广东省佛山市顺德区容山中学2018-2019学年高一下学期期中考试数学试题 16页

www.ks5u.com 容山中学2018—2019学年第二学期期中考试高一年级数学试卷 注意事项：‎ ‎1.答卷前，考生务必将自己所在的班级、姓名、学号填写在答题卡上.‎ ‎2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡.上对应题目选项的答案信息涂黑，答案不能答在试卷上.‎ ‎3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置上.考试结束后，将答题卡交回.‎ 一、选择题（本题共12个小题,每小题5分,共60分，每小题的四个选项中，只有一个是正确的）‎ ‎1.已知，，且，则（ ）‎ A. 2 B. 1 C. 0 D. -1‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎∵，‎ ‎∴‎ ‎∵‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 故选D ‎2.在中，角，，所对边分别是，，，若，，，则角（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 根据余弦定理，，选C.‎ ‎3.是顶角为的等腰三角形，且，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用已知条件求出向量的长度以及向量的夹角，然后求解向量的数量积即可．‎ ‎【详解】解：是顶角为 的等腰三角形，且，则，‎ 则．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题考查向量的数量积的应用及运算，是基本知识的考查．‎ ‎4.在数列中，，且，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 当时，可求出，当时，得，即可得数列为等比数列．‎ ‎【详解】解：当时，则，‎ 当时，由得 故数列是以为首项等比数列 故选 ‎【点睛】本题考查由数列的递推公式求数列的通项公式，属于基础题．‎ ‎5.记等差数列的前项和为，若，则该数列的公差（ ）‎ A. 2 B. 3 C. 6 D. 7‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【详解】,‎ ‎6.等比数列中，，则等于( )‎ A. 16 B. ±4 C. -4 D. 4‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析：利用等比中项求解．‎ 详解：，因为为正，解得．‎ 点睛：等比数列的性质：若，则．‎ ‎7.已知平面向量满足，且，则向量的夹角为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由，结合可得，利用平面向量的数量积公式可得结果.‎ ‎【详解】，‎ ‎，‎ 所以，‎ 可得，‎ 即，，‎ 设两向量夹角为，‎ 则，‎ ‎，‎ ‎，‎ 即为，故选A.‎ ‎【点睛】本题主要考查向量的模、夹角及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角， （此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影， 在 上的投影是；（3）向量垂直则;(4)求向量 的模（平方后需求）.‎ ‎8.数列的前项和为，若，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用裂项相消法求数列的前项和为．‎ ‎【详解】解：‎ 故选 ‎【点睛】本题考查裂项相消法求数列的前项和为，属于基础题．‎ ‎9.中，角，，对边分别为，，，，，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用正弦定理边化角求得，再利用余弦定理求边．‎ ‎【详解】，，‎ ‎，又，‎ 由余弦定理得 故选 ‎【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．‎ ‎10.若两个等差数列，的前项和分别为，且满足，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 把转化为，然后借助于已知得答案．‎ ‎【详解】解：等差数列、前项和分别为，，且，‎ 得．‎ 故选．‎ ‎【点睛】本题考查等差数列的性质，考查等差数列的前项和，考查数学转化思想方法，是中档题．‎ ‎11.在中，，，，在边的中线上，则的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题可设，然后将用向量作为基底向量表示出来，再根据向量的运算，即可将问题转化为二次函数求最值问题．‎ ‎【详解】解：由题意，画图如下：‎ 可设，‎ ‎，，．‎ ‎，‎ ‎．‎ ‎．‎ 由二次函数的性质，可知：‎ 当时，取得最小值．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题主要考查基底向量的设立以及用基底向量表示所求向量，最后转化为二次函数求最值问题，本题属基础题．‎ ‎12.古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数.如将一定数目的点在等距离的排列下可以形成一个等边三角形，这样的数被称为三角形数.如图所示，三角形数,，，……在这个自然数中三角形数的个数是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出这一列数的通项，即可求出在中三角形数的个数．‎ ‎【详解】解：由题意知，，……可归纳为 则，故在中三角形数的个数为个．‎ 故选 ‎【点睛】本题考查数列的通项公式，及数列的项的计算，属于基础题．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题：本大共4小题，每小题5分，满分20分.‎ ‎13.在ΔABC中，已知a=1，b=, A=30°，则B等于____________；‎ ‎【答案】或 ‎【解析】‎ 分析：根据正弦定理求解即可．‎ 详解：由正弦定理可知，解得，故解得或 点睛：本题为易错题，根据大角对大边，正弦值在一、二象限均有取值，只要角大于角即可．‎ ‎14.如果数列的前项和，则此数列的通项公式__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用数列中与关系，得出，但，由此判定数列从第项起为等比数列，通项公式可求．‎ ‎【详解】解：当时，，得．