新疆乌鲁木齐市第一中学2018-2019学年高一下学期期中考试数学试题 13页

新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市第一中学2018-2019学高一下学期【数学】期中考试（试卷）‎ 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题仅有一个正确答案）‎ ‎1.在中，，，则的值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用正弦定理的推论即可求解.‎ ‎【详解】因为，，‎ 由正弦定理.‎ 故选：A ‎【点睛】本题考查了正弦定理的推论，属于基础题.‎ ‎2.△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c．若a＝3，b＝4，∠C＝60°，则c的值等于 ( )．‎ A. 5 B. ‎13 ‎C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由余弦定理可得c的值.‎ ‎【详解】 ‎ 故选C ‎【点睛】本题考查应用余弦定理求解三角形的边长，意在考查余弦定理的掌握情况，解题中要注意选择合适的表达式，准确代入数值.‎ ‎3.如图所示是一个物体的三视图，则此三视图所描述物体的直观图是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 正视图和左视图可以得到A，俯视图可以得到B和D，结合三视图定义和作法即可得出选项.‎ ‎【详解】正视图和左视图相同，说明组合体上面是锥体，下面是正四棱柱或圆柱，‎ 俯视图可知下面是圆柱.‎ 故选：D ‎【点睛】本题考查了三视图还原直观图，考查了学生的空间想象能力，属于基础题.‎ ‎4.已知数列的通项公式为，则15是数列的（ ）‎ A. 第3项 B. 第4项 C. 第5项 D. 第6项 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据已知可得，解方程即可求解.‎ ‎【详解】由题意：，‎ ‎，‎ 解得或，，.‎ 故选：C ‎【点睛】本题考查了数列的通项公式的应用，属于基础题.‎ ‎5.在等比数列中，已知，公比，则（ ）‎ A. 27 B. ‎81 ‎C. 243 D. 192‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 分析】‎ 首先求出数列中的首项，再利用数列的通项公式即可求解.‎ ‎【详解】是等比数列，且，，所以，‎ 所以，所以，‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查了等比数列的通项公式，熟记公式是关键，属于基础题.‎ ‎6.在等差数列中，，则（ ）‎ A. 2 B. ‎3 ‎C. 4 D. 5‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用等差数列的性质即可求解.‎ ‎【详解】是等差数列，由等差数列的性质可得 ‎，解得.‎ 故选：C ‎【点睛】本题考查了等差数列的性质，需熟记若，则，属于基础题.‎ ‎7.己知三个数1，4，成等比数列，则的值为（ ）‎ A. 7 B. ‎8 ‎C. 10 D. 16‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用等比中项即可求解.‎ ‎【详解】由三个数1，4，成等比数列，‎ 则，即.‎ 故选：D ‎【点睛】本题考查了利用等比中项求数列中的项，属于基础题.‎ ‎8.在中，，则等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 中，∵，故三个内角分别为 ， 则 ‎ 故选A．‎ ‎9.如图，设、两点在河两岸，一测量者在的同侧河岸边选定一点，测出、的距离是，，，则、两点间的距离为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用三角形的内角和定理求出，再利用正弦定理即可求解.‎ ‎【详解】由三角形的内角和可得，‎ 在中，由正弦定理可得，‎ 所以，‎ 故选：A ‎【点睛】本题考查了正弦定理在生活中的应用，需熟记正弦定理，属于基础题.‎ ‎10.已知数列的前项和为，若，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由，利用裂项求和法即可求解.‎ ‎【详解】由，‎ 所以.‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查了裂项求和法求数列的前的和，属于基础题.‎ ‎11.若数列满足，，则（ ）‎ A. 512 B. ‎1023 ‎C. 2047 D. 4096‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意把构造成的形式，然后依据等比数列的知识求出数列的通项公式，进而求出的值.‎ ‎【详解】，‎ ‎，，‎ 数列是以为首项，为公比的等比数列，‎ ‎，，‎ ‎.‎ 故选：C ‎【点睛】本题考查了由递推关系式求数列中的项，涉及构造法求数列的通项公式以及等比数列的通项公式，属于中档题.‎ ‎12.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=1，B=45°，S△ABC=2，则△ABC的外接圆的直径为 （　　）‎ A. 5 B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析：由三角形面积公式可得，再由余弦定理可得，最后结合正弦定理即可得结果.‎ 详解：根据三角形面积公式得，，得，则，即，，故正确答案为C.‎ 点睛：此题主要考三角形面积公式的应用，以及余弦定理、正弦定理在计算三角形外接圆半径的应用等有关方面的知识与技能，属于中低档题型，也是常考考点.此类题的题型一般有：1.已知两边和任一边，求其他两边和一角，此时三角形形状唯一；2.已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，此时三角形形状不一定唯一.‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13.