2021高考数学一轮复习课后限时集训40综合法与分析法反证法文北师大版2 5页

课后限时集训40‎ 综合法与分析法、反证法 建议用时：45分钟 一、选择题 ‎1．用反证法证明某命题时，对结论“自然数a，b，c中恰有一个偶数”正确的反设是(　　)‎ A．自然数a，b，c中至少有两个偶数 B．自然数a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数 C．自然数a，b，c都是奇数 D．自然数a，b，c都是偶数 B　[“恰有一个”否定是“至少有两个或一个也没有”，故选B.]‎ ‎2．已知m＞1，a＝－，b＝－，则以下结论正确的是(　　)‎ A．a＞b　　 B．a＜b C．a＝b D．a，b大小不定 B　[∵a＝－＝，‎ b＝－＝.‎ 而＋＞＋＞0(m＞1)，‎ ‎∴＜，‎ 即a＜b.]‎ ‎3．已知a，b，c∈(0，＋∞)，则下列三个数a＋，b＋，c＋(　　)‎ A．都大于6 B．至少有一个不大于6‎ C．都小于6 D．至少有一个不小于6‎ D　[由a，b，c∈(0，＋∞)知 ＋＋＝＋＋≥18(当且仅当a＝4，b＝2，c＝3时，等号成立)，‎ 因此三个数中至少有一个不小于6，故选D.]‎ ‎4．分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证0 B．a－c>0‎ C．(a－b)(a－c)>0 D．(a－b)(a－c)<0‎ - 5 -‎ C　[由题意知0‎ ‎⇐(a－c)(2a＋c)>0⇐(a－c)(a－b)>0.]‎ ‎5．已知函数f(x)＝，a，b是正实数，A＝f，B＝f()，C＝f，则A，B，C的大小关系为(　　)‎ A．A≤B≤C B．A≤C≤B C．B≤C≤A D．C≤B≤A A　[因为函数f(x)＝在R上是减函数，‎ 且≥≥，‎ 所以f≤f()≤f，‎ 即A≤B≤C，故选A.]‎ 二、填空题 ‎6．用反证法证明“若x2－1＝0，则x＝－1或x＝1”时，应假设________．‎ x≠－1且x≠1　[“x＝－1或x＝1”的否定是“x≠－1且x≠1”．]‎ ‎7．下列条件：①ab>0，②ab<0，③a>0，b>0，④a<0，b<0，其中能使＋≥2成立的条件的个数是__________．‎ ‎3　[要使＋≥2，只要>0，且>0，即a，b不为0且同号即可，故有3个．]‎ ‎8．在甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖．有人走访了四位歌手，甲说：“乙或丙获奖”；乙说：“甲、丙都未获奖”；丙说：“丁获奖”；丁说：“丙说的不对”．若四位歌手中只有一个人说的是真话，则获奖的歌手是________．‎ 甲　[假设甲获奖，则甲、乙、丙都说了假话，丁说了真话，满足题意，故获奖的歌手是甲．]‎ 三、解答题 ‎9．已知a≥b>0，求证：2a3－b3≥2ab2－a2b.‎ ‎[证明]　要证明2a3－b3≥2ab2－a2b成立，‎ 只需证：2a3－b3－2ab2＋a2b≥0，‎ - 5 -‎ 即2a(a2－b2)＋b(a2－b2)≥0，‎ 即(a＋b)(a－b)(2a＋b)≥0.‎ ‎∵a≥b>0，∴a－b≥0，a＋b>0,2a＋b>0，‎ 从而(a＋b)(a－b)(2a＋b)≥0成立，‎ ‎∴2a3－b3≥2ab2－a2b.‎ ‎10．已知x∈R，a＝x2＋，b＝2－x，c＝x2－x＋1，试证明a，b，c至少有一个不小于1.‎ ‎[证明]　假设a，b，c均小于1，即a＜1，b＜1，c＜1，‎ 则有a＋b＋c＜3，而a＋b＋c＝＋(2－x)＋(x2－x＋1)＝2x2－2x＋＝2＋3≥3.‎ 这与a＋b＋c＜3矛盾，假设不成立，‎ 故a，b，c至少有一个不小于1.‎ ‎1．设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，若x1＋x2>0，则f(x1)＋f(x2)的值(　　)‎ A．恒为负值　　 B．恒等于零 C．恒为正值 D．无法确定正负 A　[由题意知f(x)在R上单调递减，‎ 由x1＋x2＞0得x1＞－x2，则f(x1)＜f(－x2)，‎ 即f(x1)＜－f(x2)，所以f(x1)＋f(x2)＜0，故选A.]