数学卷·2018届河南省驻马店市西平高中高二上学期第二次月考数学试卷（文科）（解析版） 17页

‎2016-2017学年河南省驻马店市西平高中高二（上）第二次月考数学试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=4，sinA=2sinB，则b=（　　）‎ A．8 B．4 C．2 D．1‎ ‎2．在△ABC中，已知a=7，b=5，c=3，则角A大小为（　　）‎ A．120° B．90° C．60° D．45°‎ ‎3．已知数列1，4，9，16，…，则256是数列的（　　）‎ A．第14项 B．第15项 C．第16项 D．第17项 ‎4．已知{an}为等差数列，且a7﹣2a4=﹣1，a3=0，则公差d=（　　）‎ A．﹣2 B．﹣ C． D．2‎ ‎5．已知等比数列{an}的公比为正数，且a3•a9=2a52，a2=1，则a1=（　　）‎ A． B． C． D．2‎ ‎6．已知x＞0，y＞0且x+y=xy，则x+y的取值范围是（　　）‎ A．（0，1] B．[2，+∞） C．（0，4] D．[4，+∞）‎ ‎7．不等式（1﹣x）（2+x）＞0的解集为（　　）‎ A．（﹣2，1） B．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞） C．（﹣∞，1）∪（2，+∞） D．（﹣1，2）‎ ‎8．已知x＞2，则x+的最小值为（　　）‎ A．6 B．4 C．3 D．2‎ ‎9．在△ABC中，已知a2+b2=c2+，则∠C=（　　）‎ A．30° B．45° C．150° D．135°‎ ‎10．据科学记算，运载“神七”的“长征”二号系列火箭在点火后第一秒钟通过的路程为2 km，以后每秒钟通过的路程增加2 km，在到达离地面240 km的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程需要的时间是（　　）‎ A．10秒钟 B．13秒钟 C．15秒钟 D．20秒钟 ‎11．对任意的实数x，不等式mx2﹣mx﹣1＜0恒成立，则实数m的取值范围是（　　）‎ A．（﹣4，0） B．（﹣4，0] C．[﹣4，0] D．[﹣4，0）‎ ‎12．数列{an}的前n项和为Sn，若an=，则S5等于（　　）‎ A．1 B． C． D．‎ ‎　‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、C、若（b﹣c）cosA=acosC，则cosA=　　．‎ ‎14．已知实数x、y满足则目标函数z=x﹣2y的最小值是　　．‎ ‎15．若关于x的方程x2+ax+a2﹣1=0有一正根和一负根，则a的取值范围为　　．‎ ‎16．已知数列{an}满足2a1+22a2+23a3+…+2nan=4n﹣1，则{an}的通项公式　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．求y=（x＞﹣1）的值域．‎ ‎18．在△ABC中，sinB=sinAcosC，且△ABC的最大边长为12，最小角的正弦等于．‎ ‎（1）判断△ABC的形状；‎ ‎（2）求△ABC的面积．‎ ‎19．等比数列{an}中，已知a1=2，a4=16‎ ‎（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若a3，a5分别为等差数列{bn}的第3项和第5项，试求数列{bn}的通项公式及前n项和Sn．‎ ‎20．在一个特定时段内，以点E为中心的7海里以内海域被设为警戒水域．点E正北55海里处有一个雷达观测站A．某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东45°且与点A相距40海里的位置B，经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东45°+θ（其中sinθ=，0°＜θ＜90°）且与点A相距10海里的位置C．‎ ‎（Ⅰ）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）；‎ ‎（Ⅱ）若该船不改变航行方向继续行驶．判断它是否会进入警戒水域，并说明理由．‎ ‎21．数列{an}的前n项和为Sn，若对于任意的正整数n都有Sn=2an﹣3n．‎ ‎（1）设bn=an+3，求证：数列{bn}是等比数列，并求出{an}的通项公式；‎ ‎（2）求数列{nan}的前n项和．‎ ‎22．