【推荐】专题2-6 对数及对数函数-2018年高三数学（文）一轮总复习名师伴学 29页

真题回放 1. ‎【2017高考天津文第6题】已知奇函数在上是增函数.若，则的大小关系为 ‎（A）（B）（C）（D）‎ ‎【答案】 ‎ ‎【考点】1.指数，对数；2.函数性质的应用 ‎【名师点睛】本题主要考查函数的奇偶性与指数、对数的运算问题，属于基础题型，首先根据奇函数的性质和对数运算法则，，再比较比较大小.‎ ‎2.【2017高考全国卷文第9题】已知函数，则 A． 在（0，2）单调递增 B．在（0，2）单调递减 C．y=的图像关于直线x=1对称 D．y=的图像关于点（1，0）对称 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：由题意知，，所以的图象关于直线对称，C正确，D错误；又（），在上单调递增，在上单调递减，A，B错误，故选C．‎ ‎【考点】函数性质 ‎【名师点睛】如果函数，，满足，恒有，那么函数的图象有对称轴；如果函数，，满足，恒有，那么函数的图象有对称中心．‎ ‎3. 【2017高考全国卷文第8题】函数 的单调递增区间是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎4.【2015高考上海卷文第8题】 方程的解为 .‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】依题意，所以，‎ 令，所以，解得或，‎ 当时，，所以，而，所以不合题意，舍去；‎ 当时，，所以，，，所以满足条件，‎ 所以是原方程的解.‎ ‎【考点定位】对数方程.‎ ‎【名师点睛】利用，将已知方程变形同底数2的两个对数式相等，再根据真数相等得到关于的指数方程，再利用换元法求解.与对数有关的问题，应注意对数的真数大于零.‎ ‎5.【2015高考湖南卷文第8题】设函数，则是( )‎ A、奇函数，且在（0,1）上是增函数 B、奇函数，且在（0,1）上是减函数 C、偶函数，且在（0,1）上是增函数 D、偶函数，且在（0,1）上是减函数 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【考点定位】利用导数研究函数的性质 ‎【名师点睛】利用导数研究函数在(a，b)内的单调性的步骤：(1)求；(2)确认在(a，b)内的符号；(3)作出结论：时为增函数；时为减函数．研究函数性质时，首先要明确函数定义域.‎ ‎6.【2015高考山东卷文第7题】在区间上随机地取一个数 ‎,则事件“”发生的概率为( )‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 由得，，所以，由几何概型概率的计算公式得，，故选. ‎ ‎【考点定位】1.几何概型；2.对数函数的性质.‎ ‎【名师点睛】本题考查几何概型及对数函数的性质，在理解几何概型概率计算方法的前提下，解答本题的关键，是利用对数函数的单调性，求得事件发生的范围.‎ 本题属于小综合题，较好地考查了几何概型、对数函数等基础知识.‎ ‎7.【2015高考天津卷文第7题】已知定义在R上的函数为偶函数,记,则,的大小关系为（ ）‎ ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【考点定位】本题主要考查函数奇偶性及对数运算.‎ ‎【名师点睛】函数是高考中的重点与热点,客观题中也会出现较难的题,解决此类问题要充分利用相关结论.函数的图像关于直线 对称,本题中求m的值,用到了这一结论,本题中用到的另一个结论是对数恒等式:.‎ 考点分析 考点 了解A 掌握B 灵活运用C 指数与对数 B 指数函数的图像与性质 B 对数函数的图像与性质 B 幂函数 A 融会贯通 题型一　对数式计算 典例1(吉林省实验中学2016-2017学年高二下学期月考)化简_____________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】．故本题应填．‎ ‎【变式训练1】(湖南省醴陵二中、醴陵四中2016-2017学年高二下学期期中)求下列表达式的值 (1) ‎ (2) ‎【答案】 ‎【解析】根据实数指数幂的运算公式，即可求解上式的值.‎ 考点：实数指数幂的运算.‎ ‎【变式训练2】 (江西省2017届百所重点高中高三模拟试题文)设函数，则______．‎ ‎【答案】6‎ ‎【解析】‎ 知识链接：‎ 对数的运算：‎ ‎①log＝log ‎②log ‎③（M、N＞0, ＞0, 1）‎ 推广：‎ ‎④换底公式：（，＞0，1，1）‎ 典例2 (四川省简阳市2016-2017学年高一上学期期末)已知， ， ，则的大小关系为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】， ，所以.