高中同步数学教案第1章 集合和命题 72页

第1章 集合和命题 ‎1.1 集合及其表示法 ‎1、集合的定义：一些确定对象组成的整体叫做集合（简称集），集合中的各个对象叫做这个集合的元素。例如:‎ ‎（1）格致中学高一年级全体学生；‎ ‎（2）小于等于10的正整数；‎ ‎（3）所有的锐角三角形；‎ ‎（4）一个正方形ABCD内部的点的全体。‎ ‎2、集合中元素的性质：‎ ‎（1）确定性：对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的。任何一个对象要么是给定集合的元素，要么不是给定集合的元素，二者必居其一。‎ 例如：很大的数、著名的科学家、我们班级中的聪明同学都不能够成集合。‎ ‎（2）互异性：对于一个给定的集合，集合中的元素是各不相同的。也就是说，一个给定的集合中的任何两个元素都是不同的对象，集合中的元素不能重复出现。‎ ‎（3）无序性：对于一个给定的集合，它与元素的顺序无关。例如由数形成的集合和由数形成的集合是同一个集合。‎ ‎3、元素与集合的关系：‎ 集合常用大写的字母表示，集合中的元素用小写的字母表示。‎ 如果是集合的元素，就记作；‎ 如果不是集合的元素，就记作。‎ ‎4、常用数集及其表示：‎ 全体自然数(零与正整数)组成的集合叫自然数集，记作；‎ 正整数集用表示；‎ 整数集用表示；‎ 有理数集用表示；‎ 实数集用表示。‎ 我们还把正整数集、负整数集、正有理数集、负有理数集、正实数集、负实数集分别表示为：。‎ ‎5、集合的分类：‎ ‎（1）有限集与无限集：‎ 集合按元素的个数多少进行分类可分为有限集与无限集。含有限个元素的集合称为有限集；含有无限个元素的集合称为无限集。‎ ‎（2）空集：‎ ‎ 我们把不含有任何元素的集合称为空集，记作。‎ ‎6、集合的表示法：‎ ‎（1）列举法：‎ 将集合中的元素一一列举出来（不考虑元素顺序），并写在大括号内。这种表示集合的方法称为列举法。‎ 比较下面两个解集：‎ 解的集合为{2，1}；‎ 解的集合为{(2，1)}。‎ 思考：，，的联系与区别是什么？‎ ‎（2）描述法：‎ 在大括号内先写出集合元素的一般形式，再划一条竖线，在竖线的后面写上集合元素所共同具有的特性，即具有的性质，这种集合的方法称为描述法。‎ 思考：下面三个集合：，，是否表示相同集合。‎ 例题：‎ 例1、已知集合，若，则实数 分析：注意求出的值要满足A的元素互异。‎ 解：或或。‎ 由得，此时，，不满足集合元素互异性要求，所以不合题意。‎ 由得，此时，所以符合题意要求。‎ 由得或2。‎ 当时，，。‎ 当时，，。‎ 综上所述，所求的值是。‎ 例2、将下列集合用列举法表示。‎ （1） 集合；‎ （2） 集合。‎ 解：（1）；‎ ‎（2）‎ 练习巩固：‎ ‎1、用适当的方法表示下列集合 ‎（1）大于0且不超过7的全体质数组成的集合A；‎ ‎（2）被3除余1的自然数的全体形成的集合B；‎ ‎（3）平面直角坐标系中第四象限内的点组成的集合C。‎ 解：（1）或是质数｝；‎ ‎（2）；‎ ‎（3）。‎ ‎2、已知，‎ 用列举法表示集合A，则＿＿＿＿＿＿＿＿＿；‎ 解：。‎ ‎3、已知集合不是空集。（1）求实数的取值范围；‎ ‎（2）求集合M中所有元素的和。‎ 解：（1），‎ 即实数的取值范围是；‎ ‎（2）当时，集合M中只有唯一一个元素1，‎ ‎ 所有元素的和为1；‎ 当时，集合M中有两个不同的元素，‎ 而。所以该集合中所有元素的和为2。‎ ‎4、对于集合M，若满足：当时，则且，我们称集合M为“完美”集。问：‎ ‎(1)自然数集N是否是“完美”集？为什么？‎ ‎(2)无理数集M是否是“完美”集？为什么？