人教版高中数学选修1-1课件：第二章《圆锥曲线与方程》 14页

曲线和方程 两坐标轴所成的角位于第一、三象限的平分线 的方程是 这就是说： 如果点 M(x 0 ， y 0 ) 是这条直线上的任意一点，它到两坐标轴的距离一定相等，即 x 0 = y 0 ， 那么它的坐标 (x 0 ， y 0 ) 就是方程 x-y=0 的解； 反过来，如果 (x 0 ， y 0 ) 是方程 x-y=0 的解，即 x 0 = y 0 ， 那么以这个解为坐标的点到两轴的距离相等，它一定在这条平分线上。 这样，我们就说 x-y=0 是这条直线的方程，这条直线叫做方程 x-y=0 的直线。 试一试 说明圆心为 P(a ， b) ，半径等于 r 的圆的方程是 (x-a) 2 +(y-b) 2 =r 2 (1) 设 M(x 0 ,y 0 ) 是圆上任意一点，因为点 M 到圆心的距离等于 r 所以 也就是 (x 0 -a) 2 +(y 0 -b) 2 =r 2 即 (x 0 ,y 0 ) 是方程 (x-a) 2 +(y-b) 2 =r 2 的解 (2) 设 (x 0 ,y 0 ) 是方程 (x-a) 2 +(y-b) 2 =r 2 的解，则有 (x 0 -a) 2 +(y 0 -b) 2 =r2 两边开方取算术根，得 即点 M(x 0 ， y 0 ) 到点 P 的距离等于 r ，所以点 M 是这个圆上的点． 由 (1)(2) 可知， (x-a) 2 +(y-b) 2 =r 2 是圆心为 P(a ， b) ， 半径等于 r 的圆的方程． 一般地，在直角坐标系中，如果某曲线 C 上的点与一个二元方程 f(x ， y)=0 的实数解建立了如下的关系： （ 1 ） 曲线上的点的坐标都是这个方程 的解； （ 2 ） 以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么这个方程叫做 曲线的方程 ；这条曲线叫做 方程的曲线（图形） 。 说明： （ 1 ） “ 曲线上的点的坐标都是这个方程 的解 ” ，阐明曲线上没有坐标不满足方程的点，也就是说曲线上所有的点都符合这个条件而毫无例外 （纯粹性） . （ 2 ） “ 以这个方程的解为坐标的点都在曲线上 ” 阐明符合条件的所有点都在曲线上而毫无遗漏 （完备性） . 由曲线的方程的定义可知， 如果曲线 C 的方程是 f(x ， y)=0 ，那么点 P 0 (x 0 ， y 0 ) 在曲线 C 上的 充要条件是 f(x 0 ， y 0 )=0 . 问题研讨 例 1 判断下列结论的正误并说明理由 （ 1 ）过点 A （ 3 ， 0 ）且垂直于 x 轴的直线为 x=3 （ 2 ）到 x 轴距离为 2 的点的轨迹方程为 y=2 （ 3 ）到两坐标轴距离乘积等于 1 的点的轨迹方程为 xy=1 对 错 错 例 2 证明 ：圆心为坐标原点，半径为 5 的圆的方程是 并判断 是否在圆上 0 x y 5 5 · · 变式训练：写出下列半圆的方程 y y y -5 y 5 5 5 5 5 5 5 -5 -5 -5 -5 0 0 x x x x 例 1 证明与两条坐标轴的距离的积是常数 k(k>0) 的点的轨迹方程是 xy=±k. M 条件甲： “ 曲线 C 上的点的坐标都是方程 f(x ， y)=0 的解 ” ， 条件乙： “ 曲线 C 是方程 f (x ， y)=0 的曲线 ” ，则甲是乙的 ( ) (A) 充分非必要条件                        (B) 必要条件 (C) 充要条件                              (D) 非充分也非必要条件 B 若命题 “ 曲线 C 上的点的坐标满足方程 f(x ， y)=0 ” 是正确的， 则下列命题中正确的是 ( ) (A) 方程 f(x ， y)=0 所表示的曲线是 C                        (B) 坐标满足 f(x ， y)=0 的点都在曲线 C 上 (C) 方程 f(x ， y)=0 的曲线是曲线 C 的一部分或是曲线 C                               (D) 曲线 C 是方程 f(x ， y)=0 的曲线的一部分或是全部 D 例 2 设 A,B 两点的坐标分别是 (-1,-1),(3,7), 求线段 AB 的垂直平分线的方程。 A B l M(x,y) 求曲线方程的步骤： （ 1 ）建立适当的坐标系，用有序实数对 (x,y) 表示曲线上任意一点 M 的坐标； （ 2 ）写出适合条件 p 的点 M 的集合 P={M︱p(M)}; （ 3 ）用坐标表示条件 p(M), 列出方程 f(x,y)=0; （ 4 ）化方程 f(x,y)=0 为最简形式； （ 5 ）说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上。 函数 y=ax 2 的图象是 关于 y 轴对称的抛物线 . 这条抛物线是所有以方程 y=ax 2 的解为坐标的点组成的 . 这就是说： 如果点 M(x 0 ， y 0 ) 是抛物线上的点任意一点，那么 (x 0 ， y 0 ) 一定是这个方程的解； 反过来，如果 (x 0 ， y 0 ) 是方程 y=ax 2 的解，那么以它为坐标的点一定在这条抛物线上。 这样，我们就说 y=ax 2 是这条抛物线的方程，这条抛物线叫做方程 y=ax 2 的抛物线。