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  • 2021-06-11 发布

高一数学(人教A版)必修4能力提升:2-2-2 向量减法运算及其几何意义

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能 力 提 升 一、选择题 ‎1.化简以下各式:‎ ‎①++; ②-+-;‎ ‎③-+; ④++-.‎ 结果为零向量的个数是(  )‎ A.1 B.2 ‎ C.3 D.4‎ ‎[答案] D ‎[解析] ①++=+=-=0;‎ ‎②-+-=(+)-(+)=-=0;‎ ‎③-+=(+)-=-=0;‎ ‎④++-=++=-=0.‎ ‎2.若||=8,||=5,则||的取值范围是(  )‎ A.[3,8] B.(3,8)‎ C.[3,13] D.(3,13,)‎ ‎[答案] C ‎[解析] 由于=-,则有||-||≤||≤||+||,即3≤||≤13.‎ ‎3.(2011·湖南高考)若O、E、F 是不共线的任意三点,则以下各式中成立的是(  )‎ A.=+ B.=- C.=-+ D.=-- ‎[答案] B ‎[解析] 由向量的减法的定义求解.‎ ‎4.已知△ABC的三个顶点A、B、C及平面内一点P满足+=,下列结论中正确的是(  )‎ A.P在△ABC的内部 B.P在△ABC的边AB上 C.P在AB边所在直线上 D.P在△ABC的外部 ‎[答案] D ‎[解析] 由+=可得 =-=,∴四边形PBCA为平行四边形.‎ 可知点P在△ABC的外部.选D.‎ ‎5.(四川高考改编)设点M是线段BC的中点,点A在直线BC外,||2=16,|+|=|-|,则||=(  )‎ A.8 B.4 ‎ C.2 D.1‎ ‎[答案] C ‎[解析] 以、为邻边作平行四边形ACDB,则由向量加、减法的几何意义可知=+,=-,‎ 因为|+|=|-|,‎ 所以||=||.‎ 又四边形ACDB为平行四边形,‎ 所以四边形ACDB为矩形,故AC⊥AB.‎ 则AM为Rt△ABC斜边BC上的中线,‎ 因此,||=|=2.‎ ‎6.已知=a,=b,||=5,||=12,∠AOB=90°,则|a-b|=________.(  )‎ A.7 B.17 ‎ C.13 D.8‎ ‎[答案] C ‎[解析] 如图,∵a-b=-=,‎ ‎∴|a-b|=||==13.‎ 故选C.‎ 二、填空题 ‎7.已知如图,在正六边形ABCDEF中,与-+相等的向量有________.‎ ‎①;②;③;④;⑤+;⑥-;⑦+.‎ ‎[答案] ①‎ ‎[解析] -+=+=;‎ +=+=≠;‎ -=≠;‎ +=≠.‎ ‎8.已知|a|=7,|b|=2,且a∥b,则|a-b|=________.‎ ‎[答案] 5或9‎ ‎[解析] 当a与b方向相同时,|a-b|=|a|-|b|=7-2=5;‎ 当a与b方向相反时,|a-b|=|a|+|b|=7+2=9.‎ ‎9.在△OAB中,已知=a,=b,且|a|=|b|=4,∠AOB=60°,则|a-b|=________.‎ ‎[答案] 4‎ ‎[解析] ∵|a|=|b|,∴OA=OB.又∠AOB=60°,‎ ‎∴△ABO是等边三角形,∴BA=4,‎ ‎∴|a-b|=|-|=||=4.‎ 三、解答题 ‎10.在平行四边形ABCD中,=a,=b,先用a、b表示向量和,并回答:当a、b分别满足什么条件时,四边形ABCD为矩形、菱形、正方形?‎ ‎[解析] 由向量加法的平行四边形法则,得=a+b,=-=a-b.‎ 则有:当a、b满足|a+b|=|a-b|时,平行四边形的两条对角线相等,四边形ABCD为矩形;‎ 当a、b满足|a|=|b|时,平行四边形的两条邻边相等,四边形ABCD为菱形;‎ 当a、b满足|a+b|=|a-b|且|a|=|b|时,四边形ABCD为正方形.‎ ‎11.已知|a|=6,|b|=14,|c|=3,求|a+b+c|的最大值和最小值.‎ ‎[解析] 根据三角形法则,可知||b|-|a||≤|a+b|‎ ‎≤|a|+|b|,‎ ‎∴|a+b+c|≤|a+b|+|c|≤|a|+|b|+|c|=23.‎ 且当a、b、c同向时,|a+b+c|=|a|+|b|+|c|,此时|a+b+c|有最大值23.‎ 又|a+b+c|≥||a+c|-|b||,‎ 当a、c同向且与b异向时,|a+b+c|最小,此时|a+b+c|有最小值5.‎ ‎∴|a+b+c|的最大值为23,最小值为5.‎ ‎12.如图所示,已知在矩形ABCD中,||=4,||=8.设=a,=b,=c,求|a-b-c|.‎ ‎[解析] 如图,b+c=,a-b-c=a-(b+c)=a-=+=,‎ 则|a-b-c|=||==8.‎

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