‎ ‎(3)由形如：的数形成的集合是否是“完美”集？说明理由。‎ 解：(1)N是“完美”集；‎ ‎(2)M不是“完美”集；举反例：如，但。‎ ‎(3)是“完美”集。设，‎ 则，‎ 那么，‎ ‎。‎ 所以集合A是“完美”集。‎ 作业研究：‎ ‎　　1、用适当的方法下列集合：‎ ‎（1）不小于0的偶数；‎ ‎（2）绝对值小于5的整数；‎ ‎（3）一次函数的图像上的所有点；‎ ‎（4）不等式的实数解。‎ ‎2、设集合，求实数的取值范围。‎ ‎3、已知集合，若A不是空集，求实数的取值范围。‎ ‎4、若集合中最多只有一个元素，求实数的取值范围。‎ ‎5、用列举法表示集合是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。‎ ‎6＊、设是整数，集合，点，点，，求的值。‎ ‎7＊、设，设集合。若，求集合B。‎ 作业:《练习部分》、《导学先锋》1.1节.‎ 作业讲评:‎ 1、 用适当的方法表示下列集合：‎ （1） 被3除余数等于1的整数的集合；‎ （2） 两直线和的交点组成的集合 解：（1）；‎ ‎（2）。‎ ‎2、已知集合,且,求实数的值.‎ 解:(舍去).‎ ‎3、设集合A满足条件：①；②若则。‎ ‎（1）若，求集合；‎ ‎（2）若求证：；‎ ‎（3）在集合A中的元素个数能否只有一个实数？若有，求出此集合；否则，请说明理由；‎ 解：（1）‎ ‎（2）因为所以，‎ 又，所以。‎ （1） 若A是单元素集，则，‎ 得。，‎ 此方程无实数解，故A不可能是单元素集合。‎ ‎1、2集合之间的关系：‎ ‎1、子集的概念：‎ 考察下面三组集合:‎ ‎1)；‎ ‎2）；‎ ‎3）；。‎ 对于两个集合A、B，若集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，则称集合A是集合B的子集，记作：‎ 或。‎ 我们规定：空集是任意集合的子集。‎ 即对于任意集合A，都有，或。‎ B A 集合包含关系的图形表示（文氏图）‎ 例1：已知集合，写出集合A的所有子集。‎ 解：集合A的所有子集为：‎ ‎。共有8个。‎ 问题探究：若集合A有个元素，则集合A的子集共有个？‎ 例2：集合，若，则满足题意的实数组成的集合。‎ 解：‎ ‎2、集合的相等：‎ 对于两个集合A、B，若且，那么称集合A与集合B相等，记作。因此，如果两个集合所含的元素完全相同，那么这两个集合相等。‎ 例3：已知，求实数的值。‎ 解：由集合相等的意义知或。‎ 解得或。‎ 例4、已知，集合，若A=B，则。‎ 解：-1。‎ ‎3、真子集的概念：‎ 考察前面三组集合的1）和2）：‎ 对于两个集合A、B，如果，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A称为集合B的真子集，记作：‎ 或。‎ 对于数集N、Z、Q、R来说，有。‎ 注意：空集是任意集合的子集，空集是任意非空集合的真子集。含有个元素的集合的真子集个数为个。‎ 例5：下面关系式：（1）；（2）‎ ‎；‎ ‎（3）。其中正确的关系式的序号为＿＿＿＿＿＿（把你认为正确的代号全填上）。‎ 解:（1）、（2）、（3）都正确。‎ 例6：已知集合，集合，集合。试用列举法写出集合B、C。并判断B、C之间关系。‎ 解：，。。‎ 例7、已知集合，‎ ‎，且，求实数的取值范围。‎ 解：因为，所以（（1）与（2）的等号不能同时成立）．‎ 解此不等式组，得，即。‎ 又当时，与矛盾，所以。‎ 故所求实数的取值范围是．‎ ‎0 1 3 ‎ A B 例8：设集合，‎ ‎，若，‎ 求实数的取值范围。‎ 解：由已知，因为，‎ 所以或或或。