专题19+平面向量的基本定理及其坐标表示（题型专练）-2019年高考数学（理）热点题型和提分秘籍 12页

‎1.已知向量a=(2，4)，b=(-1，1)，则‎2a-b=　(　　)‎ A.(5，7) B. (5，9) C.(3，7) D.(3，9)‎ ‎【答案】A ‎【解析】2a-b=2(2，4)-(-1，1)=(5，7).‎ ‎2.在△ABC中，已知A(2，1)，B(0，2)，=(1，-2)，则向量=　(　　)‎ A.(0，0) B.(2，2)‎ C.(-1，-1) D.(-3，-3)‎ ‎【答案】C ‎3.若向量a=(2，1)，b=(-2，3)，则以下向量中与向量‎2a+b共线的是　(　　)‎ A.(-5，2) B.(4，10) C.(10， 4) D.(1，2)‎ ‎【答案】B ‎【解析】因为向量a=(2，1)，b=(-2，3)，所以‎2a+b=(2，5).‎ 又(4，10)=2(2，5)=2(‎2a+b)，所以B项与‎2a+b共线.‎ ‎4.已知a=(1，1)，b=(-1，2)，c=(5，-1)，则c可用a与b表示为　(　　)‎ A.a+b B‎.2a+3b C‎.3a-2b D‎.2a-3b ‎【答案】C ‎【解析】因为a=(1，1)，b=(-1，2)，c=(5，-1)，‎ 所以a+b=(0，3)≠c，‎ ‎2a‎+3b=2(1，1)+3(-1，2)=(-1，8)≠c，‎ ‎3a‎-2b=3(1，1)-2(-1，2)=(5，-1)=c，2a-3b=2(1，1)-3(-1，2)=(5，-4)≠c.‎ 故选C.‎ ‎5.在△ABC中，点P在BC上，且=2，点Q是AC的中点，若=(4，3)，=(1，5)，则=　(　　)‎ A.(-2，7) B.(-6，21)‎ C.(2，-7) D.(6，-21)‎ ‎【答案】B ‎【解析】由条件知，=2-=2(1，5)-(4，3)=(-2，7)，‎ 因为=2=(-4，14)，所以=+=(-6，21).‎ ‎6.在△ABC中，已知a，b，c分别为∠A，∠B，∠C所对的边，S为△ABC的面积，若向量p=(4，a2+b2-c2)，q=(1，S)满足p∥q，则∠C=(　　)‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎7.在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且=3，点O在线段CD上(与点C，D不重合)，若=x+(1-x)，则x的取值范围是　(　　)‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】如图. ‎ 依题意，设=λ，其中1<λ<，‎ 则有=+=+λ ‎=+λ(-)=(1-λ)+λ.‎ 又=x+(1-x)，且不共线，于是有x=1-λ∈，即x的取值范围是.‎ ‎8.设e1，e2是平面内一组基向量，且a=e1+2e2，b=-e1+e2，若e1+e2=xa+yb，则x+2y=　(　　)‎ A. B.- C.1 D.0‎ ‎【答案】D ‎9．已知向量a＝(2,4)，b＝(－1,1)，c＝(2,3)，若a＋λb与c共线，则实数λ＝(　　)‎ A．　　　　　　 B．－ C． D．－ ‎【答案】B　‎ ‎【解析】由已知得a＋λb＝(2－λ，4＋λ)，因为向量a＋λb与c共线，设a＋λb＝mc，所以解得故选B. ‎ ‎10．已知a＝(1,1)，b＝(1，－1)，c＝(－1,2)，则c等于(　　) ‎ A．－a＋b B．a－b C．－a－b D．－a＋b ‎【答案】B　‎ ‎【解析】设c＝λa＋μb，∴(－1,2)＝λ(1,1)＋μ(1，－1)，‎ ‎∴ ‎∴∴c＝a－b. ‎ ‎11．已知点A(－1,5)和向量a＝(2,3)，若＝3a，则点B的坐标为(　　)‎ A．(7,4) B．(7,14)‎ C．(5,4) D．(5,14)‎ ‎【答案】D　‎ ‎12．已知向量a＝(1，－2)，b＝(x,3y－5)，且a∥b，若x，y均为正数，则xy的最大值是(　　)‎ A．2 B． C． D． ‎【答案】C　‎ ‎【解析】∵a∥b，∴(3y－5)×1＋2x＝0，即2x＋3y＝5.