‎ ‎【变式训练1】(2015-2016学年贵州花溪清华中学)设,则下列关系中正确的是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：，，，，所以，故:,故选A.‎ 考点：对数 ‎【变式训练2】(浙江省诸暨市牌头中学高一练习)已知，则的大小关系是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C 知识链接：‎ 利用对数函数比较大小问题的处理方法：‎ ‎①看类型 ②同底用单调性 ③其它类型找中间量．‎ 零和负数无对数，是求函数定义域的又一条原则．‎ 典例3 (浙江省诸暨市牌头中学高一练习)，则________‎ ‎【答案】‎ ‎【变式训练】 (必修1P63习题5改编)若log34·log48·log8m=log416，则m=　　　　.‎ ‎【答案】9‎ ‎【解析】由已知有··=2lg m=2lg 3m=9.‎ 解题技巧与方法总结 ‎ 当对数函数的底数与指数之间有倍数或者次方数的关系时，此类题目需要巧妙运用对数函数的换底公式，从而达到分子分母相消的目的，简化计算 题型二　对数函数的图像与性质 命题点1 对数函数的图像 典例1 (2015·梅州一中)若函数的图象经过定点A，则点A的坐标是　　　　.‎ ‎【答案】(1，0)‎ ‎【解析】当3x-2=1，即x=1时，无论a为何值，y=0，故函数的图象过定点(1，0).‎ 知识链接：‎ 对数函数 ‎（1）对数函数定义：形如＝（＞0且≠1，＞0）的函数，叫做对数函数．‎ ‎（2）对数函数的图象与性质 的范围 图象 性质 ‎0＜＜1‎ ‎①过点(1,0)； ‎ ‎②当0＜＜1时, ＞0；‎ 当＞1时, ＜0；‎ ‎③在(0,＋∞)上是减函数 ‎＞1‎ ① 过点(1,0)；‎ ② ‎0＜＜1时, ＜0；‎ 当＞1时, ＞0；‎ ③ 在(0,＋∞)上是增函数.‎ ‎【变式训练】(河北省廊坊市2016-2017学年高一上学期期末考试)函的图象恒过定点（ ）‎ A. ‎(1,0)‎ B. ‎(1,-4)‎ C. ‎(2,0)‎ D. ‎‎(2,-4)‎ ‎【答案】D 典例2 (2015-2016学年海南省海南中学高二下学期期末数学（文）)函数 的图象大致为（ ）‎ ‎【答案】A ‎【解析】由对数函数性质可知函数过定点，当时为减函数，且函数满足，函数为偶函数，因此A正确 ‎ 考点：函数图像与性质 解题技巧与方法总结 利用图象解题具有形象直观性.作一些复杂函数的图象，首先应分析它可以从哪一个基本函数的图象变换过来.一般是先作出基本函数的图象，通过平移、对称、翻折等方法，得出所求函数的图象 ‎【变式训练】(海南省海南中学、文昌中学2017届高三下学期联考数学（文）)函数满足，那么函数的图象大致是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】函数的定义域为，可知选项为C.‎ 典例3 (2015-2016学年江苏徐州沛县中学高二下学期质检二数学（理）)已知函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 解题技巧与方法总结 对一些可通过平移、对称变换能作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合来求解.一些含对数的方程、不等式问题的求解，常转化为相应函数的图象问题，利用数形结合法求解.‎ ‎【变式训练】(2016-2017年安徽阜阳临泉县一中高一理12月考)已知函数．‎ ‎（1）若定义域为，求实数的取值范围； ‎ ‎（2）若值域为，求实数的取值范围； ‎ ‎（3）是否存在，使在上单调递增，若存在，求出的取值范围；不存在，说明理由． ‎ ‎【答案】（1）；（2）或；（3）不存在这样的实数．‎ 考点：对数函数的图象与性质．‎ ‎【方法点晴】本题主要考查了对数函数的图象与性质及其应用，其中解答中涉及到对数函数的定义域、值域，对数函数的单调性及其应用等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，本题的解答中熟记对数函数的图象与性质，合理列出不等式是解答的关键，试题有一定的难度，属于中档试题．‎ 知识链接：‎ 对数函数图象特征 时，与的图象关于轴对称；‎ ‎，与的图象关于轴对称；‎ 对数函数＝（＞0且≠1，＞0）都以轴为渐近线（当时，图象向上无限接近轴，当时，图象向下无限接近轴）．