【数学】2018届一轮复习人教A版（文）专题06平面向量的坐标运算学案 9页

专题六 平面向量的坐标运算 ‎【平面向量基本定理及坐标表示】‎ ‎【平面向量的基本定理】‎ 如果是同一平面内的两个不共线的向量，那么对这一平面内的任一向量存在唯一的一对有序实数使成立，不共线向量表示这一平面内所有向量的一组基底。‎ ‎【平面向量的坐标运算】‎ 在平面内建立直角坐标系，以与x轴、y轴方向相同的两个单位向量为基底，则平面内的任一向量可表示为，称（x，y）为向量的坐标，=（x，y）叫做向量的坐标表示。‎ ‎【基底在向量中的应用】‎ ‎(l)用基底表示出相关向量来解决向量问题是常用的方法之一． (2)在平面中选择基底主要有以下几个特点：①不共线；②有公共起点；③其长度及两两夹角已知．(3)用基底表示向量，就是利用向量的加法和减法对有关向量进行分解。‎ ‎【用已知向量表示未知向量】‎ 用已知向量表示未知向量，一定要结合图像，可从以下角度如手： （1）要用基向量意识，把有关向量尽量统一到基向量上来； （2）把要表示的向量标在封闭的图形中，表示为其它向量的和或差的形式，进而寻找这些向量与基向量的关系； （3）用基向量表示一个向量时，如果此向量的起点是从基底的公共点出发的，一般考虑用加法，否则用减法，如果此向量与一个易求向量共线，可用数乘。‎ ‎【平面向量平行和垂直的判定方法】‎ 假设向量a//向量b，a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则有a=λb，(x1,y1)=(λx2,λy2)，即x1/x2=y1/y2=λ ‎，变形得x1y2-x2y1=0。 证明垂直，假设向量a⊥向量b,a=(x1,y1),b=(x2,y2)，∴向量a·向量b=0，∴x1x2+y1y2=0。‎ ‎【2017年高考全国Ⅰ卷，文13】‎ 已知向量a=（–1，2），b=（m，1）．若向量a+b与a垂直，则m=________．‎ ‎【答案】7‎ ‎【考点】平面向量的坐标运算，垂直向量 ‎【点拨】如果a＝ (x1，y1)，b＝(x2，y2)(b≠0)，则ab的充要条件是x1x2+y1y2＝0．‎ 答题思路 ‎【命题意图】考查平面向量的概念、平面向量的表示及平面向量的数量积等，考查运算求解能力，考查数形结合思想、等价转换思想在解题中的应用.‎ ‎【命题规律】平面向量既有“数”的特征又有“形”的特征，是“数”与“形”的完美结合.高考中对向量知识的考查主要是以两种形式出现：一是考查坐标表示及其运算；二是工具平面向量的共线或垂直，确定参数的值；三是以向量为载体，作为工具与三角函数、三角形、数列、解析几何、不等式等结合，解题时直接运用向量有关知识列出表达式，再依据相关知识及运用相关方法加以解决．从近几年命题来看，多以选择题、填空题的形式，考查平面向量的坐标表示、向量的垂直等概念，考查加法、减法、数乘和数量积等基本运算，难度较小，2016年、2017年固定在13题的位置，且题目极其相似. ‎ ‎【答题模板】‎ 向量的坐标表示下，确定参数值：‎ 第一步：利用向量垂直或平行的条件构造方程；‎ 第二步：解方程求得参数值.‎ ‎【方法总结】‎ ‎1.研究平面向量的数量积，一般有两个思路，一是建立直角坐标系，利用坐标加以研究；二是利用一组基底表示所有向量，两种实质相同，坐标法更易理解和化简. 平面向量的坐标运算的引入为向量提供了新的语言——“坐标语言”，实质是“形”化为“数”．向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来．‎ ‎2.由向量数量积的定义(为，的夹角)可知，数量积的值、模的乘积、夹角知二可求一，再考虑到数量积还可以用坐标表示，因此又可以借助坐标进行运算.当然，无论怎样变化，其本质都是对数量积定义的考查.‎ ‎3.平面向量与的数量积为，其中是与的夹角，要注意夹角的定义和它的取值范围：；由向量的数量积的性质有，，，因此，利用平面向量的数量积可以解决与长度、角度、垂直等有关的问题．‎ ‎1．【2017年高考浙江卷10】如图，已知平面四边形ABCD，AB⊥BC，AB＝BC＝AD＝2，CD＝3，AC与BD交于点O，记，，，则 A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【考点】 平面向量数量积运算 ‎【点拨】平面向量的计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何Ziyuanku.com图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用． 利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决．列出方程组求解未知数．本题通过所给条件结合数量积运算，易得，由AB＝BC＝AD＝2，CD＝3，可求，，进而解得．‎ ‎2. 【2017年高考山东卷，文11】已知向量a=（2,6）,b= ,若a||b,则 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由a||b可得 ‎ ‎【考点】向量共线与向量的坐标运算 ‎【点拨】平面向量共线的坐标表示问题的常见类型及解题策略 ‎(1)利用两向量共线求参数．