在中，已知，，，则_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用正弦定理直接求解即可.‎ ‎【详解】在中，由正弦定理可得，‎ 又，，，所以，即或，‎ 又因为，所以，‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查了正弦定理解三角形，注意三角形中“大边对大角”的性质，属于基础题.‎ ‎14.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据三视图作出几何体的直观图即可求出表面积.‎ ‎【详解】由三视图可得几何体的直观图如下：‎ ‎ ‎ 所以几何体的表面积为 ‎.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查了三视图还原直观图以及求多面体的表面积，属于基础题.‎ ‎15.若数列的前项和，则_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题设条件，利用公式求解即可.‎ ‎【详解】前项和，‎ ‎.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查了利用与的关系求数列中的项，属于基础题.‎ ‎16.如果数列a1，，，…，，…是首项为1，公比为－等比数列，则a5等于________．‎ ‎【答案】32‎ ‎【解析】‎ 由题意可得＝(－)n－1(n≥2)，所以＝－，＝(－)2，＝(－)3，＝(－)4，将上面的4个式子两边分别相乘得＝(－)1＋2＋3＋4＝32，又a1＝1，所以a5＝32.‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程成演算步骤）‎ ‎17.已知在中，，，，解三角形.‎ ‎【答案】，，‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用正弦定理直接求解即可.‎ ‎【详解】在中，，，， ‎ 由正弦定理可得，‎ 所以，所以或，‎ 又，所以，即，.‎ 综上可得，，.‎ ‎【点睛】本题考查了正弦定理解三角形，需熟记正弦定理的内容，属于基础题.‎ ‎18.记为等差数列的前项和，已知，．‎ ‎ （1）求的通项公式；‎ ‎ （2）求，并求的最小值．‎ ‎【答案】（1）an=2n–9，（2）Sn=n2–8n，最小值–16．‎ ‎【解析】‎ 分析：（1）根据等差数列前n项和公式，求出公差，再代入等差数列通项公式得结果，（2）根据等差数列前n项和公式得的二次函数关系式，根据二次函数对称轴以及自变量为正整数求函数最值.‎ 详解：（1）设{an}的公差为d，由题意得‎3a1+3d=–15．‎ 由a1=–7得d=2．‎ 所以{an}的通项公式为an=2n–9．‎ ‎（2）由（1）得Sn=n2–8n=（n–4）2–16．‎ 所以当n=4时，Sn取得最小值，最小值为–16．‎ 点睛：数列是特殊的函数，研究数列最值问题，可利用函数性质，但要注意其定义域为正整数集这一限制条件.‎ ‎19.在中，角，，所对的边分别为，，，且满足．‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）已知，的面积为，求边长的值．‎ ‎【答案】（1）.（2）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）根据正弦定理，将边化为角，进一步化简，即得结果；（2）结合上一问的结果，列三角形面积公式，解出，然后根据余弦定理求解边．‎ 试题解析：（1）在中，由正弦定理得：‎ 因为，所以 从而，又 所以，所以．‎ ‎（2）在中，，得 由余弦定理得：所以．‎ 考点：1．正弦定理；2．余弦定理；3．三角形面积公式．‎ ‎20.已知等比数列的公比，且，.‎ ‎（1）求等比数列的通项公式；‎ ‎（2）设等比数列的前项和为，求.‎ ‎【答案】（1）；（2） ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题意求出等比数列的公比，再利用等比数列的通项公式即可求解.‎ ‎（2）利用等比数列的前项和求出，然后利用分组求和法即可求解.‎ ‎【详解】（1）由是等比数列，，‎ 所以，即，又，所以，‎ ‎，，‎ ‎ ‎ ‎（2）由等比数列的前项和公式可得 ‎ 则 ‎，‎ 所以.‎ ‎【点睛】本题考查了等比数列的通项公式、前项和公式以及分组求和，需熟记公式，属于基础题.‎ ‎21.在中，内角，，所对的边分别是，，，已知，.‎ ‎（1）若，求的值；‎ ‎（2）若的面积，求的值.‎ ‎【答案】（1）；（2） ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）把的值代入求出，利用余弦定理表示出，将各自的值代入即可求出的值.‎ ‎（2）利用平方关系求出，结合三角形的面积求出，的值，再由余弦定理求得，最后由正弦定理求得的值.‎ ‎【详解】（1）由，，代入可得： ‎ 由余弦定理得：，‎ 解得.‎ ‎（2），‎ ‎，‎ 由，得，，‎ 由，得，‎ 由，得 ‎ 所以.‎ ‎【点睛】本题考查了正、余弦定理，三角形的面积公式以及同角三角函数的平方关系，熟记公式是关键，属于基础题.‎ ‎22.已知正项等差数列的前项和为，若，且成等比数列.‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）设，记数列的前项和为，求 ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用等差数列S3=12,等差中项的性质，求得a2=4，结合 ‎2a1，a2，a3+1成等比数列，得a22=2（a2-d）（a2+d+1），进而求得的通项公式；（2）确定数列的通项，利用错位相减法求数列的和.‎ ‎【详解】设公差为d，则∵S3=12，，即a1+a2+a3=12，∴‎3a2=12，∴a2=4，‎ 又∵‎2a1，a2，a3+1成等比数列，∴a22=2（a2-d）（a2+d+1），解得d=3或d=-4（舍去），‎ ‎∴an=a2+（n-2）d=3n-2‎ ‎（2） ，∴ ①‎ ‎①× 得 ②‎ ‎①-②得 ‎ ‎ ，‎ ‎∴ ．‎ ‎【点睛】本题考查了等差数列和等比数列的性质，以及等差数列的通项公式和等比数列的求和公式，考查了数列求和的错位相减法．错位相减法适用于{}型数列，其中分别是等差数列和等比数列.‎