‎ 命题点2对数函数的性质 典例 若函数在区间上是减函数，则的取值范围是________‎ ‎【答案】‎ 考点：对数函数的单调性 ‎【变式训练1】设定义在区间上的函数是奇函数，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题，定义在区间上的函数是奇函数，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ，令，可得，‎ ‎ 的取值范围是 ‎【变式训练2】(2016~2017浙江省诸暨市牌头中学练习17)已知函数，求函数的定义域，并讨论它的奇偶性和单调性 ‎【答案】 奇函数 在是减函数 ‎【解析】由且得 ‎ 定义域 ‎ 奇函数 ‎ ‎ ‎ 在是减函数 命题点3对数函数的图像与性质 典例1 (2016~2017高一数学人教A版)已知是上的增函数，则的取值范围为_________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】是上的增函数，则当时，是增函数，‎ 当时，函数是增函数，‎ 由，得，‎ 考点：分段函数的单调性 ‎【变式训练1】(2017届江西鹰潭一中高三上学期月考二数学理)已知．‎ ‎（1）若函数的值域为，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若函数在区间上是增函数，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）或；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎ 或．‎ ‎（2）由题意知．‎ 考点：函数的值域，复合函数的单调性．‎ ‎【变式训练2】(2017届河北省武邑中学高三上学期周考文科)若函数在区间上的最大值是最小值的3倍，则等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A 考点：对数函数的图象和性质及运用.‎ ‎【易错点晴】指数函数对数函数是高中数学中重要的基本初等函数,指数函数与对数函数的图象和性质不仅是高中数学的重要内容,也是解答数学问题的重要思想和方法.解答本题时,要充分运用题设条件,借助当因,故对数函数是单调递减函数这一性质,分别求出函数的最大值和最小值.再依据题设建立方程,最后通过解方程求得.‎ 典例2 已知函数若，则实数的取值范围是________．‎ ‎【答案】∪(1，＋∞)‎ ‎【解析】画图象可得是(－∞，＋∞)上连续的单调减函数，于是由，得，即，解得.‎ ‎【变式训练】已知函数若，则实数的取值范围是________．‎ ‎【答案】(－2,1)‎ ‎【解析】画图象可知在(－∞，＋∞)上是单调递增函数，于是由，得，即，解得.‎ 解题技巧与方法总结 解函数不等式时，要充分利用函数的单调性和奇偶性，转化为代数不等式(组)，从而求解.对于不等式恒成立问题，通常利用分离参数的方法，转化为研究函数的最值(值域)‎ 题型三　对数函数的综合运用 典例1(北京市西城区2017届高三4月统一测试（一模）理)函数的零点个数为( )‎ A. 0 B. 1 C. 2 D. 3‎ ‎【答案】C ‎【变式训练】(2017~2018学年高中数学章末分层突破) 是定义在上的奇函数，且当时，，则函数的零点的个数是________‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】作出函数的图像，可知函数在内存在一个零点，又因为是定义在上的奇函数，所以在上也有一个零点，又，所以函数的零点的个数是3个 ‎ 典例2 (2016~2017高一数学人教A版)函数的值域为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎ ‎ ‎ 的值域为 考点：指数、对数函数值域、复合函数值域 ‎【变式训练】函数log在上的最大值与最小值之和为，则的值为 .‎ ‎【答案】 ‎ 典例3设函数，若对任意，都存在，使，则实数的取值范围为（ ）‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】，令，则，设值域为A，因为对任意都存在使，所以，设的值域为，则，显然当时，上式成立；当时，解得，当时，即恒成立，综上 知识链接：‎ 对数函数与指数函数的关系 对数函数＝（＞0且≠1，＞0）是指数函数 的反函数．互为反函数的两个函数的图象关于直线对称．‎ 知识交汇 ‎1.(2017届河北省武邑中学高三上学期周考理科)函数的值域为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】因(当且仅当,即时取等号),故,即,故应选A.