高考数学【理科】真题分类详细解析版专题14 复数（解析版） 18页

专题14 复数 ‎ 【2013高考真题】‎ ‎（2013·新课标I理）2、若复数z满足 (3－4i)z＝|4＋3i |，则z的虚部为 ( )‎ A、－4 （B）－ （C）4 （D） ‎【答案】D；‎ ‎【解析】设，故，所以，解得.‎ 现，属容易题，主要考查复数的概念、几何意义与四则运算是等基础内容.‎ ‎（2013·浙江理）1.已知是虚数单位，则（ ）‎ A. ‎ B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】此题考查了复数的乘法运算，两个复数的乘法运算法则和多项式的乘法运算法则相同，乘开后合并同类项即可得出结果，注意这个条件，‎ 即原式，所以选B；‎ ‎【学科网考点定位】此题考查复数的乘法运算，考查这个知识点，属于简单题；‎ ‎（2013·天津理）9. 已知a, b∈R, i是虚数单位. 若(a + i)(1 + i) = bi, 则a + bi = .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由(a + i)(1 + i) = bi可得：，所以由复数相等的概念可知，‎ ‎，解得，所以a + bi =.‎ ‎【学科网考点定位】本小题主要考查复数的乘法、复数相等的概念等基础知识，复数是高考的一个重点内容，在高考中一般以一个小题形式出现，属容易题.‎ ‎（2013·上海理）2．设，是纯虚数，其中i是虚数单位，则 ‎（2013·陕西理）6. 设z1, z2是复数, 则下列命题中的假命题是 （ ）‎ ‎ (A) 若, 则 (B) 若, 则 ‎ (C) 若, 则 (D) 若, 则 ‎ ‎【答案】D ‎【解析】设.若，则，，所以，故A项正确；若，则，所以，故B项正确；若，则，所以，故C项正确；，在的条件下，不能保证，故D项错误. 本题求解的关键是将复数设成代数形式，要求考生对复数的核心知识熟练运用.‎ ‎【学科网考点定位】本题考查复数代数形式的减法、乘法运算及共轭复数、复数的模、复数相等等概念。属于中档题。‎ ‎（2013·山东理）1.若复数满足 (为虚数单位)，则的共轭复数为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】所以 ‎【学科网考点定位】复数除法运算中的分母实数化是必考点，而共轭复数既是运算的帮手，又是考查的目标.每年高考都将会对基本概念进行考查.‎ ‎（2013·辽宁理）（1）复数的模为 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（2013·江西理）1.设集合M={1，2，},i为虚数单位，N=｛3，4｝，M∩N=｛4｝，则复数z=（ ）‎ A. -2i B. 2i C. -4i D.4i ‎【答案】C ‎【解析】因为M∩N=｛4｝，所以选C.‎ ‎【学科网考点定位】此题主要考查集合的概念、复数的概念、集合的运算和复数的运算，考查分析问题、解决问题的能力.‎ ‎（2013·湖南理）1.复数在复平面上对应的点位于（ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎ ‎【答案】B；‎ ‎【解析】，故对应的点在第二象限.‎ ‎【学科网考点定位】本题考查复数的四则运算以及复数的几何意义，考查学生的基本运算能力.‎ ‎（2013·广东理）3．若复数满足,则在复平面内,对应的点的坐标是( )‎ A . B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】对应的点的坐标是,故选C．‎ ‎【学科网考点定位】复数运算和复数的几何意义.‎ ‎（2013·福建理）1.已知复数的共轭复数（为虚数单位），则在复平面内对应的点位于（ ）‎ ‎ A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ‎（2013·大纲理）2. =（ ）‎ A．-8 B．‎8 ‎‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】.故选A.‎ ‎【学科网考点定位】复数运算 ‎（2013·北京理）2.在复平面内，复数(2－i)2对应的点位于( )‎ A.第一象限 B. 第二象限 C.第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】D ‎【解析】因为，在复平面内对应的点的坐标是,在第四象限.‎ ‎【学科网考点定位】本小题考查了复平面、复数的运算和复数的几何意义.‎ ‎（2013·安徽理）（1）设是虚数单位，是复数的共轭复数，若，则=（ ）‎ ‎ （A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】A ‎【解析】令，‎ ‎ 由即 ‎【学科网考点定位】考查复数的运算，共轭复数的概念，以及复数相等问题.