数学理卷·2018届北京市人大附中高三2月内部特供卷（二）（2018 13页

此卷只装订不密封 班级 姓名 准考证号 考场号 座位号 ‎ ‎2018届高三2月份内部特供卷 高三理科数学（二）‎ 注意事项：‎ ‎1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。‎ ‎2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。‎ ‎3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。‎ ‎4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。‎ 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．如图，在矩形区域的，两点处各有一个通信基站，假设其信号覆盖范围分别是扇形区域和扇形区域（该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常），若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．已知复数，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．若，，则的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4． 集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．已知一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．世界数学名题“问题”：任取一个自然数，如果它是偶数，我们就把它除以2，如果它是奇数，我们就把它乘3再加上1，在这样一个变换下，我们就得到了一个新的自然数，如果反复使用这个变换，我们就会得到一串自然数，猜想：反复进行上述运算后，最后结果为1，现根据此问题设计一个程序框图如下图，执行该程序框图，若输入的，则输出（ ）‎ A．3 B．5 C．6 D．7‎ ‎7．已知函数的部分图象如图所示，则函数图象的一个对称中心可能为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．函数的大致图象为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎9．已知点，，，在同一个球的球面上，，，若四面体的体积为，球心恰好在棱上，则这个球的表面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．为双曲线右焦点，，为双曲线上的点，四边形为平行四边形，且四边形的面积为，则双曲线的离心率为（ ）‎ A．2 B． C． D．‎ ‎11．已知不等式组表示的平面区域恰好被圆所覆盖，则实数的值是（ ）‎ A．3 B．4 C．5 D．6‎ ‎12．已知是方程的实根，则关于实数的判断正确的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．‎ ‎13．展开式中含项的系数为 ．（用数字表示）‎ ‎14．已知，，若向量与共线，则在方向上的投影为 ．‎ ‎15．在中，角，，的对边分别为，，，，且，的面积为，则的值为 ．‎ ‎16．如图所示，点是抛物线的焦点，点，分别在抛物线及圆的实线部分上运动，且总是平行于轴，则的周长的取值范围是 ．‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．设为数列的前项和，且，，．‎ ‎（1）证明：数列为等比数列；‎ ‎（2）求．‎ ‎18．如图所示的几何体中，底面为菱形，，，与相交于点，四边形为直角梯形，，，，平面底面．‎ ‎（1）证明：平面平面；‎ ‎（2）求二面角的余弦值．‎ ‎19．为了让贫困地区的孩子们过一个温暖的冬天，某校阳光志愿者社团组织“这个冬天不再冷”冬衣募捐活动，共有50名志愿者参与，志愿者的工作内容有两项：①到各班做宣传，倡议同学们积极捐献冬衣；②整理、打包募捐上来的衣物，每位志愿者根据自身实际情况，只参与其中的某一项工作，相关统计数据如下表所示：‎ ‎（1）如果用分层抽样的方法从参与两项工作的志愿者中抽取5人，再从这5人中选2人，那么“至少有1人是参与班级宣传的志愿者”的概率是多少？‎ ‎（2）若参与班级宣传的志愿者中有12名男生，8名女生，从中选出2名志愿者，用表示所选志愿者中的女生人数，写出随机变量的分布列及其数学期望．‎ ‎20．已知椭圆的长轴长为6，且椭圆与圆的公共弦长为．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）过点作斜率为的直线与椭圆交于两点，，试判断在轴上是否存在点，使得为以为底边的等腰三角形，若存在，求出点的横坐标的取值范围；若不存在，请说明理由．‎ ‎21．已知函数．‎ ‎（1）当时，试求的单调区间；‎ ‎（2）若在内有极值，试求的取值范围．‎ 请考生在22、23两 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．‎ ‎22．