,若直线 A1B 与直线 A2M 交于点P ,直线
A1M 与直线 A2 B 交于点Q .求证: BPQ 为等腰三角形.
21
21
【解析】
ìS A1BA2
ï
= ab = 2
ìa = 2
21
(Ⅰ)由题知, ïe = c = 3
ï
Þ
b = 1
21
í a 2 í
21
3
a
ï
2 2 2
ïc =
21
î
ï = b + c î
21
所以椭圆C 的方程为
x2 + 2
y
4
= 1.
21
21
(Ⅱ)设M (x , y ) 且满足x 2 + 4 y 2 - 4 = 0(x × y
¹ 0)
21
0 0 0 0 0 0
A1(-2,0), A2 (2,0), B(0,1)
k = 1 ,所以 AB 的直线方程为 y = 1 x +1,
A1B 2 1 2
21
kA2M =
y0
x - 2
,所以直线 A2M 的直线方程为 y =
y0
x - 2
(x - 2) ,
21
0 0
ìx = -2x0 - 4 y0 + 4
ï x0 - 2 y0 - 2
-4 y
联立两条直线方程,得到í
ï y = 0
îï x0 - 2 y0 - 2
因为直线 A1B 与直线 A2M 交于点P ,
21
所以P( -2x0 - 4 y0 + 4 ,
x0 - 2 y0 - 2
-4 y0 )
x0 - 2 y0 - 2
21
k =- 1 ,所以 A B 的直线方程为 y = - 1 x +1,
A2 B 2 2 2
21
kA1M =
y0
x + 2
,所以直线 A1M 的直线方程为 y =
y0
x + 2
(x + 2) ,
21
0 0
21
ìx = 2x0 - 4 y0 + 4
21
í
联立两条直线方程,得到ï
x0 + 2 y0 + 2
4 y
21
ï y = 0
îï x0 + 2 y0 + 2
因为直线 A1M 与直线 A2 B 交于点Q ,
21
所以Q( 2x0 - 4 y0 + 4 ,
x0 + 2 y0 + 2
4 y0 )
x0 + 2 y0 + 2
21
21
x - x
= -2x0 - 4 y0 + 4 - 2x0 - 4 y0 + 4
21
P Q x - 2 y - 2 x + 2 y + 2
0 0 0 0
2[22 - (x + 2 y )2 ] - 2[(x - 2 y )2 - 22 ]
= 0 0 0 0
0 0
x 2 - (2 y + 2)2
2(4 - x 2 - 4 y 2 ) - 8x y + 8x y + 2(4 - x 2 - 4 y 2 )
= 0 0 0 0 0 0 0 0 = 0
0 0
x 2 - (2 y + 2)2
所以xP = xQ ,直线PQ 的斜率不存在, 所以直线PQ 垂直x 轴.
21
yP + yQ = x
-4 y0 +
- 2 y - 2 x
4 y0
+ 2 y + 2
21
0 0 0 0
-16 y 2 -16 y
= 0 0
0 0
x 2 - (2 y + 2)2
-16 y 2 -16 y
= 0 0
0 0 0
x 2 - 4 y 2 - 8y - 4
-16 y 2 -16 y
= 0 0
0 0 0
(4 - 4 y 2 ) - 4 y 2 - 8y - 4
-16 y 2 -16 y
= 0 0 = 2
0 0
-8y 2 - 8y
因此可以得到PQ 的中点纵坐标为1与B 点纵坐标相同,
21
所以对于以PQ 为底的 BPQ 来说, 中线的斜率为0 ,
所以中线与底PQ 垂直,
所以 BPQ 是等腰三角形.
21
9. (本小题满分 14 分)
已知数列{a }是由正整数组成的无穷数列.若存在常数k Î N* ,使得a
+ a = ka
21
n
n
对任意的n Î N* 成立,则称数列{a }具有性质Y(k) .
(Ⅰ)分别判断下列数列{an}是否具有性质Y(2);(直接写出结论)
① a = 1; ② a = 2n .
2n-1 2n n
21
n n
(Ⅱ)若数列{an}满足an+1 ³ an (n = 1, 2,3, ) ,求证:“数列{an}具有性质Y(2)”是“数列{an}为常数列”的充分必要条件;
(Ⅲ)已知数列{an}中, a1 = 1,且an+1 > an (n = 1, 2,3, ) .若数列{an}具有性质Y(4) ,求数列
{an}的通项公式.
【解析】
2n-1 2n n n
(Ⅰ)①具有,②不具有.(a + a = 22n-1 + 22n = 2n × (2n-1 + 2n ) = a × (2n-1 + 2n ) ¹ 2a )
21
(Ⅱ)必要条件:若{a }为常数列,即"n Î N*, a
= a = a
,所以a + a = 2a
成立.
21
n
充分条件:当n = 1时, a1 + a2 = 2a1 ,所以a1 = a2 .
k k -1
假设存在k Î N*, k ³ 3 ,使a > a ,
2n-1 2n n
2n-1 2n n
21
若k 为奇数,则ak +1 ³ ak > ak +1 ,所以ak + ak +1 > 2ak +1 ,矛盾;
2 2
若k 为偶数,则ak > ak -1 ³ ak ,所以ak + ak -1 > 2ak ,矛盾.
2 2
所以ak £ ak -1 ,并且ak ³ ak -1 ,
21
k k -1 n
所以"k Î N* ,都有a = a ,即{a }为常数列.
所以“数列{an}具有性质Y(2)”是“数列{an}为常数列”的充分必要条件.
(Ⅲ)由题意,易知a1 = 1, a2 = 3, a3 + a4 = 4a2 = 12,且a3 ³ 4 ,
若a3 = 4 ,则a4 = 8 , a5 + a6 ³ 9 +10 > 16 = 4a3 ,矛盾;
若a3 ³ 6 ,则a4 £ 6 ,矛盾.
因此a3 = 5, a4 = 7 .下证an = 2n -1.
21
2i-1
假设该命题不成立,设k = min{i Î N* | a
¹ 4i - 3 或a2i
¹ 4i -1},显然k ³ 3 ,
21
考虑数列{bn},其中bn = an+2k -4 - 4(k - 2) ,则数列{bn}也具有性质Y(4),
且b1 = a2k -3 - 4(k - 2) = 4k - 7 - 4(k - 2) = 1,同理有b3 = 5,b4 = 7 ,
即a3+2k -4 - 4(k - 2) = 5, a4+2k -4 - 4(k - 2) = 7 ,
有a2k -1 = 4k - 3且a2k = 4k -1,矛盾.
综上,数列{an}的通项公式为an = 2n -1.
21