‎ 当时，，解得：‎ ‎；‎ 当时，则；‎ 当时，则，无解；‎ 当时，同样解得。‎ 综上知实数的取值范围是或。‎ 例9、 已知集合，，且，求实数的值。‎ 解：。‎ 若，则，这与已知矛盾，‎ 若，又，于是，与已知矛盾，故.‎ ‎，。‎ 练习巩固：‎ ‎1、已知集合，若，则实数的值为__________；（‎ ‎2、设。若，求实数的值。（注意集合元素的互异性与无序性：‎ ‎3、设集合，‎ ‎，且。若，求实数的值。‎ 解： ，或，或。‎ ‎4、已知集合，若，求实数的值。‎ 解：。‎ ‎5、已知，集合 ‎。若，求的值。‎ 解：因为则，‎ 又，则。‎ 由，则得。‎ 说明：先确定出元素之间的大小关系可减少讨论。‎ ‎6、已知，‎ ‎，，‎ 若，则（　　）‎ A、A；　B、B；　C、C；　　D、以上结论都不正确。‎ 作业研究 ‎1、满足的集合A有＿＿＿＿个；‎ ‎2、设集合，对于任意的实数恒成立｝，则下列关系式中成立的是（ ）‎ A、；　B、；　C、；‎ D、A与B没有公共元素。‎ ‎3、已知集合中有个元素，若在A中增加一个元素，则它的子集将增加＿＿＿＿个；若在A中增加个元素，则它的子集将增加＿＿＿＿＿个；‎ ‎4、已知，且当时，。若集合M只有三个元素，这样的集合M为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；‎ ‎5、已知集合，，试求集合B中含有元素1和10的真子集的个数。‎ ‎6、设集合，其中。若，求实数的值。‎ ‎7、已知集合，且 ‎，试求：的值。‎ ‎8＊、已知集合，且。，。若，求实数的取值范围。‎ ‎9＊、已知集合，是否存在这样的实数，使得集合A有且只有两个子集？若存在，求出实数的值与其对应的两个子集，若不存在，请说明理由。‎ 作业:《练习部分》、《导学先锋》1.2节.‎ ‎1、3 集合的运算 ‎1、交集的概念：‎ 由集合和集合的所有公共元素组成的集合叫做集合与的交集，记作。‎ 即：且 如：，，则。‎ 特别地：当集合A与集合B没有公共元素时，则它们的交集为空集。‎ ‎2、并集的概念：‎ 由所有属于集合A或者集合B的元素组成的集合叫做集合A与集合B的并集，记作。即：‎ 或 如：，，‎ 则。‎ ‎3、补集的概念：‎ ‎（1）全集：在研究集合与集合的关系时，若这些集合都是某个给定集合的子集，这个给定的集合叫做全集。全集常用符号表示。‎ ‎（2）补集：‎ 设为全集，集合是的子集，则由集合中所有不属于A的元素组成的集合称为A在全集U中的补集，记作。读作：集合A在U中的补集。即 如：，，则。‎ ‎　‎ ‎4、交、并、补概念的图形表示：（略）‎ 性质：，‎ ‎。‎ 例题：‎ 例1：设集合，求，并说明它的意义。‎ 解：。‎ 表示方程组的解的集合，‎ 也就是两个一次函数图像交点坐标的集合。‎ 例2：已知集合，‎ ‎，求，。‎ 解：，。‎ 例3：已知若或，则集合＿＿＿。‎ 解：利用数轴可以得出。‎ 例4、（1）若，则=；‎ ‎（2）若，求=‎ 解；（1）；‎ ‎（2）‎ 例5：已知集合 ‎，且，求实数的值。‎ 解：由知。‎ （1） 若，‎ 此时，‎ 则，与题设矛盾，故舍去。‎ ‎（2）若，则。‎ 当时，‎ 与集合中元素互异矛盾，所以舍去。‎ 当时，满足题义。‎ 综上知。‎ 例6：已知集合，集合分别求满足下列条件的实数的取值范围。‎ ‎（1）；　　（2）。‎ 解：（1）当时，成立，‎ 此时，则；‎ 当时，即时，则或得或，知或。‎ 综上知的取值范围是：或。‎ （1） 若，则，‎ 当时，满足题义，此时；‎ 当时，即时，‎ 有。‎ 综上知的取值范围是或。‎ 例7：设全集，，，。‎ 则＿＿＿＿＿、＿＿＿＿＿；‎ 解：由集合图形得：。‎ 例8、已知三个实数集合，，。