‎ 考点：基本不等式和对数函数的性质.‎ ‎【交汇技巧】本题考察基本不等式，复合函数的值域、对数函数的图像与性质等等，解答本题的关键是将真数部分凑成基本不等式的形式，求出真数部分所对应的值域，再求出整个复合函数的值域，本题需要注意运用基本不等式等号是否能取以及对数函数中真数大于零 ‎2.(2015-2016学年河北省冀州市中学高一下开学考试)函数的值域是,则实数的取值范围是________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 考点：1、基本不等式；2、对数函数的性质．‎ ‎【交汇技巧】‎ 本题主要考查基本不等式与对数函数的性质问题，本题解题的关键“是函数的值域为”这一条件的等价转换，求函数的值域问题转化为集合间的关系问题 ‎3. (2016-2017学年四川省乐山市高一上学期期末考试)已知，函数的图象如图所示，则函数的图象可能为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B 考点：对数函数的图象与性质；二次函数的图象．‎ ‎【交汇技巧】‎ 本题主要考察二次函数的图像、对数函数的图像与性质，解答本题的关键是根据二次函数图像与x轴交点的分布，从而得到a，b的范围，再由对数函数的图像和性质确定函数图像单调性及渐近线 ‎4.(河北省定州市2016-2017学年高一上学期期末)已知，且 ‎（1）当时，解不等式；‎ ‎（2）在恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）时，原不等式变为，解这个一元二次不等式可求 ‎【交汇技巧】‎ 本题主要考查一元二次不等式的解法，考查对数不等式的解法，考查恒成立问题的解法，考查分类讨论的数学思想方法.第一问由于是已知的，利用一元二次不等式的解法，求得，解这个对数不等式可求得不等式的解集.第二问同样利用一元二次不等式的解法，求得，由于的范围不确定，故要对分成两类，结合单调性来讨论.‎ ‎5.已知函数，函数，，则下列判断不正确的是( )‎ A．若，则有四个零点 B．若，则有三个零点 C．若，则有两个零点 D．若，则有一个零点 ‎【答案】A ‎【解析】令时，有两根，时，有一根 ‎ ‎ ‎【交汇技巧】本题重点考察根的存在性即根的分布问题，对于复合函数根的个数问题应“由表及里”，先探究外函数的根的分布，再根据外函数的根探究的根的个数 练习检测 ‎1.(2017新疆乌什县二中高一数学测试)解下列对数方程 ‎（1） ‎ ‎（2）‎ ‎（3） ‎ ‎（4）‎ ‎【答案】-2 -1或6 16 ‎ ‎2.比较下列各题中两个值的大小：‎ ‎（1）； （2）；‎ ‎（3）；‎ ‎【答案】（1），，∴；‎ ‎（2），，∴；‎ ‎（3），∴．‎ ‎3.(山东高密市第三中学2017届高三一轮理)函数，当成立时，的取值范围是_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎ 函数，时，单调递增，时，单调递减 ‎ 当成立时，‎ ‎ ‎ ‎4.(山东高密市第三中学2017届高三一轮理)不等式的解集是___________________.‎ ‎【答案】‎ ‎5.(2016-2017学年海南省海南中学高二下学期期末文)函数的递减区间为（ ）‎ A．（1，＋∞） B. ‎ C．（－∞，1） D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：令，则函数，（t＞0）．‎ 令t＞0，求得，或x＞1，故函数y的定义域为{x|，或x＞1}．‎ 函数的递减区间，根据复合函数的单调性规律，‎ 本题即求t=（2x-1）（x-1）在区间（-∞，）∪（1，+∞）上的增区间．‎ 利用二次函数的性质可得，函数t在函数y的定义域内的增区间为（1，+∞），‎ 考点：复合函数的单调性 ‎6. 已知函数，若，则实数x的取值范围　　．‎ ‎【答案】（﹣，﹣2）∪（2，）‎ ‎7.已知是定义在上的偶函数，且在上为增函数，，则不等式的解集为________‎ ‎【答案】‎ ‎8.(2016-2017学年江西省南城一中高二上学期期中考试理科)已知，则的最小值是（ ）‎ A． B．3 C．2 D．4‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：‎ ‎，‎ 当且仅当时等号成立，取得最小值4‎ ‎8.已知函数，2≤x≤8.‎ ‎(1)令t＝log2x，求y关于t的函数关系式，并写出t的范围；‎ ‎(2)求该函数的值域．‎ ‎【答案】解：(1) ‎ 即该函数的值域为. ‎