专题30+空间点、线、面的位置关系（题型专练）-2019年高考数学（文）热点题型和提分秘籍 6页

‎1．给出下列说法：①梯形的四个顶点共面；②三条平行直线共面；③有三个公共点的两个平面重合；④三条直线两两相交，可以确定3个平面。其中正确的序号是(　　)‎ A．① B．①④‎ C．②③ D．③④‎ ‎【答案】A ‎2．如图所示的是正方体或四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，这四个点不共面的是(　　)‎ A B C D ‎【解析】A中PS∥QR，故共面；B中PS与QR相交，故共面；C中四边形PQRS是平行四边形，所以共面，故选D。‎ ‎【答案】D ‎3．已知空间中有三条线段AB，BC和CD，且∠ABC＝∠BCD，那么直线AB与CD的位置关系是(　　)‎ A．AB∥CD B．AB与CD异面 C．AB与CD相交 D．AB∥CD或AB与CD异面或AB与CD相交 ‎【解析】若三条线段共面，如果AB，BC，CD构成等腰三角形，则直线AB与CD相交，否则直线AB与CD平行；若不共面，则直线AB与CD是异面直线，故选D。 ‎ ‎【答案】D ‎7．若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是(　　)‎ A．l1⊥l4‎ B．l1∥l4‎ C．l1与l4既不垂直也不平行 D．l1与l4的位置关系不确定 ‎【答案】D ‎8．以下四个命题中，‎ ‎①不共面的四点中，其中任意三点不共线；‎ ‎②若点A，B，C，D共面，点A，B，C， E共面，则点A，B，C，D，E共面；‎ ‎③若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面；‎ ‎④依次首尾相接的四条线段必共面．‎ 正确命题的个数是(　　)‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎【答案】B ‎【解析】①显然是正确的；②中若A，B，C三点共线，则A，B，C，D，E五点不一定共面；③中构造长方体(或正方体)，如图所示，显然b，c异面，故不正确；④中空间四边形中四条线段不共面，故只有①正确．‎ ‎9. 一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：‎ ‎①AB⊥EF；②AB与CM所成的角为60°；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD.‎ 以上四个命题中，正确命题的序号是________．‎ ‎【答案】①③‎ ‎10．如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为________．‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】EF与正方体左、右两侧面均平行，所以与EF相交的平面有4个．‎ ‎11.如图，已知圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，C是圆柱下底面弧AB的中点，C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，那么异面直线AC1与BC所成角的正切值为________．‎ ‎【答案】 因为圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，所以C1D＝AD，‎ 所以直线AC1与AD所成角的正切值为，所以异面直线AC1与BC所成角的正切值为.‎ ‎12.如图，在矩形ABCD中，AB＝2AD，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A1DE.若M为线段A1C的中点，则在△ADE翻折过程中，下列四个命题中不正确的是________．(填序号)‎ ‎①BM是定值；‎ ‎②点M在某个球面上运动；‎ ‎③存在某个位置，使DE⊥A1C；‎ ‎④存在某个位置，使MB∥平面A1DE.‎ ‎【答案】③‎ ‎【解析】取DC的中点F，连接MF，BF，则MF∥A1D且MF＝A1D，FB∥ED且FB＝ED，所以∠MFB＝∠A1DE.‎ 由余弦定理可得MB2＝MF2＋FB2－2MF·FB·cos∠MFB是定值，所以M是在以B为球心，MB为半径的球上，可得①②正确；由MF∥A1D与FB∥ED可得平面MBF∥平面A1DE，可得④正确；若存在某个位置，使DE⊥A1C，则因为DE2＋CE2＝CD2，即CE⊥DE，因为A1C∩CE＝C，则DE⊥平面A1CE，所以DE⊥A1E，与DA1⊥A1E矛盾，故③不正确． ‎ ‎ 17.如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，O为正方形ABCD的中心，H为直线B1D与平面ACD1的交点．求证：D1，H，O三点共线．‎ ‎【解析】证明：如图，连接BD，B1D1，‎ ‎18.如图所示，等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，BC＝，DA⊥AC，DA⊥AB，若DA＝1，且E为DA的中点，求异面直线BE与CD所成角的余弦值．‎ ‎【解析】如图所示，取AC的中点F，连接EF，BF，‎ ‎∵在△ACD中，E，F分别是AD，AC的中点，‎ ‎∴EF∥CD. ‎ ‎∴∠BEF或其补角即为异面直线BE与CD所成的角．‎ 在Rt△EAB中，AB＝AC＝1，AE＝AD＝，‎ ‎∴BE＝.‎ 在Rt△EAF中，AF＝AC＝，AE＝，∴EF＝.‎ 在Rt△BAF中，AB＝1，AF＝，∴BF＝.‎ 在等腰三角形EBF中，cos∠FEB＝＝＝.‎ ‎∴异面直线BE与CD所成角的余弦值为.‎