‎ ‎2．(2019·武汉模拟)在一次连环交通事故中，只有一个人需要负主要责任，但在警察询问时，甲说：“主要责任在乙”；乙说：“丙应负主要责任”；丙说“甲说的对”；丁说：“反正我没有责任”，四人中只有一个人说的是真话，则该事故中需要负主要责任的人是(　　)‎ A．甲　　　B．乙 C．丙　　　D．丁 A　[①假定甲说的是真话，则丙说“甲说的对”也是真话，这与四人中只有一个人说的是真话矛盾，所以假设不成立，故甲说的是假话；‎ ‎②假定乙说的是真话，则丁说“反正我没有责任”也为真话，这与四人中只有一个人说的是真话矛盾，所以假设不成立，故乙说的是假话；‎ ‎③假定丙说的是真话，由①知甲说的也是真话，这与四人中只有一个人说的是真话矛盾，所以假设不成立，故丙说的是假话；‎ 综上可得，丁说的真话，甲乙丙三人说的均为假话，即乙丙丁没有责任，所以甲负主要责任，故选A.]‎ - 5 -‎ ‎3．若二次函数f(x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1，在区间[－1,1]内至少存在一点c，使f(c)＞0，则实数p的取值范围是________．‎ 　[若二次函数f(x)≤0在区间[－1,1]内恒成立，则 解得p≤－3或p≥，‎ 故满足题干要求的p的取值范围为.]‎ ‎4．等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1＋，S3＝9＋3.‎ ‎(1)求数列{an}的通项an与前n项和Sn；‎ ‎(2)设bn＝(n∈N*)，求证：数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．‎ ‎[解](1)由已知得所以d＝2，故an＝2n－1＋，Sn＝n(n＋)．‎ ‎(2)证明：由(1)得bn＝＝n＋.假设数列{bn}中存在三项bp，bq，br(p，q，r互不相等)成等比数列，则b＝bpbr，即(q＋)2＝(p＋)(r＋)，所以(q2－pr)＋(2q－p－r)＝0.‎ 因为p，q，r∈N*，所以 所以＝pr，即(p－r)2＝0，‎ 所以p＝r，这与p≠r矛盾，所以数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．‎ ‎1．《九章算术》卷5《商功》记载一个问题“今有圆堡瑽，周四丈八尺，高一丈一尺．问积几何？答曰：二千一百一十二尺．术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一”．这里所说的圆堡瑽就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高乘之，十二而一”．就是说：圆堡瑽(圆柱体)的体积为V＝×(底面圆的周长的平方×高)，则由此可推得圆周率π的取值为(　　)‎ A．3 B．3.1‎ C．3.14 D．3.2‎ A　[设圆柱体的底面半径为r，高为h，由圆堡瑽(圆柱体)的体积V＝×(底面圆的周长的平方×高)得到×(2πr)2×h＝πr2h，解得π＝3，故选A.]‎ ‎2．(2019·荆门模拟)在△ABC中，内角A，B，C有关系＋＋≥；在四边形ABCD中，内角A，B，C，D有关系＋＋＋≥；在五边形ABCDE中，内角A，B，C，D，E有关系＋＋＋‎ - 5 -‎ eq f(1,D)＋≥；……‎ ‎(1)猜想在n边形A1A2A3…An中内角A1，A2，A3，…，An有怎样的关系(不需证明)；‎ ‎(2)用你学过的知识，证明△ABC中的关系：＋＋≥，并指出等号成立的条件．‎ ‎[解](1)在△ABC中，内角A，B，C有关系＋＋≥＝；‎ 在四边形ABCD中，内角A，B，C，D有关系＋＋＋≥＝；‎ 在五边形ABCDE中，内角A，B，C，D，E有关系＋＋＋＋≥＝，观察规律：＋＋…＋≥.‎ ‎(2)证明：∵在△ABC中，A＋B＋C＝π，‎ ‎∴(A＋B＋C)＝3＋＋＋ ‎≥3＋2＋2＋2＝3＋2×3＝9‎ ‎∴＋＋≥，当且仅当A＝B＝C＝时，等号成立．‎ - 5 -‎