已知函数f（x）对任意的实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）+2y（x+y）+1且f（1）=1．‎ ‎（1）若x∈N*，试求f（x）的解析式；‎ ‎（2）若x∈N*，且x≥2时，不等式f（x）≥（a+7）x﹣（a+10）恒成立，求实数a的取值范围．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年河南省驻马店市西平高中高二（上）第二次月考数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=4，sinA=2sinB，则b=（　　）‎ A．8 B．4 C．2 D．1‎ ‎【考点】余弦定理．‎ ‎【分析】由已知利用正弦定理即可计算得解．‎ ‎【解答】解：∵a=4，sinA=2sinB，‎ ‎∴由正弦定理，可得：b===2．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎2．在△ABC中，已知a=7，b=5，c=3，则角A大小为（　　）‎ A．120° B．90° C．60° D．45°‎ ‎【考点】余弦定理．‎ ‎【分析】由已知利用余弦定理可求cosA的值，结合A的范围即可得解A的值．‎ ‎【解答】解：∵a=7，b=5，c=3，‎ ‎∴由余弦定理可得：cosA===﹣，‎ 又∵A∈（0°，180°），‎ ‎∴A=120°．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎3．已知数列1，4，9，16，…，则256是数列的（　　）‎ A．第14项 B．第15项 C．第16项 D．第17项 ‎【考点】数列的概念及简单表示法．‎ ‎【分析】根据题意，由所给数列的前几项可得数列的通项公式an=n2，256=（16）2，即256是数列的第16项，即可得答案．‎ ‎【解答】解：根据题意，数列1，4，9，16，…，‎ 则其通项公式为an=n2，‎ 而256=（16）2，即256是数列的第16项，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎4．已知{an}为等差数列，且a7﹣2a4=﹣1，a3=0，则公差d=（　　）‎ A．﹣2 B．﹣ C． D．2‎ ‎【考点】等差数列．‎ ‎【分析】利用等差数列的通项公式，结合已知条件列出关于a1，d的方程组，求解即可．‎ ‎【解答】解：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，由等差数列的通项公式以及已知条件得 ‎，即，‎ 解得d=﹣，‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎5．已知等比数列{an}的公比为正数，且a3•a9=2a52，a2=1，则a1=（　　）‎ A． B． C． D．2‎ ‎【考点】等比数列的性质．‎ ‎【分析】设等比数列的公比为q，根据等比数列的通项公式把a3•a9=2a25化简得到关于q的方程，由此数列的公比为正数求出q的值，然后根据等比数列的性质，由等比q的值和a2=1即可求出a1的值．‎ ‎【解答】解：设公比为q，由已知得a1q2•a1q8=2（a1q4）2，‎ 即q2=2，又因为等比数列{an}的公比为正数，‎ 所以q=，故a1=．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎6．已知x＞0，y＞0且x+y=xy，则x+y的取值范围是（　　）‎ A．（0，1] B．[2，+∞） C．（0，4] D．[4，+∞）‎ ‎【考点】基本不等式．‎ ‎【分析】由题意和基本不等式得：xy≤，代入已知的方程化简后，求出x+y的取值范围．‎ ‎【解答】解：∵x＞0，y＞0，‎ ‎∴xy≤，当且仅当x=y时取等号，‎ 代入x+y=xy得，x+y≤，‎ 解得x+y≥4或x+y≤0（舍去），‎ ‎∴x+y的取值范围是[4，+∞），‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎7．不等式（1﹣x）（2+x）＞0的解集为（　　）‎ A．（﹣2，1） B．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞） C．（﹣∞，1）∪（2，+∞） D．（﹣1，2）‎ ‎【考点】一元二次不等式的解法．