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- 2021-06-11 发布
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鹤岗一中2018-2019学年度下学期期末考试高二数学(文科)试题
一、单选题
1.已知集合,则( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
集合
.
故选A.
2.【2018天津上学期七校联期中联考】三个数,,的大小关系为( ).
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
由指数函数的性质可得:,
由对数运算性质可得:,
据此可得:.
本题选择C选项.
3.已知复数,则( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
分析:首先根据题中所给的复数z,可以求得其共轭复数,并且可以求出复数的模,代入求得,从而求得结果.
详解:根据,可得,且,所以有,故选C.
点睛:该题考查的是有关复数的问题,涉及到的知识点有复数的共轭复数、复数的模、以及复数的加法运算,属于基础题目.
4.函数的零点所在的区间是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
首先判断出函数的单调性,根据零点存在定理求得结果.
【详解】由题意知:在上单调递增
当时,;;;;当时,
可知:
零点所在区间为:
【点睛】本题考查利用零点存在定理判断零点所在区间,属于基础题.
5.下列结论错误的是
A. 命题:“若,则”的逆否命题是“若,则”
B. “”是“”的充分不必要条件
C. 命题:“, ”的否定是“, ”
D. 若“”为假命题,则均为假命题
【答案】B
【解析】
【分析】
由逆否命题的定义考查选项A,由不等式的性质考查选项B,由全称命题的否定考查选项C,由真值表考查选项D,据此确定所给的说法是否正确即可.
【详解】逐一考查所给命题的真假:
A. 同时否定条件和结论,然后以原来的条件为结论,以原来的结论为条件即可得到原命题的逆否命题,故命题:“若,则”的逆否命题是“若,则”
B. 若“”,当时不满足“”,即充分性不成立,
反之,若“”,则一定有“”,即必要性成立,
综上可得,“”是“”的必要不充分条件
C. 特称命题的否定是全称命题,命题:“,”的否定是“,”,
D. 由真值表可知:若“”为假命题,则均为假命题.
即结论错误的为B选项.
故选:B.
【点睛】当命题真假容易判断时,直接判断命题的真假即可.否则,可利用以下结论进行判断:①一个命题的否定与原命题肯定一真一假;②原命题与其逆否命题同真假.
6.已知,则等于( )
A. 0 B. C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】
对函数求导,在导函数中代入,化简求出的值,再取,即可求出。
【详解】由题可得:,
取可得,解得:
则
故答案选C
【点睛】本题考查导数的计算,解题的关键是理解原函数解析式中,在这里的只是一个常数,属于基础题。
7.已知是定义在上的偶函数,且在上为增函数,则的解集为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先根据奇偶函数的性质求出,再根据,可得,结合,求出的范围.
【详解】是定义在上的偶函数,
,
在上为增函数,
函数在上为增函数,故函数在上为减函数,
则由,可得,即,
求得
因为定义域为,所以,解得
综上,
故选:B.
【点睛】本题主要考查函数的单调性和奇偶性的相关性质,有一定的综合性,属于中档题.
8.函数的大致图像是( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
由函数为奇函数,排除B,D.
当x=0.1时,,排除C,
故选:A
点睛:识图常用的方法
(1)定性分析法:通过对问题进行定性的分析,从而得出图象的上升(或下降)的趋势,利用这一特征分析解决问题;
(2)定量计算法:通过定量的计算来分析解决问题;
(3)函数模型法:由所提供的图象特征,联想相关函数模型,利用这一函数模型来分析解决问题.
9.已知函数,则( )
A. 在单调递增 B. 的最小值为4
C. 的图象关于直线对称 D. 的图象关于点对称
【答案】D
【解析】
【分析】
根据时,,可排除;当,,可排除;,可排除;可知正确.
【详解】由题意知:
当时,,则在上单调递减,错误;
当时,,可知最小值为不正确,错误;
,则不关于对称,错误;
,则关于对称,正确.
本题正确选项:
【点睛】本题考查函数单调性、最值、对称轴和对称中心求解问题,考查函数性质的综合应用,属于中档题.
10.已知函数是上的奇函数,对于都有,且时,,则的值为
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】
由,得到,即函数的周期是4 ,利用函数的周期性和奇偶性即可进行求值.
【详解】,
,即函数的周期是4,
,
是上的奇函数,,
当时,,
,
所以 ,故选C.
【点睛】函数的三个性质:单调性、奇偶性和周期性,在高考中一般不会单独命题,而是常将它们综合在一起考查,其中单调性与奇偶性结合、周期性与抽象函数相结合,并结合奇偶性求函数值,多以选择题、填空题的形式呈现,且主要有以下几种命题角度;
(1)函数的单调性与奇偶性相结合,注意函数的单调性及奇偶性的定义,以及奇、偶函数图象的对称性.
(2)周期性与奇偶性相结合,此类问题多考查求值问题,常利用奇偶性及周期性进行交换,将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解;
(3)周期性、奇偶性与单调性相结合,解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间,然后利用奇偶性和单调性求解.
