数学理卷·2018届山东省济宁市高三上学期期末考试（2018 10页

‎2017-2018学年度高三教学质量检测 数学(理工类)试题 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.集合，，则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎2.已知，，且，则( )‎ A. B. C.1 D.3‎ ‎3.已知函数的图象经过定点，若幂函数的图象过点，则的值等于( )( )‎ A. B. C.2 D.3‎ ‎4.命题：若，则，；命题：，使得，则下列命题中为真命题的是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎5.中国古代数学著作《算法统宗》中记载了这样的一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”，其大意为：有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天其因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达了目的地，问此人第二天走的路程里数为( )‎ A.76 B.96 C.146 D.188‎ ‎6.已知实数满足条件，则的最大值为( )‎ A. B. C.1 D.‎ ‎7.已知，，则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎8.已知，，并且，，成等差数列，则的最小值为( )‎ A.16 B.9 C.5 D.4‎ ‎9.函数，的图象大致为( )‎ ‎ ‎ A B C D ‎10.“”是函数为奇函数”的( )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎11.已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，线段被双曲线的顶点三等分，且两曲线的交点连线过曲线的焦点，曲线的焦距为，则曲线的离心率为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎12.设，若函数在区间上有三个零点，则实数的取值范围是( )‎ A. B. C. D.‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.直线过抛物线的焦点且与轴垂直，则与抛物线所围成的图形的面积等于 .‎ ‎14.函数的部分图象如图所示，则将的图象向右平移个单位后，得到的图象对应的函数解析式为 .‎ ‎15.某多面体的三视图，如图所示，则该几何体的外接球的表面积为 .‎ ‎16.设函数，则方程的根为 .‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17.的内角所对的边分别是，且.‎ ‎(1)求角的大小；‎ ‎(2)若，，求的值.‎ ‎18.已知为数列的前项和，且.‎ ‎(1)求数列的通项公式；‎ ‎(2)设，求数列的前项和.‎ ‎19.如图，三棱柱中，侧棱平面，为等腰直角三角形，，且，分别是的中点.‎ ‎(1)若是的中点，求证：平面；‎ ‎(2)若是线段上的任意一点，求直线与平面所成角正弦的最大值.‎ ‎20.如图，点是圆内的一个定点，点是圆上的任意一点，线段的垂直平分线和半径相交于点，当点在圆上运动时，点的轨迹为曲线.‎ ‎(1)求曲线的方程；‎ ‎(2)点，，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求的值.‎ ‎21.设函数.‎ ‎(1)讨论函数的单词性；‎ ‎(2)当时，记，是否存在整数，使得关于的不等式有解？若存在，请求出的最小值；若不存在，请说明理由.‎ ‎22.在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线的参数方程为(为参数)，曲线的极坐标方程是.‎ ‎(1)写出直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；‎ ‎(2)设直线与曲线相交于两点，点为的中点，点的极坐标为，求的值.‎ ‎23.设函数.‎ ‎(1)当时，求不等式的解集；‎ ‎(2)若时，恒有成立，求的取值范围.‎ ‎2017-2018学年度高三教学质量检测 数学(理工类)试题参考答案 一、选择题 ‎1-5:AABCB 6-10:DAABC 11、12：DD 二、填空题 ‎13. 14. 15. 16.‎ 三、解答题 ‎17.(1)由，得，‎ ‎∵，∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∵，∴，‎ 即.‎ ‎(2)由，‎ ‎∴，‎ ‎∵，‎ ‎∴. ‎ ‎18.解：(1)当时，，∴，∴，‎ 当时，因为①‎ 所以②‎ ‎①－②得，∴，∴.‎ 所以数列是首项为，公比为的等比数列.‎ ‎∴；‎ ‎(2)‎ ‎，‎ ‎∴‎ ‎.‎ ‎19.解：(1)连接，，‎ ‎∵分别是的中点，‎ ‎∴，，四边形是平行四边形，‎ 所以，‎ 因为分别是的中点，所以，‎ 所以平面平面，‎ 又平面，‎ 所以平面；‎ ‎(2)以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，如图，‎ 可知：，，，，‎ ‎，，‎ 设平面的法向量为，‎ 由，得，令，得，，‎ 所以平面的一个法向量为，‎ 设，，‎ 所以，得，，，即，‎ 所以，‎ 设直线与平面所成角为，则 当时，.‎ ‎20.解：(1)因为点在的垂直平分线上，所以，‎ ‎∴，‎ 从而点的轨迹是以为焦点的椭圆，这时，，，∴，‎ 所以曲线的方程为.‎ ‎(2)由题设知，直线的斜率存在.‎ 设直线的方程为，，，‎ 由，得，‎ 因为，，所以，‎ 所以，因为点，，共线，，‎ 所以，即，‎ 又直线与轴的交点纵坐标为，‎ 所以，，‎ 所以.‎ ‎21.解：⑴‎ 当时，时，；时，；‎ 当时，时，；‎ 当时，时，；时，；‎ 综上，当时，函数的单调减区间是；单调增区间是；‎ 当时，函数的单调增区间是；无单调减区间；‎ 当时，函数的单调减区间是；单调增区间是.‎ ‎(2)当时，，‎ ‎，可知函数单调递增，‎ ‎，，‎ 所以存在唯一，使得，即，‎ 当时，；时，；‎ 所以，‎ 记函数，在上递减.‎ 所以，即.‎ 由，且为整数，得.‎ 所以存在整数满足题意，且的最小值为0.‎ ‎22.解：(1)由，得，‎ 由曲线的极坐标方程，得，‎ 所以曲线的直角坐标方程为.‎ ‎(2)由，得，‎ 设，，所以，的中点是，‎ 所以，‎ 点的极坐标为，所以点的直角坐标为.‎ ‎23.解：(1)因为，‎ 所以或，‎ 即或，‎ 则不等式的解集是 .‎ ‎(2)因为为增函数，‎ 当时，，从而，‎ 当时，，从而，‎ 综上，，或.‎