‎ ‎（2013·大纲理）3.已知向量，，若，则=（ ）‎ A．-4 B．‎-3 ‎‎ C．-2 D．-1‎ ‎【答案】B ‎【解析】由.故选B.‎ ‎【学科网考点定位】向量的坐标运算 ‎【2012高考真题】‎ ‎（2012·重庆卷）若(1＋i)(2＋i)＝a＋bi，其中a，b∈R，i为虚数单位，则a＋b＝________.‎ ‎【答案】4　【解析】 因为(1＋i)(2＋i)＝1＋3i，则根据复数相等得a＝1，b＝3，所以a＋b＝4.‎ ‎（2012·浙江卷）已知i是虚数单位，则＝(　　)‎ A．1－2i B．2－i C．2＋i D．1＋2i ‎【答案】D　【解析】 本题主要考查复数的四则运算，检测学生对基础知识的掌握情况．‎ ＝＝＝1＋2i，故应选D.‎ ‎（2012·天津卷）i是虚数单位，复数＝(　　)‎ A．2＋i B．2－i C．－2＋i D．－2－i ‎【答案】B　【解析】 本题考查复数的运算，考查运算求解能力，容易题．‎ ＝＝＝2－i.‎ ‎（2012·四川卷）复数＝(　　)‎ A．1 B．－1‎ C．i D．－i ‎【答案】B　【解析】 考查复数的概念和一元二次方程中根与系数的关系(即韦达定理)，可利用方程的两根是共轭复数解题．‎ 由韦达定理可知：－b＝(1＋i)＋(1－i)＝2，∴b＝－2，c＝(1＋i)(1－i)＝1＋2＝3，∴c＝3，所以选B.‎ 此题还可以直接把复数根1＋i代入方程中，利用复数相等求解．‎ ‎（2012·上海卷）计算：＝________(i为虚数单位)．‎ ‎【答案】1－2i　【解析】 考查复数的除法运算，是基础题，复数的除法运算实质就是分母实数化运算．‎ 原式＝＝1－2i.‎ ‎（2012·山东卷）若复数z满足z(2－i)＝11＋7i(i为虚数单位)，则z为(　　)‎ A．3＋5i B．3－5i C．－3＋5i D．－3－5i ‎【答案】A　【解析】 本题考查复数的概念及运算，考查运算能力，容易题．‎ 设z＝a＋bi，由题意得＝＋i＝11＋7i，即 解之得 ‎（2012·辽宁卷）复数＝(　　)‎ A.－i B.＋i C．1－i D．1＋i ‎【答案】A　【解析】 本小题主要考查复数的除法运算．解题的突破口为分子分母同乘以分母的共轭复数．‎ 因为＝＝＝－i，所以答案为A.‎ ‎（2012·课标全国卷）下面是关于复数z＝的四个命题：‎ p1：|z|＝2，p2：z2＝2i，p3：z的共轭复数为1＋i，p4：z的虚部为－1，其中的真命题为 ‎(　　)‎ A．p2，p3 B．p1，p‎2 C．p2，p4 D．p3，p4‎ ‎【答案】C　【解析】 因为z＝＝＝－1－i，所以z的虚部是－1，＝－1＋i，＝，z2＝2＝2i.故p2，p4是真命题， p1，p3是假命题，故选C.‎ ‎（2012·江苏卷）设a，b∈R，a＋bi＝(i为虚数单位)，则a＋b的值为________．‎ ‎【答案】8　【解析】 本题考查复数的四则运算．解题突破口为将所给等式右边的分子、分母同时乘以分母的共轭复数即可．‎ ‎2＋6＋13＝9－12i－4－18＋12i＋13＝0.故选A.‎ ‎（2012·广东卷）设i为虚数单位，则复数＝(　　)‎ A．6＋5i B．6－5i C．－6＋5i D．－6－5i ‎【答案】D　【解析】 因为＝＝＝－6－5i，所以选择D.‎ ‎（2012·福建卷）若复数z满足zi＝1－i，则z等于(　　)‎ A．－1－i B．1－i C．－1＋i D．1＋i ‎【答案】A　【解析】 根据已知条件：z＝＝＝－1－i.所以选择A.‎ ‎（2012·全国卷）复数＝(　　)‎ A．2＋i B．2－i C．1＋2i D．1－2i ‎【答案】C　【解析】 本小题主要考查复数的乘除法运算．解题的突破口为复数除法中的分母实数化．‎ 由＝＝＝1＋2i，故选C.‎ ‎（2012·安徽卷）复数z满足(z－i)(2－i)＝5，则z＝(　　)‎ A．－2－2i B．－2＋2i C．2－2i D．2＋2i ‎【答案】D　【解析】 本题考查复数的简单运算．‎ 由＝5，得z－i＝，所以z＝i＋＝2＋2i.‎ ‎（2012·陕西卷）设a，b∈R，i是虚数单位，则“ab＝‎0”‎是“复数a＋为纯虚数”的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】B　【解析】 本小题主要考查充要条件的概念以及复数的相关知识，解题的突 ‎（2012·北京卷）设a，b∈R，“a＝‎0”‎是“复数a＋bi是纯虚数”的(　　)‎ A．充分而不必要条件 ‎ B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 ‎ D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】B　【解析】 ∵若a＝0，则复数a＋bi是实数(b＝0)或纯虚数(b≠0)．