若，试求实数的值与的取值范围。‎ ‎　‎ 解：，由题意知：，‎ 得：或3；或。‎ 例9、已知集合，且，求的取值范围。‎ 解：。‎ 例10、已知集合。（1）求所有包含元素1的子集个数；（2）求集合 的所有非空子集元素的和。‎ 解：512；28160。‎ 例11、设集合不是空集，，，且，求实数的取值范围。‎ 解：。‎ 练习巩固：‎ ‎1、已知集合或 ‎，则＝＿＿＿＿＿，＝＿＿＿＿＿；‎ 解：‎ ‎2、已知集合，集合，若，则实数的取值范围是＿＿＿＿＿＿＿＿；若，则实数的取值范围是＿＿＿＿＿＿；‎ 解：若，则；若，则。‎ ‎3、已知集合，若，则＿＿＿＿＿＿；‎ 解：。。‎ ‎4、设集合，且，求实数的值和。‎ 解：。‎ ‎5、设全集，，，。‎ 则＿＿＿＿＿、＿＿＿＿＿＿；‎ 解：由集合图形得：。‎ ‎6、设集合，求与。‎ 解：，‎ ‎。‎ 作业研究：‎ ‎1、若全集，则＿＿＿＿＿＿；‎ ‎2、若集合满足：，则以下运算结果是空集的为　　　　　　　　（　　）‎ A、；　　B、；　　C、；　　　D、。‎ ‎3、设集合，集合，，则＝＿＿＿＿＿；‎ ‎4、已知集合，则　　（　　）‎ A、；B、；C、；D、。‎ ‎5、已知。若，求的值。‎ ‎6、已知全集，集合。是否存在实数，使，若存在，求出的值，不存在，说明理由。‎ ‎7、已知全集，设，‎ ‎。试用列举法表示集合和。‎ ‎8、对于集合，定义集合为集合A、B的差集，记为。‎ ‎（1）在下列各图中用阴影部分表示出；‎ U A B U U A B B A ‎（2）若，问：集合A、B有怎样的关系？‎ ‎9、对于集合A、B，定义集合为集合A、B的乘集，记为。‎ ‎（1）已知集合，求与；‎ ‎（2）已知，求集合A和B；‎ ‎（3）试探讨：若，问A、B满足什么条件。‎ 作业:《练习部分》1、3节A、B组；‎ ‎《导学先锋》1.3（1）.‎ 作业:《导学先锋》1.3 (2)、(3)‎ ‎1、4 命题的形式及等价关系 ‎1、命题及其真假：‎ 可以判断真假的语句叫做命题。命题一般用陈述语句表示。正确的命题是真命题，错误的命题叫做假命题。‎ 例1：下列语句哪些是命题，哪些不是命题？若是命题，判断其真假。‎ ‎（1）；‎ ‎（2）上课请不要讲话；‎ ‎（3）你是高一年级学生吗？‎ ‎（4）能被5整除的整数的个位数是5；‎ ‎（5）能被5整除的整数的个位数是5吗？‎ 解：（1）与（4）是命题，它们是可以判断真假的语句；‎ ‎（2）、（3）、（5）不是命题。（2）不是判断语句、（3）与（5）是问句，不是表示判断的陈述句，不是命题。‎ ‎2、命题真假的判断：‎ 在数学中，常见的命题由条件和结论两部分组成。‎ ‎（1）要判断一个命题是假命题，只要举出一个满足条件，而不满足结论的例子就可以了，也即举反例；‎ ‎（2）要判断一个命题是真命题，就必须作出证明，证明如果条件成立，那么结论一定成立。‎ 例2：判断下列命题的真假，并说明理由。‎ ‎（1）若，则或；‎ ‎（2）若，则且；‎ ‎（3）实数的倒数是；‎ ‎（4）直线外两点M、N到直线的距离相等，则直线；‎ ‎（5）若实数满足，则；‎ 说明：数学中要说明一个命题是真命题，要经过证明；若说明一个命题是假命题，只需举出一个反例即可。‎ ‎3、推出关系与等价关系：‎ ‎（1）推出关系：‎ 一般地：如果命题成立，可以推出命题成立，那么就用记号表示，读作“推出”。‎ ‎（2）等价关系：‎ 若且，那么记作，叫做与等价。‎ ‎（3）推出关系的传递性：‎ 推出关系满足传递性，即：若，‎ 则。‎ 例3：判断下列命题的真假，若是真命题，给出证明，若是假命题，举出一个反例。‎ ‎（1）若方程有两个不相等的实数根，则。