‎ ‎【分析】根据一元二次不等式的解集与方程根的关系，结合二次函数可得不等式的解集 ‎【解答】解：不等式（1﹣x）（2+x）＞0，‎ ‎∴不等式（x﹣1）（x+2）＜0，‎ ‎∴方程（x﹣1）（x+2）=0的两根为﹣2，1，‎ ‎∴不等式（1﹣x）（2+x）＞0的解集为（﹣2，1），‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎8．已知x＞2，则x+的最小值为（　　）‎ A．6 B．4 C．3 D．2‎ ‎【考点】基本不等式．‎ ‎【分析】由题意可得x﹣2＞0，可得x+=x﹣2++2，由基本不等式可得．‎ ‎【解答】解：∵x＞2，∴x﹣2＞0，‎ ‎∴x+=x﹣2++2，‎ ‎≥2+2=6，‎ 当且仅当x﹣2=即x=4时，x+取最小值6，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎9．在△ABC中，已知a2+b2=c2+，则∠C=（　　）‎ A．30° B．45° C．150° D．135°‎ ‎【考点】余弦定理．‎ ‎【分析】由余弦定理求得cos∠C= 的值，可得∠C的值．‎ ‎【解答】解：在△ABC中，由于已知a2+b2=c2+，则由余弦定理可得 cos∠C===，‎ ‎∴∠C=45°，‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎10．据科学记算，运载“神七”的“长征”二号系列火箭在点火后第一秒钟通过的路程为2 km，以后每秒钟通过的路程增加2 km，在到达离地面240 km的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程需要的时间是（　　）‎ A．10秒钟 B．13秒钟 C．15秒钟 D．20秒钟 ‎【考点】等差数列的前n项和．‎ ‎【分析】‎ 设出每一秒钟的路程为一数列，由题意可知此数列为等差数列，然后根据等差数列的前n项和的公式表示出离地面的高度，让高度等于240列出关于n的方程，求出方程的解即可得到n的值．‎ ‎【解答】解：设每一秒钟通过的路程依次为a1，a2，a3，…，an，‎ 则数列{an}是首项a1=2，公差d=2的等差数列，‎ 由求和公式有na1+=240，即2n+n（n﹣1）=240，‎ 解得n=15，‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎11．对任意的实数x，不等式mx2﹣mx﹣1＜0恒成立，则实数m的取值范围是（　　）‎ A．（﹣4，0） B．（﹣4，0] C．[﹣4，0] D．[﹣4，0）‎ ‎【考点】函数恒成立问题．‎ ‎【分析】当m=0时，不等式显然成立；当m≠0时，根据二次函数图象的性质得到m的取值范围．两者取并集即可得到m的取值范围．‎ ‎【解答】解：当m=0时，mx2﹣mx﹣1=﹣1＜0，不等式成立；‎ 设y=mx2﹣mx﹣1，当m≠0时函数y为二次函数，y要恒小于0，抛物线开口向下且与x轴没有交点，即要m＜0且△＜0‎ 得到：解得﹣4＜m＜0．‎ 综上得到﹣4＜m≤0．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎12．数列{an}的前n项和为Sn，若an=，则S5等于（　　）‎ A．1 B． C． D．‎ ‎【考点】数列的求和．‎ ‎【分析】利用“裂项求和”即可得出．‎ ‎【解答】解：∵，‎ ‎∴…+==．‎ ‎∴．‎ 故选B．‎ ‎　‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、C、若（b﹣c）cosA=acosC，则cosA=　　．‎ ‎【考点】正弦定理的应用；两角和与差的正弦函数．‎ ‎【分析】先根据正弦定理将边的关系转化为角的正弦值的关系，再运用两角和与差的正弦公式化简可得到sinBcosA=sinB，进而可求得cosA的值．‎ ‎【解答】解：由正弦定理，知 由（b﹣c）cosA=acosC可得 ‎（sinB﹣sinC）cosA=sinAcosC，‎ ‎∴sinBcosA=sinAcosC+sinCcosA ‎=sin（A+C）=sinB，‎ ‎∴cosA=．‎ 故答案为：‎ ‎　‎ ‎14．已知实数x、y满足则目标函数z=x﹣2y的最小值是　﹣9　．‎ ‎【考点】简单线性规划的应用．‎ ‎【分析】本题主要考查线性规划的基本知识，先画出约束条件的可行域，再将可行域中各个角点的值依次代入目标函数z=x﹣2y，不难求出目标函数z=x﹣2y的最小值．‎ ‎【解答】解：如图作出阴影部分即为满足约束条件的可行域，‎ 由z=x﹣2y，得y=x﹣z，‎ 平移直线y=x﹣z，由图象可知当直线y=x﹣z经过点A，‎ 直线y=x﹣z的截距最大，此时z最小，‎ 由得点A（3，6），‎ 当x=3，y=6时，z=x﹣2y取最小值，为﹣9．