【推荐】专题3-2+一元二次不等式及其解法-试题君之课时同步君2017-2018学年高二数学人教版（必修5）x 9页

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．若关于的不等式的解集不是空集，则实数的取值范围是 A．[2，＋∞) B．(－∞，－6]‎ C．[－6，2] D．(－∞，－6]∪[2，＋∞)‎ ‎【答案】D ‎【解析】由已知得方程x2－ax－a＋3＝0有实数根，即Δ＝a2＋4(a－3)≥0，故a≥2或a≤－6．故实数的取值范围是(－∞，－6]∪[2，＋∞)，故选D．‎ ‎2．若关于的不等式在区间内有解，则实数的取值范围是 A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎ ‎ ‎3．若关于x的方程x2＋(a2－1)x＋a－2＝0的一根比1小、另一根比1大，则a的取值范围为 A．(－1，1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)‎ C．(－2，1) D．(－∞，－2]∪[1，＋∞)‎ ‎【答案】C ‎【解析】令f(x)＝x2＋(a2－1)x＋a－2，依题意得f(1)＜0，即1＋a2－1＋a－2＜0，‎ 即a2＋a－2＜0，解得－2＜a＜1，故选C．‎ ‎4．若不等式组的解满足2x2－9x＋a＜0，则 A．a＞9 B．a＝9‎ C．a≤9 D．0＜a≤9‎ ‎【答案】C ‎ ‎ ‎5．若不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为(－∞，－1)∪(3，＋∞)，令f(x)＝ax2＋bx＋c，则 A．f(4)＞f(0)＞f(1) B．f(4)＞f(1)＞f(0) ‎ C．f(0)＞f(1)＞f(4) D．f(0)＞f(4)＞f(1)‎ ‎【答案】A ‎【解析】因为ax2＋bx＋c＞0的解集为(－∞，－1)∪(3，＋∞)，所以a＞0且函数f(x)＝ax2＋bx＋c图象的对称轴为．如图，画出函数f(x)＝ax2＋bx＋c的草图，由图可知f(4)＞f(0)＞f(1)．故选A．‎ ‎6．设集合P＝{m|－1＜m＜0}，Q＝{mR|mx2＋4mx－4＜0对任意实数x恒成立}，则下列说法正确的是 A．P是Q 的真子集 B．Q是P的真子集 C．P＝Q D．P∩Q＝‎ ‎【答案】A ‎【解析】当m＝0时，－4＜0对任意实数x恒成立；‎ 当m≠0时，由mx2＋4mx－4＜0对任意实数x恒成立可得，‎ 解得－1＜m＜0．综上所述，Q＝{m|－1＜m≤0}，所以PQ，故选A．‎ ‎7．若不等式f(x)＝ax2－x－c＞0的解集是{x｜－2＜x＜1}，则函数y＝f(－x)的大致图象是 ‎【答案】B ‎【解析】因为不等式f(x)＝ax2－x－c＞0的解集是{x｜－2＜x＜1}，‎ 所以a＜0且－2，1是方程ax2－x－c＝0的两个根，所以，，‎ 解得a＝－1，c＝－2，所以f(x)＝－x2－x＋2，f(－x)＝－x2＋x＋2，‎ 令f(－x)＝0，则－x2＋x＋2＝0，解得x1＝－1，x2＝2，故选B．‎ ‎8．在R上定义运算：xy＝x(1－y)，若不等式(x－a)(x＋a)＜1对任意实数x均成立，则实数a的取值范围为 A．(－1，1) B．(0，2)‎ C．(，) D．(，)‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意可得(x－a)(x＋a)＝(x－a)[1－(x＋a)]＜1，即x2－x－a2＋a＋1＞0恒成立，所以Δ＝1－4(－a2＋a＋1)＜0，即4a2－4a－3＜0，解得＜a＜，故选C．‎ ‎9．已知函数，，若不等式的解集为，若对任意的，存在，使成立，则实数m的取值范围是 A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【名师点睛】解此题需要注意以下几点：①由不等式的解集求二次函数解析式要巧妙利用“端点值为零点”，结合根与系数的关系求二次函数中的参数；②要能够正确理解题意，题中对任意的，存在，使成立，是指对任意的，总能找到一个，使成立，而并非对任意的，都有．‎ 二、填空题：请将答案填在题中横线上．‎ ‎10．将进货单价为80元的商品按90元一个出售时，能卖出400个，每涨价1元，其销售量就减少20个，为使利润不低于2500元，则售价应不高于_______________元．‎ ‎【答案】105‎ ‎【解析】设每个商品涨价x元，利润为y元，则y＝(x＋10)(400－20x)＝－20x2＋200x＋4000(0＜x＜20，xN*)．令－20x2＋200x＋4 000≥2500，即x2－10x－75≤0，解得－5≤x≤15，所以每个商品最多涨价15元能使利润不低于2500元，即售价应不高于105元．‎ ‎11．（1）若函数f(x)＝(x2－2ax－a)的定义域为R，则实数a的取值范围为_______________；‎ ‎（2）对任意a[－1，1]，函数f(x)＝－x2＋(4－a)x＋2a－4的函数值恒小于零，则实数x的取值范围为_______________．‎ ‎【答案】（1）(－1，0) ；（2）(－∞，1)∪(3，＋∞) ．‎ ‎ ‎ ‎12．