‎ ‎（2）若是奇数，则是8的倍数。‎ 是真命题。设，则，‎ 因为，且是偶数，‎ 所以为8的倍数。‎ ‎（3）是无理数。‎ 是真命题。‎ 证明：假设是有理数，则存在互质的整数，使成立，即。平方得：，‎ 则是偶数，所以是偶数。设，‎ 则，所以是偶数，则是偶数。‎ 这与互质矛盾。假设不成立，所以是无理数。‎ 说明：对于真命题的证明，一般有两种方法：‎ ‎（1）直接法（演绎法）；（2）间接法（包括反证法）。‎ ‎4、四种命题形式：‎ 一个命题的条件用，结论用表示。则可以写成“如果，那么”，把它作为“原命题”。‎ ‎（1）、逆命题：把原命题的条件与结论进行互换，得到一个新的命题，这个命题称为原命题的逆命题。即逆命题是：“如果，那么”。‎ 原命题与逆命题是互为逆命题。‎ ‎（2）、否命题：把原命题条件的否定作为条件，结论的否定作为结论得到的新命题称为原命题的否命题。即否命题为“如果，那么”。‎ 原命题与否命题是互为否命题。‎ ‎（3）、逆否命题：将原命题结论的否定作为条件，条件的否定作为结论得到的新命题是原命题的逆否命题。即“如果，那么”。原命题与逆否命题互为逆否命题，否命题与逆命题也是互为逆否命题。‎ ‎5、命题的否定形式：‎ 把一个命题的条件不变，否定其结论得到的新命题称为该命题的否定形式。原命题“如果，那么”的否定形式是“如果，那么”。‎ 例4：分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假。‎ ‎（1）如果两个三角形全等，那么它们的面积相等；‎ ‎（2）如果一个三角形两边相等，那么这两边所对的角也相等；‎ ‎（3）三个角都为锐角的三角形是锐角三角形。‎ 解：（1）逆命题：如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等。它是假命题。‎ 否命题：如果两个三角形不全等，那么它们的面积不相等。它是假命题。‎ 逆否命题：如果两个三角形的面积不等，那么这两个三角形不全等。它是真命题。‎ ‎（2）逆命题：如果一个三角形的两个角相等，那么它们所对的边也相等。它是真命题。‎ 否命题：如果一个三角形的两边不相等，那么它们所对的角也不相等。它是真命题。‎ 逆否命题：如果一个三角形的两角不等，那么它们所对的边也不等。它是真命题。‎ ‎（3）逆命题：锐角三角形的三个角都为锐角。它是真命题。‎ 否命题：三个角不都为锐角的三角形不是锐角三角形。它是真命题。‎ 逆否命题：不是锐角三角形的三个角不都为锐角。它是真命题。‎ 例5：写出下列命题（或语句）的否定形式：‎ ‎（1）实数的平方是正数；‎ ‎（2）我们班至少有一个区三好学生；‎ ‎（3）；‎ ‎（4）如果两个角是对顶角，则这两个角相等。‎ 解：（1）实数的平方不是正数；‎ ‎（2）我们班没有区三好生（我们都不是区三好生）；‎ ‎（3）；‎ ‎（4）如果两个角是对顶角，则这两个角不相等。‎ ‎6、等价命题：‎ 例4中看出：‎ ‎　　互为逆否的两个命题同真或同假。原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题也是同真同假。‎ 对于判断一个命题的真假有困难时，可以转化为判断此命题的等价命题的真假，即一般判断它的逆否命题的真假。这也是反证法的理论依据。‎ 例6：判断下列命题的真假：‎ ‎（1）设，若，则中至少有一个不小于1；‎ ‎（2）若，则或。‎ 解：（1）该命题是真命题。此命题的逆否命题是：设，若都小于1，则。是真命题。‎ ‎（2）该命题是真命题。此命题的逆否命题是：若且，则。显然是真命题。