‎ 故答案为：﹣9‎ ‎　‎ ‎15．若关于x的方程x2+ax+a2﹣1=0有一正根和一负根，则a的取值范围为　﹣1＜a＜1　．‎ ‎【考点】一元二次方程的根的分布与系数的关系．‎ ‎【分析】先看二次函数的开口方向，利用0的函数值的符号确定a的范围．‎ ‎【解答】解：令f（x）=x2+ax+a2﹣1，∴二次函数开口向上，若方程有一正一负根，‎ 则只需f（0）＜0，即a2﹣1＜0，∴﹣1＜a＜1．‎ 故答案为：﹣1＜a＜1．‎ ‎　‎ ‎16．已知数列{an}满足2a1+22a2+23a3+…+2nan=4n﹣1，则{an}的通项公式　an=3•2n﹣2　．‎ ‎【考点】数列的概念及简单表示法．‎ ‎【分析】数列{an}满足2a1+22a2+23a3+…+2nan=4n﹣1，当n≥2时，2nan=（4n﹣1）﹣（4n﹣1﹣1），即可得出．‎ ‎【解答】解：∵数列{an}满足2a1+22a2+23a3+…+2nan=4n﹣1，‎ ‎∴当n≥2时，2nan=（4n﹣1）﹣（4n﹣1﹣1），化为an=3•2n﹣2．‎ 当n=1时，2a1=4﹣1，解得，上式也成立．‎ ‎∴an=3•2n﹣2．‎ 故答案为：an=3•2n﹣2．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．求y=（x＞﹣1）的值域．‎ ‎【考点】函数的值域．‎ ‎【分析】根据基本不等式即可得到y=≥9，即可求出函数的值域．‎ ‎【解答】解：∵x＞﹣1，‎ ‎∴x+1＞0，‎ ‎∴y===x+1++5≥2+5=9，‎ 当且仅当x+1=，即x=1时取等号，‎ 故y=（x＞﹣1）的值域为[9，+∞）．‎ ‎　‎ ‎18．在△ABC中，sinB=sinAcosC，且△ABC的最大边长为12，最小角的正弦等于．‎ ‎（1）判断△ABC的形状；‎ ‎（2）求△ABC的面积．‎ ‎【考点】正弦定理；余弦定理．‎ ‎【分析】（1）由三角形的内角和定理得到B=π﹣（A+C），代入已知等式左侧，利用诱导公式及两角和与差的正弦函数公式化简，整理后可得cosAsinC=0，结合sinC≠0，可得cosA=0，又A∈（0，π），可得A=，即△ABC为直角三角形．‎ ‎（2）由题意，利用正弦定理可求最小边长，利用勾股定理可求另一直角边，利用三角形面积公式即可得解．‎ ‎【解答】解：（1）在△ABC中，∵sinB=sin[π﹣（A+C）]=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=sinAcosC，‎ ‎∴cosAsinC=0，‎ ‎∵C为三角形内角，sinC≠0，‎ ‎∴cosA=0，‎ ‎∴由A∈（0，π），可得A=，即△ABC为直角三角形．‎ ‎（2）∵由（1）得A=，由题意△ABC的最大边长为12，最小角的正弦等于．‎ ‎∴设最小边长为x，则由正弦定理可得： =，解得：x=4，‎ ‎∴S△ABC=×4×=16．‎ ‎　‎ ‎19．等比数列{an}中，已知a1=2，a4=16‎ ‎（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若a3，a5分别为等差数列{bn}的第3项和第5项，试求数列{bn}的通项公式及前n项和Sn．‎ ‎【考点】等差数列与等比数列的综合．‎ ‎【分析】（I）由a1=2，a4=16直接求出公比q再代入等比数列的通项公式即可．‎ ‎（Ⅱ）利用题中条件求出b3=8，b5=32，又由数列{bn}是等差数列求出．再代入求出通项公式及前n项和Sn．‎ ‎【解答】解：（I）设{an}的公比为q 由已知得16=2q3，解得q=2‎ ‎∴=2n ‎（Ⅱ）由（I）得a3=8，a5=32，则b3=8，b5=32‎ 设{bn}的公差为d，则有 解得．‎ 从而bn=﹣16+12（n﹣1）=12n﹣28‎ 所以数列{bn}的前n项和．‎ ‎　‎ ‎20．在一个特定时段内，以点E为中心的7海里以内海域被设为警戒水域．点E正北55海里处有一个雷达观测站A．某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东45°且与点A相距40海里的位置B，经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东45°+θ（其中sinθ=，0°＜θ＜90°）且与点A相距10海里的位置C．