选修4-4：坐标系与参数方程 已知曲线：，直线（为参数，）．‎ ‎（1）求曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）设直线与曲线交于两点（在第一象限），当时，求的值．‎ ‎23．选修4-5：不等式选讲 已知函数．‎ ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）若函数的最小值记为，设，，且有，试证明：．‎ ‎2018届高三2月份内部特供卷 高三文科数学（二）答 案 一、选择题 ‎1．【答案】A ‎【解析】几何概型 ‎2．【答案】C ‎【解析】，，．故选C．‎ ‎3．【答案】A ‎【解析】，，，‎ 故选A．‎ ‎4．【答案】C ‎【解析】，，，选C．．‎ ‎5．【答案】C ‎【解析】由三视图可知：该几何体是由一个三棱锥和一个圆锥的组成的，故选C．‎ ‎6．【答案】C ‎7．【答案】C ‎【解析】由题知，，，再把点代入可得，‎ ‎，故选C．‎ ‎8．【答案】D ‎【解析】由函数不是偶函数，排除A、C，当时，为单调递增函数，而外层函数也是增函数，所以在上为增函数．故选D．‎ ‎9．【答案】D ‎【解析】根据条件可知球心在侧棱中点，从而有垂直，，所以球的半径为2，故球的表面积为．‎ ‎10．【答案】B ‎【解析】设，∵四边形为平行四边形，∴，∵四边形的面积为，∴，即，∴，代入双曲线方程得，∵，∴．选B．‎ ‎11．【答案】D ‎【解析】由于圆心在直线上，又由于直线与直线互相垂直其交点为，直线与的交点为．由于可行域恰好被圆所覆盖，及三角形为圆的内接三角形圆的半径为，解得或（舍去）．故选D．‎ ‎12．【答案】C ‎【解析】方程即为，即，令，，则，函数在定义域内单调递增，结合函数的单调性有：，故选C．‎ 二、填空题 ‎13．【答案】0‎ ‎【解析】展开式中含项的系数为，含项的系数为，所以展开式中含项的系数为10-10=0．‎ ‎14．【答案】‎ ‎【解析】由题知，所以投影为．‎ ‎15．【答案】‎ ‎【解析】，由正弦定理，，‎ ‎，由余弦定理可得：，又因为面积，，．‎ ‎16．【答案】‎ ‎【解析】易知圆的圆心为（2，0），正好是抛物线的焦点，圆与抛物线在第一象限交于点，过点作抛物线准线的垂线，垂足为点，则，则，当点位于圆与轴的交点（6，0）时，取最大值8，由于点在实线上运动，因此当点与点重合时，取最小值4，此时与重合，由于、、构成三角形，因此，所以．‎ 三、解答题 ‎17．【答案】（1）因为，‎ 所以，‎ 即，则，‎ 所以，又，‎ 故数列是首项为2，公比为2的等比数列．‎ ‎（2）由（1）知，‎ 所以，‎ 故．‎ 设，‎ 则，‎ 所以，‎ 所以，‎ 所以．‎ ‎18．【答案】（1）因为底面为菱形，所以，‎ 又平面底面，平面平面，‎ 因此平面，从而．‎ 又，所以平面，‎ 由，，，‎ 可知，，‎ ‎，，‎ 从而，故．‎ 又，所以平面．‎ 又平面，所以平面平面．‎ ‎（2）取中点，由题可知，所以平面，又在菱形中，，所以分别以，，的方向为，，轴正方向建立空间直角坐标系（如图所示），‎ 则，，，，，‎ 所以，，．‎ 由（1）可知平面，所以平面的法向量可取为．‎ 设平面的法向量为，‎ 则，即，即，令，得，‎ 所以．‎ 从而．‎ 故所求的二面角的余弦值为．‎ ‎19．【答案】（1）用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是，‎ 所以，参与到班级宣传的志愿者被抽中的有人，‎ 参与整理、打包衣物的志愿者被抽中的有人，‎ 故“至少有1人是参与班级宣传的志愿者”的概率是．‎ ‎（2）女生志愿者人数，则，‎ ‎，．‎ ‎∴的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎∴的数学期望为．‎ ‎20．【答案】（1）由题意可得，所以．‎ 由椭圆与圆：的公共弦长为，恰为圆的直径，‎ 可得椭圆经过点，所以，解得．‎ 所以椭圆的方程为．‎ ‎（2）直线的解析式为，设，，的中点为．假设存在点，使得为以为底边的等腰三角形，则．由得，故，所以，．‎ 因为，所以，即，所以．‎ 当时，，所以．‎ 综上所述，在轴上存在满足题目条件的点，且点的横坐标的取值范围为．‎ ‎21．【答案】（1）．‎ 当时，对于，恒成立，‎ 所以，；，．‎ 所以单调增区间为，单调减区间为．‎ ‎（2）若在内有极值，则在内有解．‎ 令，，．‎ 设，‎ 所以，当时，恒成立，‎ 所以单调递减．‎ 又因为，又当时，，‎ 即在上的值域为，‎ 所以当时，有解．‎ 设，则，‎ 所以在单调递减．‎ 因为，，‎ 所以在有唯一解．‎ 所以有：‎ ‎0‎ ‎0‎ 极小值 所以当时，在内有极值且唯一．‎ 当时，当时，恒成立，单调递增，不成立．‎ 综上，的取值范围为．‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．‎ ‎22．选修4—4：坐标系与参数方程 ‎【答案】（1）由，得，‎ 所以曲线C的直角坐标方程为；‎ ‎（2）设，则，，，‎ ‎，∴．‎ ‎23．选修4-5：不等式选讲．‎ ‎【答案】（1）因为 从图可知满足不等式的解集为．‎ ‎（2）证明：由图可知函数的最小值为，即．‎ 所以，从而，‎ 从而 ‎．‎ 当且仅当时，等号成立，‎ 即，时，有最小值，‎ 所以得证．‎