‎ ‎∵x＞0，y＞0，‎ ‎∴5＝2x＋3y≥2，∴xy≤，当且仅当3y＝2x时取等号． ‎ ‎13．向量a，b满足a＋b＝(－1,5)，a－b＝(5，－3)，则b为________．‎ ‎【答案】(－3,4)　‎ ‎【解析】由a＋b＝(－1,5)，a－b＝(5，－3)，得2b＝(－1,5)－(5，－3)＝(－6,8)，∴b＝(－6,8)＝(－3,4)． ‎ ‎14．已知向量a＝(3cos α，2)与向量b＝(3,4sin α)平行，则锐角α等于________. ‎ ‎【答案】　‎ ‎【解析】因为a＝(3cos α，2)，b＝(3,4sin α)，且a∥b，所以3cos α·4sin α－2×3＝0，解得sin 2α＝1.‎ 因为α∈，所以2α∈(0，π)，‎ 所以2α＝，即α＝. ‎ ‎15．如图423，已知▱ABCD的边BC，CD上的中点分别是M，N，且＝e1，＝e2，若＝xe2＋ye1(x，y∈R)，则x＋y＝________.‎ 图423‎ ‎【答案】　‎ ‎【解析】设＝a，＝b，则＝a，＝－b.‎ 由题意得解得 ‎∴＝e2－e1.‎ 故x＝，y＝－，‎ ‎∴x＋y＝. ‎ ‎16．已知点A(2,3)，B(4,5)，C(7,10)，若＝＋λ(λ∈R)，且点P在直线x－2y＝0上，则λ的值为(　　)‎ A． B．－ C． D．－ ‎【答案】B　‎ ‎【解析】设P(x，y)，则由＝＋λ，得(x－2，y－3)＝(2,2)＋λ(5,7)＝(2＋5λ，2＋7λ)，∴x＝5λ＋4，y＝7λ＋5.又点P在直线x－2y＝0上，故5λ＋4－2(7λ＋5)＝0，解得λ＝－.故选B. ‎ ‎17．在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且＝3，点O在线段CD上(与点C，D不重合)，若＝x＋(1－x)，则x的取值范围是(　　)‎ A． B． C． D． ‎【答案】D　‎ ‎【解析】法一：依题意，设＝λ，其中1＜λ＜，则有＝＋＝＋λ＝＋λ(－)＝(1－λ)＋λ.又＝x＋(1－x)·，且、不共线，于是有x＝1－λ∈，即x的取值范围是，选D.‎ 法二：∵＝x＋－x，∴－＝x(－)，即＝x＝－3x，∵O在线段CD(不含C、D两点)上，‎ ‎∴0＜－3x＜1，‎ ‎∴－＜x＜0. ‎ ‎18．已知向量＝(1，－3)，＝(2，－1)，＝(k＋1，k－2)，若A，B，C三点能构成三角形，则实数k 应满足的条件是________．‎ ‎【答案】k≠1　‎ ‎【解析】若点A，B，C能构成三角形，则向量，不共线．‎ ‎∵＝－＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)，‎ ＝－＝(k＋1，k－2)－(1，－3)＝(k，k＋1)，‎ ‎∴1×(k＋1)－2k≠0，解得k≠1. ‎ ‎19.已知A(7，1)、B(1，4)，直线y=ax与线段AB交于C，且=2，则实数a等于　　　　.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】设C(x，y)，则=(x-7，y-1)，‎ ‎=(1-x，4-y).‎ 因为=2，‎ 所以解得所以C(3，3).‎ 又C点在直线y=ax上，‎ 故3=a，得a=2.‎ ‎20.如图所示，A，B，C是☉O上的三点，线段CO的延长线与线段BA的延长线交于☉O外的一点D，若=m+n，则m+n的取值范围是　　　　　.‎ ‎【答案】(-1，0)‎ ‎21.已知向量a=(2，3)，b=(-1，2)，若ma+nb与a-2b共线，则=　　　.‎ ‎【答案】-‎ ‎【解析】ma+nb=(2m，3m)+(-n，2n)=(‎2m-n，3m+2n)，a-2b=(2，3)-(-2，4)=(4，-1).‎ 由于ma+nb与a-2b共线，则有=.‎ 所以n‎-2m=‎12m+8n，所以=-.‎ ‎22.设O是坐标原点，已知=(k，12)，=(10，k)，=(4，5)，若A，B，C三点共线，则实数k的值为　　　　　.‎ ‎【答案】11或-2‎ ‎【解析】由题意得=-=(k-4，7)，‎ ‎=-=(6，k-5)， ‎ 所以(k-4)(k-5)= 6×7，‎ k-4=7或k-4=-6，‎ 即k=11或k=-2. ‎ ‎23.