‎ 练习巩固：‎ 命题与推出关系：‎ ‎1、判断下列命题的真假：‎ ‎（1）素数一定是奇数；（假命题）‎ ‎（2）素数可能是偶数；（真命题）‎ ‎（3）偶数可能是素数；（真命题）‎ ‎（4）空集只有一个子集；（真命题）‎ ‎（5）若，则；（真命题）‎ ‎　　因为：。‎ ‎（6）若，则；（真命题）‎ U A 利用图形判断：‎ 如右图：，则 ‎（7）已知集合满足：若，则。（真命题）‎ 若，则至少含有两个元素、A，与矛盾。‎ ‎2、用符号“、、”表示事件和之间的推出关系：‎ ‎（1）：集合，：集合。；“”‎ ‎（2）：三角形ABC是等腰三角形，：三角形ABC是等边三角形。；“”‎ ‎（3）：二次函数的图象与轴没有公共点，：。；“”‎ ‎（4）：四边形是平行四边形，：四边形对角线互相平分。；“”‎ ‎（5）：，：或。。“”‎ 四种命题形式：‎ ‎1、写出命题：“若两个实数的积不是无理数，则这两个数都不是无理数”的逆命题、否命题、逆否命题。并判断它们的真假。‎ 解：逆命题：若两个实数都不是无理数，则它们的积不是无理数。它是真命题。‎ 否命题：若两个实数的积是无理数，则这两个实数至少有一个是无理数。它是真命题。‎ 逆否命题：若两个实数中至少有一个是无理数，则它们的积是无理数。它是假命题。‎ ‎2、写出命题：“若实数，则中至少有一个为正数”的逆命题、否命题、逆否命题。并说明它们的真假。‎ 解：逆命题：若中至少有一个是正数，则。它是假命题。‎ 否命题：若，则 中没有一个是正数。它是假命题。‎ 逆否命题：若中没有一个是正数，则。它是真命题。‎ ‎3、写出命题：“若实数且，则”的逆命题、否命题、逆否命题。并判断它们的真假。‎ 解：逆命题：若实数满足，则且。它是假命题。‎ 否命题：若实数或，则。它是假命题。‎ 逆否命题：若实数满足，则或。它是真命题。‎ ‎4、写出命题：“若都不为零，则”的逆命题、否命题、逆否命题。并判断它们的真假。‎ 解：逆命题：若，则都不为零。它是真命题。‎ 否命题：若至少有一个为零，则。它是真命题。‎ 逆否命题：若，则至少有一个为零。它是真命题。‎ 作业研究：‎ 命题与推出关系：‎ ‎　1、判断下列语句是否是命题：‎ ‎（1）中国是一个国家；（是）‎ ‎（2）我喜欢贝多芬的音乐；（是）‎ ‎（3）请关门；（不是）‎ ‎（4）两个无理数的乘积不一定是无理数；（是）‎ ‎（5）存在实数，使。（是）‎ ‎2、判断下列命题的真假，并说明理由。‎ ‎（1）有理数与无理数的和一定是无理数；‎ 此命题是真命题。证明：设全集，，。记，若，则，，由，所以与矛盾。假设不成立，所以。即有理数与无理数的和一定是无理数。‎ ‎（2）若两无理数的和是无理数，则此两无理数的差也是无理数。‎ 假命题：，知是无理数，不是无理数。‎ ‎（3）若与都是有理数，则都是有理数。‎ 假命题。，则。‎ ‎（4）若与都是无理数，则不都是有理数。‎ 真命题。反证法：若都是有理数，则与都是有理数，与题设矛盾。‎ 四种命题形式：‎ ‎1、写出下列命题的逆命题、否命题与逆否命题，并判断真假，‎ ‎（1）若是无理数，则中至少有一个是无理数；‎ ‎（2）菱形的对角线互相垂直平分；‎ ‎（3）若，则且；‎ ‎（4）当时，若，则。‎ ‎2、设A、B为两个集合，对于下列四个命题：（1）不是的子集对于任意的，有；（2）不是的子集；（3）不是的子集不是的子集；（4）不是的子集存在，有。其中真命题的序号是＿＿＿＿＿＿＿。‎ ‎3、某命题与自然数有关，如果时该命题成立，那么可推得时该命题也成立。已知当 时该命题不成立，则可推得　　　　　　　　　　　（　　）‎ A、当时该命题不成立；　　　　‎ ‎　B、当时该命题成立；‎ C、当时该命题不成立；　　　　‎ ‎　D、当时该命题成立。