11.已知定义在上的函数在上单调递减,且是偶函数,不等式对任意的恒成立,则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据奇偶性和对称性可求得的对称轴为,从而可得的单调性;求得
在时的最大值,根据函数单调性可得关于自变量的不等式,解不等式求得结果.
【详解】为偶函数 的对称轴为轴
则的对称轴为:
在上单调递减;在上单调递增
由得:
当时,
即
由单调性可知:,解得:
本题正确选项:
【点睛】本题考查函数性质的综合应用,涉及到函数的奇偶性、对称性和单调性的应用,关键是能够将恒成立的式子转变为函数值的比较,从而变成自变量的不等关系.
12.设函数是定义在上的可导函数,其导函数为,且有,则不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先令,根据题中条件判断其单调性,再由,,将原不等式化为,结合单调性,即可求解.
【详解】令,则,
因为,,
所以,
所以函数在单调递减;
因为,,
所以不等式可化为不等式,
即,
所以,解得.
故选B
【点睛】本题主要考查单调性的应用,以及导数的方法判断函数单调性,属于常考题型.
二、填空题
13.对不同的且,函数必过一个定点,则点的坐标是_____.
【答案】
【解析】
【分析】
根据指数函数的图象恒过定点(0,1),求出函数f(x)必过的定点坐标.
【详解】根据指数函数的图象恒过定点(0,1),令4﹣2x=0,x=2,∴f(2)=+3=4,
∴点A的坐标是(2,4).
故答案为:(2,4).
【点睛】本题考查了指数函数恒过定点的应用问题,属于基础题.
14.已知函数f(x),若函数y=f(x)﹣a2有3个零点,则实数a的取值范围是___.
【答案】[﹣1,0)∪(0,1].
【解析】
分析】
先作出函数f(x)图象,根据函数y=f(x)﹣a2有3个零点,得到函数f(x)的图象与直线y=a2有三个交点,结合图象即可得出结果.
【详解】由题意,作出函数函数f(x),的图象如下,
因为函数y=f(x)﹣a2有3个零点,
所以关于x的方程f(x)﹣a2=0有三个不等实根;
即函数f(x)的图象与直线y=a2有三个交点,
由图象可得:0<a2≤1,解得﹣1≤a<0或0<a≤1.
故答案为[﹣1,0)∪(0,1].
【点睛】本题主要考查函数的零点,灵活运用数形结合的思想即可求解,属于常考题型.
15.函数的单调增区间是___________.
【答案】
【解析】
,因为对称轴为 ,所以单调增区间是
16.对于定义在上函数,有下列四个命题:
①若是奇函数,则的图象关于点对称;
②若对,有,则的图象关于直线对称;
③若对,有,则的图象关于点对称;
④函数与函数的图像关于直线对称.
其中正确命题的序号为__________.(把你认为正确命题的序号都填上)
【答案】①③
【解析】
【分析】
根据奇函数的对称性,结合函数图象的平移变换判断①;根据函数是周期为2的周期函数,的图象对称性不确定,判断②;根据任意点关于的对称点仍在数图象上判断③;根据函数与函数的图象关于轴对称判断④.
【详解】①是奇函数,的图象关于原点成中心对称,而的图象是将的图象向右平移一个单位,的图象关于点对称,故①正确;
②对,有,可得函数是周期为2的周期函数,的图象对称性不确定,即②错误;
③若对,有,可得函数图象上任意点关于的对称点仍在数图象上,所以的图象关于点对称,③正确;
④函数是由的图象向左平移一个单位得到;函数的图象是由的图象向右平移一个单位得,而与的图象关于轴对称,所以函数与函数的图象关于轴对称,④错误.
所以正确命题的序号为①③,故答案为①③.
【点睛】本题通过对多个命题真假的判断,综合考查函数的对称性以及函数图象的变换法则,属于难题.这种题型综合性较强,也是高考的命题热点,同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”,因此做这类题目更要细心、多读题,尽量挖掘出题目中的隐含条件,另外,要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手,然后集中精力突破较难的命题.
三、解答题
17.已知函数.
(1)当时,求不等式的解集;
(2)若对任意成立,求实数的取值范围.
【答案】(1)(2)
【解析】
【分析】
(1)把代入,利用零点分段讨论法求解;
(2)对任意成立转化为求的最小值可得.
【详解】解:(1)当时,不等式可化为.
讨论:
①当时,,所以,所以;
②当时,,所以,所以;
③当时,,所以,所以.
综上,当时,不等式的解集为.
(2)因为,
所以.
又因为,对任意成立,
所以,
所以或.
故实数的取值范围为.
【点睛】本题主要考查含有绝对值不等式的解法及恒成立问题,恒成立问题一般是转化为最值问题求解,侧重考查数学建模和数学运算的核心素养.
18.已知命题:,.
(1)若为真命题,求实数的取值范围;
(2)命题:,,当为真命题且为假命题时,求实数的取值范围.
【答案】(1);(2)或.