某厂去年生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销量为1000辆．今年为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本，若每辆摩托车投入成本增加的比例为x(0＜x＜1），则出厂价相应提高的比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x，则 ‎（1）今年的利润y与投入成本增加的比例x的关系式为_______________；‎ ‎（2）为使今年的利润高于去年的利润，x的取值范围为_______________．‎ ‎【答案】（1）y＝－60x2＋20x＋200(0＜x＜1)；（2）(，) ．‎ ‎【解析】（1）由题意，得y＝[1.2×(1＋0.75x)－1×(1＋x)]×1000(1＋0.6x)(0＜x＜1)，‎ 整理得y＝－60x2＋20x＋200(0＜x＜1)．‎ ‎（2）要保证今年的利润高于去年的利润，则，即，‎ 解得．故投入成本增加的比例x的取值范围为(，)．‎ ‎13．对于函数y=f(x)‎，如果存在区间‎[m，n]‎，同时满足下列条件：‎ ‎①y=f(x)‎在‎[m，n]‎内是单调的；②当定义域是‎[m，n]‎时，f(x)‎的值域也是‎[m，n]‎．‎ 则称‎[m，n]‎是该函数的“和谐区间”．若函数f(x)=a+1‎a-‎1‎x(a>0)‎存在“和谐区间”，则实数a的取值范围为_______________．‎ ‎【答案】‎ ‎【名师点睛】本题考查一元二次方程的有解问题、新定义问题，属于难题．新定义题型的特点是：通过给出一个新概念、或约定一种新运算、或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现知识的迁移，达到灵活解题的目的．遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决．本题是在正确理解“和谐区间”这一新定义基础上，将问题转化为一元二次方程有解问题进行求解的．‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎14．已知不等式‎(1-a)x‎2‎-4x+6＞0‎的解集为‎{x|-3＜x＜1}‎．‎ ‎（1）求实数a的值；‎ ‎（2）若不等式ax‎2‎+mx+3≥0‎的解集为R，求实数m的取值范围．‎ ‎【答案】（1）a=3‎；（2）‎(-6，6)‎．‎ ‎【思路分析】（1）由不等式的解集与方程根的关系可得方程‎(1-a)x‎2‎-4x+6=0‎的两根为‎-3‎，‎1‎．由根与系数关系可得a=3‎；（2）由二次函数图象将不等式恒成立的条件转化为判别式恒非正，解不等式可得实数m的取值范围．‎ ‎【解析】（1）因为不等式‎(1-a)x‎2‎-4x+6＞0‎的解集为‎{x|-3＜x＜1}‎，‎ 所以‎1-a＜0‎，且方程‎(1-a)x‎2‎-4x+6=0‎的两根为‎-3‎，‎1‎．‎ 所以‎4‎‎1-a‎=-3+1‎‎6‎‎1-a‎=-3‎，解得a=3‎．‎ ‎（2）由（1）知不等式‎3x‎2‎+mx+3≥0‎的解集为R，‎ 所以Δ=m‎2‎-4×3×3≤0‎，解得‎-6≤m≤6‎，故数m的取值范围为‎(-6，6)‎．‎ ‎15．解关于的不等式：．‎ ‎【答案】见解析．‎ ‎ ‎ ‎16．已知不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x｜α＜x＜β}，其中β＞α＞0，求不等式cx2＋bx＋a＜0的解集．‎ ‎【答案】或．‎ ‎【解析】因为ax2＋bx＋c＞0的解集为{x｜α＜x＜β}，‎ 所以α，β是方程ax2＋bx＋c＝0的两根且a＜0，，，‎ 所以c＝aαβ，b＝－a(α＋β)，‎ 所以cx2＋bx＋a＜0可化为aαβx2－a(α＋β)x＋a＜0，即αβx2－(α＋β)x＋1＞0．‎ 因为αβ＞0，所以，相应方程的两根分别为，，且＞，‎ 所以不等式cx2＋bx＋a＜0的解集为或．‎ ‎17．解关于x的不等式：ax2－2x＋a＜0．‎ ‎【答案】见解析．‎ ‎【解析】当a＝0时，不等式即－2x＜0，解得x＞0．‎ 当a≠0时，对于方程ax2－2x＋a＝0，Δ＝4－4a2，‎ 令Δ＜0，解得a＞1或a＜－1；‎ 令Δ＝0，解得a＝1或－1；‎ ‎ ‎ ‎18．设函数f(x)＝mx2－mx－6＋m．‎ ‎（1）若对于m[－2，2]，f(x)＜0恒成立，求实数x的取值范围；‎ ‎（2）若对于x[1，3]，f(x)＜0恒成立，求实数m的取值范围．‎ ‎【答案】（1）{x|－1＜x＜2}；（2）．‎ ‎【解析】（1）设g(m)＝mx2－mx－6＋m＝(x2－x＋1)m－6，‎ 则g(m)是关于m的一次函数，且一次项系数为x2－x＋1．‎ 因为，所以g(m)在[－2，2]上单调递增，‎ 所以g(m)＜0恒成立等价于g(2)＝2(x2－x＋1)－6＜0，解得－1＜x＜2．‎ 故实数x的取值范围为{x|－1＜x＜2}．‎ ‎（2）方法1：因为f(x)＝在x[1，3]上恒成立，‎ 所以或或，‎ 即或或，解得．‎ 故实数m的取值范围为．‎ 方法2：要使f(x)＝m(x2－x＋1)－6＜0在x[1，3]上恒成立，‎ 则在x[1，3]上恒成立，即，‎ 又x[1，3]时，，所以．‎ 故实数m的取值范围为．‎ ‎ ‎ ‎ ‎