‎ ‎4、若下列三个方程：中，至少有一个方程有实根，试求实数的取值范围。‎ ‎5＊、设。求证：是偶数。‎ 证明：设是奇数，则这7个数都为奇数。因为奇数个奇数的和为奇数，所以 必为奇数。由题意： ，则 ‎，矛盾。所以结论成立。‎ 作业：《导学先锋》‎ ‎1、5 充分条件与必要条件 ‎1、充分条件与必要条件 ‎（1）若，则称A是B的充分条件。‎ 即要使结论B成立，A这个条件“有它即可”。‎ ‎（2）若，则称B是A的必要条件。‎ 因为与等价，即B不成立，那么A也不成立，要使A成立，B这个条件“非它不行”。‎ ‎2、充分必要条件 若且，则A既是B的充分条件又是B的必要条件，这时就说，A是B的充分而且必要的条件，简称A是B的充要条件。‎ ‎3、条件与结论的四种关系 一般地，对于两个事件A和B，它们的关系有四种：‎ ‎（1）若且，则称A是B的充分不必要条件；‎ ‎（2）若且，则称A是B的必要不充分条件；‎ ‎（3）若且，则A是B的充要条件；‎ ‎（4）若且，则称A是B的既不充分也不必要条件。‎ ‎4、充要条件的几种等价表述：A是B的充要条件； B的充要条件是A；当且仅当A成立时，B成立；必须而且只需B成立时，A成立。‎ ‎5、充分条件、必要条件的证明 分充分性、必要性两步证明。‎ 例1：指出下列各小题中的是的什么条件（在“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”、“既不充分又不必要条件”中选一个）。‎ ‎（1）；‎ ‎（2）两直线平行，内错角相等；‎ ‎（3）四边形ABCD是矩形，AC＝BD；‎ ‎（4）三角形两内角相等，三角形是等腰三角形；‎ ‎（5）是偶数，都是偶数；‎ ‎（6），。‎ 解：（1）是的充分不必要条件；‎ ‎　 （2）是的充要条件；‎ ‎　 （3）是的充分不必要条件；‎ ‎ （4）是的充要条件；‎ ‎ （5）是的必要不充分条件；‎ ‎　 （6）是的既不充分又不必要条件。‎ ‎ 例2：设实数满足，　实数满足。那么是的（　　）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A、充分不必要条件；B、必要不充分条件；‎ C、充要条件；D、既不充分又不必要条件。‎ 解：取，满足，但不满足，所以条件不充分；‎ 又，所以是的必要不充分条件。选B。‎ 例3：试写出实系数一元二次方程有两不等正根的一个充分不必要条件和一个必要不充分条件。‎ 解：实系数一元二次方程有两不等正根的充要条件是：‎ 解得：且。‎ 则是实系数一元二次方程有两不等正根的一个充分不必要条件；‎ 是实系数一元二次方程有两不等正根的一个必要不充分条件。‎ 例4：已知都为实数，求证：的充分必要条件是。‎ 证明：充分性：若，则，‎ ‎＝，‎ 所以；‎ 必要性：若，‎ 则，‎ 所以。‎ 由都是实数，则，。‎ 所以。‎ ‎　说明：证明一个条件是结论成立的充要条件要从“充分性”与“必要性”两个方面加以论证，区分清楚哪种情况是充分性，哪种情况是必要性。‎ 练习巩固：‎ ‎1、如果，那么是的（　　）　　　　　　　　　　　　　　　‎ A、充分不必要条件；　B、必要不充分条件；‎ ‎　C、充要条件；　D、不充分又不必要条件。‎ ‎2、“”是“”的（　　）‎ A、充分不必要条件；　B、必要不充分条件；　‎ C、充要条件；　D、不充分又不必要条件。‎ ‎3、“或”是“”的（　　）‎ A、充分不必要条件；　B、必要不充分条件；‎ C、充要条件；　D、不充分又不必要条件。‎ ‎4、“”是“”的（　　）‎ A、充分不必要条件；　B、必要不充分条件；‎ C、充要条件；　D、不充分又不必要条件。‎ 解：1、A ； 2、B； 3、B ； 4、A。