‎ 若复数a＋bi是纯虚数则a＝0.综上，a，b∈R，“a＝‎0”‎是“复数a＋bi是纯虚数”的必要而不充分条件．‎ ‎【2011高考真题】‎ ‎（2011·安徽卷）设i是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a为(　　)‎ A．2 B．－2‎ C．－ D. ‎（2011·安徽卷）设i是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a为(　　)‎ A．2 B．－2 C．－ D. ‎【答案】A　【解析】 法一：＝＝为纯虚数，所以 解得a＝2.‎ 法二：＝为纯虚数，所以a＝2.答案为A.‎ ‎（2011·北京卷）复数＝(　　)‎ A．i B．－i C．－－i D．－＋i ‎【答案】A　【解析】 ＝＝＝i，故选A.‎ ‎（2011·北京卷）复数＝(　　)‎ A．i B．－i C．－－i D．－＋i ‎【答案】A　【解析】 ＝＝＝i，故选A.‎ ‎（2011·全国卷）复数z＝1＋i，为z的共轭复数，则z－z－1＝(　　)‎ A．－2i B．－i C．i D．2i ‎【答案】B　【解析】 ∵＝1－i，∴z－z－1＝(1＋i)(1－i)－(1＋i)－1＝－i，故选B.‎ ‎（2011·福建卷）i是虚数单位，1＋i3等于(　　)‎ A．i B．－i C．1＋i D．1－i ‎（2011·广东卷）设复数z满足iz＝1，其中i为虚数单位，则z＝(　　)‎ A．－i B．i C．－1 D．1‎ ‎【答案】A　【解析】 由iz＝1得z＝＝＝－i，所以选A.‎ ‎（2011·湖北卷）i为虚数单位，则2011＝(　　)‎ A．－i B．－1 C．i D．1‎ ‎【答案】A　【解析】 因为＝＝i，所以2011＝i502×4＋3＝i3＝－i.‎ ‎（2011·湖南卷）若a，b∈R，i为虚数单位，且(a＋i)i＝b＋i，则(　　)‎ A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1‎ C．a＝－1，b＝－1 D．a＝1，b＝－1‎ ‎【答案】D　【解析】 由(a＋i)i＝b＋i得－1＋ai＝b＋i，根据复数相等的充要条件，得a＝1，b＝－1，故选D.‎ ‎（2011·湖南卷）若a，b∈R，i为虚数单位，且(a＋i)i＝b＋i，则(　　)‎ A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1‎ C．a＝1，b＝－1 D．a＝－1，b＝－1‎ ‎【答案】C　【解析】 由(a＋i)i＝b＋i得－1＋ai＝b＋i，根据复数的相等，a＝1，b＝－1，故选C.‎ ‎（2011·江西卷）若z＝，则复数＝(　　)‎ A．－2－i B．－2＋i C．2－i D．2＋i ‎【答案】D　【解析】 z＝＝＝－(i－2)＝2－i，故＝2＋i.故选D.‎ ‎（2011·江西卷）若(x－i)i＝y＋2i，x，y∈R，则复数x＋yi＝(　　)‎ A．－2＋i B．2＋i C．1－2i D．1＋2i ‎（2011·课标全国卷）复数的共轭复数是(　　)‎ A．－i B.i C．－i D．i ‎【答案】C　【解析】 ＝＝＝i，所以其共轭复数为－i.故选C.‎ ‎（2011·辽宁卷）i为虚数单位，＋＋＋＝(　　)‎ A．0 B．2i C．－2i D．4i ‎【答案】A　【解析】 ＋＋＋＝－i＋i－i＋i＝0，故选A.‎ ‎（2011·课标全国卷）复数＝(　　)‎ A．2－i B．1－2i C．－2＋i D．－1＋2i ‎【答案】C　【解析】 ＝＝＝－2＋i.‎ ‎（2011·山东卷）复数z＝(i为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为(　　)‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎【答案】D　【解析】 z＝＝＝＝－i，又点在第四象限，所以该复数在复平面内对应的点也在第四象限．‎ ‎（2011·山东卷）复数z＝(i为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为(　　)‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎【答案】D　【解析】 z＝＝＝＝－i，又点在第四象限，所以该复数在复平面内对应的点也在第四象限．‎ ‎（2011·陕西卷）设集合M＝{y|y＝|cos2x－sin2x|，x∈R}，N＝，则M∩N为(　　)‎ A．(0,1) B．(0,1] C．[0,1) D．[0,1]‎ ‎【答案】C　【解析】 对M，由基本不等式得y＝|cos2x－sin2x|＝|cos2x|，故0≤y≤1.对N，<1，即|－xi|<1，所以－1