当时，，得，当时，不成立，故数列为从第项起为等比数列．‎ 故答案为 ‎【点睛】本题考查利用数列中与关系求数列通项，考查等比数列判定，通项公式求解．需具有转化、变形、计算能力．‎ ‎15.某人为测出所住小区的面积，进行了一些测量工作，最后将所住小区近似地画成如图所示的四边形，测得的数据如图所示，则该图所示的小区的面积是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 连结，由余弦定理可求，在中由正弦定理可求，利用面积公式分别求出，，即可求出四边形的面积．‎ ‎【详解】解：如图，连结，由余弦定理可知，‎ 故，，，，‎ 在中由正弦定理得：，‎ 即，‎ 故.‎ 故答案为 ‎【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理及三角形面积公式，属于基础题．‎ ‎16.已知等差数列中，，公差d>0，则使得前n项和取得最小值时的正整数n的值是______．‎ ‎【答案】6或7‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将转化为的形式，得到，即，由此判断前或项的和最小.‎ 详解】]由且得，，且，即，即 ‎，即，故且最小.‎ ‎【点睛】本题主要考查利用基本元的思想，求等差数列的前项和取得最小值时的值.直接用等差数列的通项公式，将已知条件转化为的形式，由此得到为零，从而求得使等差数列的前项和取得最小值时的值.属于中档题.‎ 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.记为等差数列的前项和，已知，．‎ ‎ （1）求的通项公式；‎ ‎ （2）求，并求的最小值．‎ ‎【答案】（1）an=2n–9，（2）Sn=n2–8n，最小值为–16．‎ ‎【解析】‎ 分析：（1）根据等差数列前n项和公式，求出公差，再代入等差数列通项公式得结果，（2）根据等差数列前n项和公式得的二次函数关系式，根据二次函数对称轴以及自变量为正整数求函数最值.‎ 详解：（1）设{an}的公差为d，由题意得3a1+3d=–15．‎ 由a1=–7得d=2．‎ 所以{an}的通项公式为an=2n–9．‎ ‎（2）由（1）得Sn=n2–8n=（n–4）2–16．‎ 所以当n=4时，Sn取得最小值，最小值为–16．‎ 点睛：数列是特殊的函数，研究数列最值问题，可利用函数性质，但要注意其定义域为正整数集这一限制条件.‎ ‎18.如图，在中，，是边上一点，，，，为锐角.‎ ‎(1)求角大小；‎ ‎(2)求的长.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）在三角形中，利用正弦定理表示出，求出，确定出的度数；‎ ‎（2）在中，设，由余弦定理可得，即可求出的长．‎ ‎【详解】（1）在中，，，‎ 由正弦定理可得，，即，‎ ‎，‎ 为锐角，，‎ ‎（2）在中，设，‎ 由正弦定理可得，‎ ‎，‎ 即，‎ ‎，即.‎ ‎【点睛】考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．‎ ‎19.数列满足，，.‎ ‎(1)设，证明是等差数列；‎ ‎(2)求的通项公式.‎ ‎【答案】（1）证明见解析（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）要证是等差数列，即证，即由已知可得．‎ ‎（2）由（1）可得，利用累加法，求出数列的通项公式．‎ ‎【详解】（1）由得，‎ 又，‎ 所以是首项为，公差为的等差数列；‎ ‎（2）由（1）得，，‎ 由得，，‎ 则，，，，， ‎ 所以 ‎，‎ 又，‎ 所以的通项公式.‎ ‎【点睛】本题考查：①用定义法证明等差数列；②等差数列的通项公式；③累加法求数列的通项公式；形如“”的递推关系式，求通项时一般利用累加法，属于中档题．‎ ‎20.的内角，，的对边分别为，，，且.‎ ‎(1)求；‎ ‎(2)若，求 ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由正弦定理化简已知等式可得：，由余弦定理可得，结合范围，可求的值．‎ ‎（2）可设，，由余弦定理可得，再由余弦定理，得，利用同角三角函数基本关系式可求的值．‎ ‎【详解】（1）由及正弦定理可得：‎ ‎，即.‎ 由余弦定理可得，‎ 又，.‎ ‎（2），所以可设，，则由余弦定理可得 ‎，，‎ 再由余弦定理得，‎ 故，.‎ ‎【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角函数恒等变换的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．‎ ‎21.已知是等差数列，是各项为正数的等比数列，且，，.‎ ‎⑴求数列和的通项公式；‎ ‎⑵若，求数列的前项和.‎ ‎【答案】(1) ，;(2) .‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设等差数列的公差为，等比数列的公比为，根据等差数列和等比数列的通项公式，结合已知条件，，.可列出关于的方程组，解方程组求出的值，最后求出数列和的通项公式；‎ ‎(2)用错位相消法，结合等比数列前项和公式，可以求出数列的前项和.‎ ‎【详解】(1)设等差数列的公差为，等比数列的公比为，‎ 因为，，所以有，所以 ‎，.‎ ‎(2)因为，.，所以，‎ 因此①，‎ ‎②，①—②得：‎ ‎，‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题考查了等比数列和等差数列的通项公式，考查了用错位相消法求数列前项和.‎ ‎22.已知、、、为同一平面上的四个点，且满足，，设，的面积为，的面积为.‎ ‎（1）当时，求的值；‎ ‎（2）当时，求的值.‎ ‎【答案】（1）.‎ ‎（2）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（I）在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得到，即可求解的值；（II）由，得到，从而 ‎，由此能求出．‎ 试题解析：（Ⅰ）在中，由余弦定理得 所以 在中，由余弦定理得 所以 所以.‎ ‎（Ⅱ）‎ 因为，所以 所以 解得 考点：余弦定理；三角函数的恒等变换.‎ ‎【方法点晴】本题主要考查了三角形的面积的求法等问题，其中解答中涉及到三角形的面积，余弦定理，三角恒等变换等知识点综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，同时考查了转化与化归思想，解题是要认真审题，注意余弦定理的合理运用，试题有一定的难度，属于中档试题.‎