【解析】
【分析】
(1)由一元二次不等式恒成立可得对应的二次函数开口方向向下且,解不等式得到结果;(2)首先利用分离变量求解出命题为真命题时,;根据含逻辑连接词的命题的真假性可知需真假或假真;分别在两种情况下计算的范围即可.
【详解】(1),
且,解得:
为真命题时,
(2), ,有解
时,
当时,命题为真命题
为真命题且为假命题 真假或假真
当真假时,有,解得:;
当假真时,有,解得:;
为真命题且为假命题时,或
【点睛】本题考查根据命题的真假性求解参数取值范围的问题,涉及到由含逻辑连接词的命题真假性确定各个命题的真假.
19.已知函数 .
(1)当 时,求曲线 在点 处的切线方程;
(2)求 的单调区间.
【答案】(1);(2)当 时, 单调增区间是 ;
当时, 的单调递减区间是 ;递增区间是 .
【解析】
【分析】
(1)对函数进行求导,把代入导函数中,求出在点 处的切线的斜率,写出直线的点斜式方程,最后化为一般方程;
(2)对的值,进行分类讨论,求出 的单调区间.
【详解】(1)当 时,,所以.
所以 ,, 所以切线方程为 .
(2). 当 时,在 时 ,
所以 的单调增区间是 ;
当 时,函数 与 在定义域上的情况如下:
所以 的单调递减区间是 ;递增区间是 .
综上所述:当 时, 的单调增区间是 ;
当时, 的单调递减区间是 ;递增区间是 .
【点睛】本题考查了导数的几何意义、求曲线的切线方程,利用导数研究函数的单调性.本题考查了分类讨论思想.
20.已知是定义在上的奇函数,且当时, .
(1)求函数的解析式;
(2)若不等式对恒成立,求的取值范围.
【答案】(1);(2).
【解析】
【分析】
(1)根据函数的奇偶性求解析式, 时,,,最后分段写出即可;
(2)根据函数的单调性得到等价于,转化为恒成立求参的问题,变量分离求函数最值即可.
【详解】(1)当时,,,又是奇函数, ,
故;当时,,满足的解析式;所以,
(2)由(1)可知图象如下图,
所以在上单调递减,故等价于,分离变量得对恒成立,只需要,解得,故取值范围为.
【点睛】(1)根据奇偶性求解函数解析式,注意一个原则:由已知求未知,比如已知解析式求解时解析式,可以通过有来求解析式,中间需借助奇偶性;
(2) 函数值之间的关系,通过分析函数的单调性可以将其转变为自变量之间的关系,从而达到求解问题的目的.
21.函数的定义域为,且对任意,有,且当时,,
(Ⅰ)证明是奇函数;
(Ⅱ)证明在上是减函数;
(III)若,,求的取值范围.
【答案】(Ⅰ)见解析(Ⅱ)见解析(III)
【解析】
【分析】
(Ⅰ)令y=-x,代入已知等式通过f(0)=0可判断奇偶性;(Ⅱ)利用函数的单调性定义作差即可得到证明;(III)利用函数的单调性列不等式求解即可.
【详解】(Ⅰ)证明:由,
令y=-x,得f[x+(−x)]=f(x)+f(−x),
∴f(x)+f(−x)=f(0).
又f(0+0)=f(0)+f(0),∴f(0)=0.
从而有f(x)+f(−x)=0.∴f(−x)=−f(x).
∴f(x)是奇函数.
(Ⅱ)任取,且,
则
由,∴∴<0.
∴>0,即,
从而f(x)在R上是减函数.
(III)若,函数为奇函数得f(-3)=1,
又5=5f(-3)=f(-15),
所以=f(-15),
由得f(4x-13)-15,解得x>-,
故的取值范围为
【点睛】本题考查抽象函数的奇偶性和单调性的证明,考查利用单调性解不等式的应用,属于基础题.
22.已知直线.
(1)当时,求的单调区间;
(2)若对任意时,恒成立,求实数的取值范围.
【答案】(1)在单减,在单增.(2)
【解析】
【分析】
(1)求出f(x)的导数,得到f′(x),结合可解得与
的范围,即可求出函数的单调区间.
(2)通过讨论a的范围,得到导函数的正负,进而研究函数f(x)的单调性,求得不同情况下的函数f(x)的最小值,解出满足的a的范围即可.
【详解】(1)当时,,所以,
而,且在单调递增,所以当时,;
当时,,所以在单减,在单增.
(2)因为,,而当时,.
①当,即时,,
所以在单调递增,所以,
故在上单调递增,所以,符合题意,所以符合题意.
②当,即时,在单调递增,所以,取,则,
所以存在唯一,使得,
所以当时,,当时,,
进而在单减,在单增.
当时,,因此在上单减,
所以.因而与题目要求在,恒成立矛盾,此类情况不成立,舍去.
综上所述,的取值范围为.
【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性、最值问题,考查了恒成立问题的转化,考查分类讨论思想与分析解决问题的能力,是一道中档题.