如果已知两向量共线,求某些参数的取值时,利用“若a＝(x1,y1),b＝(x2,y2),则a∥b的充要条件是x1y2＝x2y1”解题比较方便．‎ ‎(2)利用两向量共线的条件求向量坐标．一般地,在求与一个已知向量a共线的向量时,可设所求向量为λa(λ∈R),然后结合其他条件列出关于λ的方程,求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量．‎ ‎(3)三点共线问题．A,B,C三点共线等价于与共线.‎ ‎3.【2017年高考天津卷，文14】在△ABC中，，AB=3，AC=2.若，（），且，则的值为 .‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】‎ 试题分析： ,则 ‎.‎ ‎【考点】1.平面向量基本定理；2.向量数量积.‎ ‎【点拨】平面向量问题中，向量的线性运算和数量积是高频考点，当出现线性运算问题时，向要选好基底向量，如本题就要灵活使用向量，要注意结合图形的性质，灵活运用向量的运算解决问题，当涉及到向量数量积时，要记熟向量数量积的公式、坐标公式、几何意义等.‎ ‎4．【2017陕西汉中二模】已知向量，则下列结论正确的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎5.【2017福建三明5月质检】已知向量，若与共线，则的值等于（　）‎ A. -3 B. 1 C. 2 D. 1或2‎ ‎【答案】A ‎【解析】 ,又 与 共线， ，故选A.‎ ‎6．【2017重庆二诊】已知向量， ，若，则（ ）‎ A. B. C. 2 D. 4‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意知， ，则，故选C.‎ ‎7.【2017北京西城区5月模拟】设向量，，则与垂直的向量可以是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】因为向量， ，所以 ，可得 ，所以向量与垂直，故选A.‎ ‎8.【2017广西5月考前联考】若向量与向量方向相反，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】若向量与向量方向相反可得： 因为方向相反所以x=-4‎ ‎9.【2017河北唐山三模】已知向量， ，若，则__________．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】，所以，解得.‎ ‎10.【2017江西九江三模】已知向量，若向量 与 的夹角为，且，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎11.【2017福建漳州5月质检】设向量，且，则__________．‎ ‎【答案】-‎ ‎【解析】由向量平行的充要条件可得关于实数的方程： ，解得： .‎ ‎9．【2017湖南长沙二模】已知向量， ，若，则的最小值为__________．‎ ‎【答案】9‎ ‎【解析】由题意, 即,所以等号成立当且仅当,即，故的最小值为9.‎ ‎10．【2017宁夏中卫二模】已知向量， ， ，若，则向量在向量方向上的投影为__________．‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】因为向量， ， ，所以得 ‎，解得，所以， ， ，向量在向量方向上的投影为,故答案为4.‎ ‎12.【2016年高考全国Ⅰ卷，文13】设向量a=(x，x+1)，b=(1，2)，且a b，则x= .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由题意， ‎ ‎【考点】向量的数量积及坐标运算 ‎【点拨】全国卷中向量大多以客观题的形式出现,属于基础题.解决此类问题既要准确记忆公式,又要注意运算的准确性.本题所用到的主要公式是：若,则.‎ ‎13. 【2016年高考全国Ⅱ卷，文13】已知向量a=(m,4)，b=(3,−2)，且a∥b，则m=___________. ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：因为a∥b，所以，解得．‎ ‎【考点】平面向量的坐标运算 ，平行向量 ‎【点拨】如果a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(b≠0)，则a∥b的充要条件是x1y2－x2y1＝0.‎ ‎14.【2016年高考山东卷，文13】已知向量a=(1,1)，b=(6,4)．若a⊥(ta+b)，则实数t的值为________．‎ ‎【答案】 ‎ ‎【考点】平面向量的数量积 ‎【点拨】本题主要考查平面向量的数量积、平面向量的坐标运算.解答本题，关键在于能从a⊥(ta+b)出发，转化成为平面向量的数量积的计算.本题能较好地考查考生的基本运算能力及转化与化归思想的应用等.‎