‎ 作业研究：‎ 1、 已知，且有条件：‎ ‎，。试从以上条件中选出符合下列要求的条件（用代号表示）。‎ ‎（1）使都为0的充要条件＿＿＿＿；　‎ ‎（2）使都不为0的充分条件＿＿＿＿；‎ ‎（3）使至少有一个是0的充要条件＿＿；‎ ‎（4）使至少有一个不是0的充要条件＿。‎ ‎2、写出“”的一个充分不必要条件：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；一个充分必要条件：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；一个必要不充分条件：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。‎ ‎3、已知A：关于的一次不等式与有相同的解集。B：。判断A是B的什么条件？说明理由。‎ ‎4、求证：关于的一元二次方程有一根为1的充要条件是。‎ ‎5、求当时，不等式：成立的充要条件。‎ 作业：《导学先锋》.‎ ‎1、6 子集与推出关系 ‎1、子集与推出关系 已知、是两个非空的集合，如果 ，。‎ 那么 若，则；‎ 若，则；‎ 若，则。‎ ‎2、集合间的包含关系与充分条件、必要条件之间的关系：‎ 设具有性质的对象组成的集合为A，‎ 具有性质的对象组成的集合为B，‎ 则有：‎ ‎（1）若，则是的充分条件；‎ ‎（2）若，则是的充分不必要条件；‎ ‎（3）若，则是的必要条件；‎ ‎（4）若，则是的必要不充分条件；‎ ‎（5）若，则是充分必要条件。‎ ‎3、子集与推出关系的应用：‎ 例1、试用子集与推出关系说明是的什么条件。‎ ‎（1）；‎ ‎（2）‎ 解：（1）对应的集合，对应的集合，‎ 于是，，因此是的充分非必要条件。‎ （1） 因为，，‎ 因此，所以是的必要非充分条件。‎ 例2：已知，。分别求满足下列关系的实数的取值范围。‎ ‎（1）是的充分条件；　　　　（2）是的充分不必要条件；‎ 解：设，‎ ‎。由题意得：‎ ‎（1），所以，解得：。即的取值范围是。‎ ‎（2）若是的充分不必要条件，则，所以且与不同时成立，解得：，即的取值范围是。‎ 例3：已知，，是否存在实数，使是的充分不必要条件？若存在，求出的取值范围，不存在，说明理由。‎ 解：设，‎ ‎，若是的充分不必要条件，‎ 则且。‎ 由得且与 不能同时成立，解得：，‎ 又，所以，则。‎ 综上知，实数的取值范围是。‎ 例4：设集合，。，。试判断是的什么条件，说明理由。‎ 解：因为 所以，则是的充分不必要条件。‎ 练习巩固：‎ ‎1、设，则是的＿＿＿＿＿＿条件；‎ ‎2、集合，那么“或”是“”的＿＿＿＿＿＿条件；‎ ‎3、设其中。则是的＿＿＿＿＿＿＿＿＿条件；‎ ‎4、设：整数的，：与整数相差的数。则是的＿＿＿＿＿＿＿＿＿条件；‎ ‎5、写出的一个充分不必要条件为＿＿＿＿＿；写出的一个必要不充分条件为＿＿＿＿＿＿；‎ ‎6、设。若是的充分不必要条件，则实数的取值范围为＿＿＿。‎ ‎7、设，则是的（　　）‎ A、充分不必要条件；B、必要不充分条件；‎ C、充要条件；D、既不充分又不必要条件。‎ ‎8、集合。若“”是“”的充分条件，则实数的值可以为　　（　　）‎ A、；　　B、；　　C、；　　　D、。‎ 作业研究：‎ 1、 试用子集与推出关系说明是的什么条件：‎ ‎（1）；　　　　　‎ ‎（2）是偶数，是偶数。‎ ‎2、已知集合或，。‎ ‎。试判断是的什么条件，说明理由。‎ ‎3、设。若是的充分不必要条件，求实数的取值范围。‎ ‎4、设集合。。分别求满足下列条件的实数的取值范围。‎ ‎（1）；　　　　（2）是的充分条件。‎ 作业：《导学先锋》‎