‎ ‎（Ⅰ）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）；‎ ‎（Ⅱ）若该船不改变航行方向继续行驶．判断它是否会进入警戒水域，并说明理由．‎ ‎【考点】解三角形的实际应用．‎ ‎【分析】（1）先根据题意画出简图确定AB、AC、∠BAC的值，根据sinθ=求出θ的余弦值，再由余弦定理求出BC的值，从而可得到船的行驶速度．‎ ‎（2）先假设直线AE与BC的延长线相交于点Q，根据余弦定理求出cos∠ABC的值，进而可得到sin∠ABC的值，再由正弦定理可得AQ的长度，从而可确定Q在点A和点E之间，根据QE=AE﹣AQ求出QE的长度，然后过点E作EP⊥BC于点P，则EP为点E到直线BC的距离，进而在Rt△QPE中求出PE的值在于7进行比较即可得到答案．‎ ‎【解答】解：（I）如图，AB=40，AC=10，．‎ 由于0°＜θ＜90°，所以cosθ=．‎ 由余弦定理得BC=．‎ 所以船的行驶速度为（海里/小时）．‎ ‎（II）如图所示，设直线AE与BC的延长线相交于点Q．‎ 在△ABC中，由余弦定理得，‎ ‎==．‎ 从而．‎ 在△ABQ中，由正弦定理得，‎ AQ=．‎ 由于AE=55＞40=AQ，所以点Q位于点A和点E之间，且QE=AE﹣AQ=15．‎ 过点E作EP⊥BC于点P，则EP为点E到直线BC的距离．‎ 在Rt△QPE中，PE=QE•sin∠PQE=QE•sin∠AQC=QE•sin（45°﹣∠ABC）‎ ‎=．‎ 所以船会进入警戒水域．‎ ‎　‎ ‎21．数列{an}的前n项和为Sn，若对于任意的正整数n都有Sn=2an﹣3n．‎ ‎（1）设bn=an+3，求证：数列{bn}是等比数列，并求出{an}的通项公式；‎ ‎（2）求数列{nan}的前n项和．‎ ‎【考点】数列递推式；等比关系的确定；数列的求和．‎ ‎【分析】（1）通过递推关系式求出an与an+1的关系，推出{an+3}即数列{bn}是等比数列，求出数列{bn}的通项公式即可求出{an}的通项公式；‎ ‎（2）写出数列{nan}的通项公式，然后写出前n项和的表达式通过错位相减法求解即可．‎ ‎【解答】解：（1）∵Sn=2an﹣3n，对于任意的正整数都成立，‎ ‎∴Sn+1=2an+1﹣3n﹣3，‎ 两式相减，得a n+1=2an+1﹣2an﹣3，即an+1=2an+3，‎ ‎∴an+1+3=2（an+3），‎ 所以数列{bn}是以2为公比的等比数列，‎ 由已知条件得：S1=2a1﹣3，a1=3．‎ ‎∴首项b1=a1+3=6，公比q=2，‎ ‎∴an=6•2n﹣1﹣3=3•2n﹣3．‎ ‎（2）∵nan=3×n•2n﹣3n ‎∴Sn=3（1•2+2•22+3•23+…+n•2n）﹣3（1+2+3+…+n），‎ ‎2Sn=3（1•22+2•23+3•24+…+n•2n+1）﹣6（1+2+3+…+n），‎ ‎∴﹣Sn=3（2+22+23+…+2n﹣n•2n+1）+3（1+2+3+…+n）‎ ‎=‎ ‎∴Sn=‎ ‎　‎ ‎22．已知函数f（x）对任意的实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）+2y（x+y）+1且f（1）=1．‎ ‎（1）若x∈N*，试求f（x）的解析式；‎ ‎（2）若x∈N*，且x≥2时，不等式f（x）≥（a+7）x﹣（a+10）恒成立，求实数a的取值范围．‎ ‎【考点】抽象函数及其应用；函数恒成立问题．‎ ‎【分析】（1）先求出f（x+1）与 f（x）的关系，用累加法求出f（x）的解析式．‎ ‎（2）不等式等价变形为即 a≤，由基本不等式求不等号右边式子的最小值，a应小于或等于此最小值．‎ ‎【解答】解：（1）令x=y=0，得f（0）=f（0）+f（0）+0+1，f（0）=﹣1，‎ 令y=1得，f（x+1）=f（x）+f（1）+2（x+1）+1=f（x）+2x+4，‎ 即f（x+1）﹣f（x）=2x+4，‎ ‎∴f（2）﹣f（1）=2×1+4，f（3）﹣f（2）=2×2+4，f（4）﹣f（3）=2×3+4，…‎ f（x）﹣f（x﹣1）=2×（x﹣1）+4，‎ 累加得：f（x）﹣f（1）=2（1+2+3+4…+（x﹣1））+4（x﹣1）=x2+3x﹣4，又 f（1）=1，‎ ‎∴f（x）═x2+3x﹣3，x∈N*．‎ ‎（2）∵x≥2时，不等式f（x）≥（a+7）x﹣（a+10）恒成立，‎ ‎∴x2+3x﹣3≥（a+7）x﹣（a+10）恒成立，‎ 即 a≤==（x﹣1）+﹣2，‎ 由基本不等式得 （x﹣1）+﹣2≥4﹣2=2 （当且仅当x=3时，等号成立），‎ ‎∴（x﹣1）+﹣2 的最小值是2，，∴a≤2‎ ‎　‎