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，且满足=+，则=　　　　.‎ ‎【答案】‎ ‎24.已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为(1，0)，(0，1)， (2，1)，则其第四个顶点的坐标为　　　　　.‎ ‎【答案】(3，0)或(1，2)或(-1，0)‎ ‎【解析】设A(1，0)，B(0，1)，C(2，1)，第四个顶点D(x，y)，‎ 由题意，该平行四边形四个顶点的顺序不确定，讨论如下:‎ ‎①若平行四边形为ABCD，则=.‎ 因为=(-1，1)，=(2-x，1-y)，‎ 所以解得即D(3，0);‎ ‎25.已知a=(1，0)，b=(2，1)，‎ ‎(1)当k为何值时，ka-b与a+2b共线.‎ ‎(2)若=‎2a+3b，=a+mb，且A，B，C三点共线，求m的值.‎ ‎【解析】(1)ka-b=k(1，0)-(2，1)=(k-2，-1)，‎ a+2b=(1，0)+2(2，1)=(5，2).‎ 因为ka-b与a+2b共线，‎ 所以2(k-2)-(-1)×5=0，‎ 即2k-4+5=0，得k=-.‎ ‎(2)因为A，B，C三点共线，所以∥.所以存在实数λ，使得‎2a+3b=λ(a+mb)=λa+λmb，‎ 又a与b不共线，‎ 所以解得m=.‎ ‎26.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知向量a=(2，1)，A(1，0)，B(cosθ，t)，‎ ‎(1)若t=-，θ∈(0，π)，a∥，求θ的值.‎ ‎(2)若a∥，求y=cos2θ-cosθ+t2的最小值. ‎ ‎27.已知三点A(a，0)，B(0，b)，C(2，2)，其中a>0，b>0.‎ ‎(1)若O是坐标原点，且四边形OACB是平行四边形，试求a，b的值.‎ ‎(2)若A，B，C三点共线，试求a+b的最小值.‎ ‎【解析】(1)因为四边形OACB是平行四边形，‎ 所以=，即(a，0)=(2，2-b)，‎ 解得故a=2，b=2.‎ ‎(2)因为=(-a，b)，=(2，2-b)，‎ 由A， B，C三点共线，得∥，‎ 所以-a(2-b)-2b=0，即2(a+b)=ab，‎ 因为a>0，b>0，‎ 所以2(a+b)=ab≤，‎ 即(a+b)2-8(a+b)≥0，【解析】来源: ‎ 解得a+b≥8或a+b≤0.‎ 因为a>0，b>0，‎ 所以a+b≥8，即a+b的最小值是8.‎ 当且仅当a=b=4时，“=”成立.‎ ‎28.已知点O(0，0)，A(1，2)，B(4，5)，且=+t(t∈R)，问:‎ ‎(1)t为何值时，点P在x轴上?点P在二、四象限角平分线上?‎ ‎(2)四边形OABP能否成为平行四边形?若能，求出相应的t值;若不能，请说明理由.‎ ‎29．如图424，在梯形ABCD中，AD∥BC，且AD＝BC，E，F分别为线段AD与BC的中点．设＝a，＝b，试用a，b为基底表示向量，，.‎ 图424‎ ‎【解析】解 　＝＋＋＝－b－a＋b＝b－a，‎ ＝＋＝－b＋＝b－a，‎ ＝＋＝－b－＝a－b.‎ ‎30．平面内给定三个向量a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)．‎ ‎(1)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；‎ ‎(2)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k.‎ ‎【解析】解 　(1)由题意得(3,2)＝m(－1,2)＋n(4,1)，‎ 所以解得 ‎(2)a＋kc＝(3＋4k,2＋k)，2b－a＝(－5,2)，‎ 由题意得2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0，解得k＝－.‎ ‎31．已知三点A(a,0)，B(0，b)，C(2,2)，其中a＞0，b＞0.‎ ‎(1)若O是坐标原点，且四边形OACB是平行四边形，试求a，b的值； ‎ ‎(2)若A，B，C三点共线，试求a＋b的最小值. ‎