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  • 2021-06-11 发布

广东省佛山市顺德区容山中学2018-2019学年高一下学期期中考试数学试题

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www.ks5u.com 容山中学2018—2019学年第二学期期中考试高一年级数学试卷 注意事项:‎ ‎1.答卷前,考生务必将自己所在的班级、姓名、学号填写在答题卡上.‎ ‎2.选择题每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡.上对应题目选项的答案信息涂黑,答案不能答在试卷上.‎ ‎3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置上.考试结束后,将答题卡交回.‎ 一、选择题(本题共12个小题,每小题5分,共60分,每小题的四个选项中,只有一个是正确的)‎ ‎1.已知,,且,则( )‎ A. 2 B. 1 C. 0 D. -1‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎∵,‎ ‎∴‎ ‎∵‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 故选D ‎2.在中,角,,所对边分别是,,,若,,,则角( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 根据余弦定理,,选C.‎ ‎3.是顶角为的等腰三角形,且,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用已知条件求出向量的长度以及向量的夹角,然后求解向量的数量积即可.‎ ‎【详解】解:是顶角为 的等腰三角形,且,则,‎ 则.‎ 故选:.‎ ‎【点睛】本题考查向量的数量积的应用及运算,是基本知识的考查.‎ ‎4.在数列中,,且,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 当时,可求出,当时,得,即可得数列为等比数列.‎ ‎【详解】解:当时,则,‎ 当时,由得 故数列是以为首项等比数列 故选 ‎【点睛】本题考查由数列的递推公式求数列的通项公式,属于基础题.‎ ‎5.记等差数列的前项和为,若,则该数列的公差( )‎ A. 2 B. 3 C. 6 D. 7‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【详解】,‎ ‎6.等比数列中,,则等于( )‎ A. 16 B. ±4 C. -4 D. 4‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析:利用等比中项求解.‎ 详解:,因为为正,解得.‎ 点睛:等比数列的性质:若,则.‎ ‎7.已知平面向量满足,且,则向量的夹角为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由,结合可得,利用平面向量的数量积公式可得结果.‎ ‎【详解】,‎ ‎,‎ 所以,‎ 可得,‎ 即,,‎ 设两向量夹角为,‎ 则,‎ ‎,‎ ‎,‎ 即为,故选A.‎ ‎【点睛】本题主要考查向量的模、夹角及平面向量数量积公式,属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式,一是,二是,主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角, (此时往往用坐标形式求解);(2)求投影, 在 上的投影是;(3)向量垂直则;(4)求向量 的模(平方后需求).‎ ‎8.数列的前项和为,若,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用裂项相消法求数列的前项和为.‎ ‎【详解】解:‎ 故选 ‎【点睛】本题考查裂项相消法求数列的前项和为,属于基础题.‎ ‎9.中,角,,对边分别为,,,,,,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用正弦定理边化角求得,再利用余弦定理求边.‎ ‎【详解】,,‎ ‎,又,‎ 由余弦定理得 故选 ‎【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用,属于基础题.‎ ‎10.若两个等差数列,的前项和分别为,且满足,则的值为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 把转化为,然后借助于已知得答案.‎ ‎【详解】解:等差数列、前项和分别为,,且,‎ 得.‎ 故选.‎ ‎【点睛】本题考查等差数列的性质,考查等差数列的前项和,考查数学转化思想方法,是中档题.‎ ‎11.在中,,,,在边的中线上,则的最小值为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题可设,然后将用向量作为基底向量表示出来,再根据向量的运算,即可将问题转化为二次函数求最值问题.‎ ‎【详解】解:由题意,画图如下:‎ 可设,‎ ‎,,.‎ ‎,‎ ‎.‎ ‎.‎ 由二次函数的性质,可知:‎ 当时,取得最小值.‎ 故选:.‎ ‎【点睛】本题主要考查基底向量的设立以及用基底向量表示所求向量,最后转化为二次函数求最值问题,本题属基础题.‎ ‎12.古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数.如将一定数目的点在等距离的排列下可以形成一个等边三角形,这样的数被称为三角形数.如图所示,三角形数,,,……在这个自然数中三角形数的个数是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出这一列数的通项,即可求出在中三角形数的个数.‎ ‎【详解】解:由题意知,,……可归纳为 则,故在中三角形数的个数为个.‎ 故选 ‎【点睛】本题考查数列的通项公式,及数列的项的计算,属于基础题.‎ 第Ⅱ卷(共90分)‎ 二、填空题:本大共4小题,每小题5分,满分20分.‎ ‎13.在ΔABC中,已知a=1,b=, A=30°,则B等于____________;‎ ‎【答案】或 ‎【解析】‎ 分析:根据正弦定理求解即可.‎ 详解:由正弦定理可知,解得,故解得或 点睛:本题为易错题,根据大角对大边,正弦值在一、二象限均有取值,只要角大于角即可.‎ ‎14.如果数列的前项和,则此数列的通项公式__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用数列中与关系,得出,但,由此判定数列从第项起为等比数列,通项公式可求.‎ ‎【详解】解:当时,,得.当时,,得,当时,不成立,故数列为从第项起为等比数列.‎ 故答案为 ‎【点睛】本题考查利用数列中与关系求数列通项,考查等比数列判定,通项公式求解.需具有转化、变形、计算能力.‎ ‎15.某人为测出所住小区的面积,进行了一些测量工作,最后将所住小区近似地画成如图所示的四边形,测得的数据如图所示,则该图所示的小区的面积是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 连结,由余弦定理可求,在中由正弦定理可求,利用面积公式分别求出,,即可求出四边形的面积.‎ ‎【详解】解:如图,连结,由余弦定理可知,‎ 故,,,,‎ 在中由正弦定理得:,‎ 即,‎ 故.‎ 故答案为 ‎【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理及三角形面积公式,属于基础题.‎ ‎16.已知等差数列中,,公差d>0,则使得前n项和取得最小值时的正整数n的值是______.‎ ‎【答案】6或7‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将转化为的形式,得到,即,由此判断前或项的和最小.‎ 详解】]由且得,,且,即,即 ‎,即,故且最小.‎ ‎【点睛】本题主要考查利用基本元的思想,求等差数列的前项和取得最小值时的值.直接用等差数列的通项公式,将已知条件转化为的形式,由此得到为零,从而求得使等差数列的前项和取得最小值时的值.属于中档题.‎ 三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.记为等差数列的前项和,已知,.‎ ‎ (1)求的通项公式;‎ ‎ (2)求,并求的最小值.‎ ‎【答案】(1)an=2n–9,(2)Sn=n2–8n,最小值为–16.‎ ‎【解析】‎ 分析:(1)根据等差数列前n项和公式,求出公差,再代入等差数列通项公式得结果,(2)根据等差数列前n项和公式得的二次函数关系式,根据二次函数对称轴以及自变量为正整数求函数最值.‎ 详解:(1)设{an}的公差为d,由题意得3a1+3d=–15.‎ 由a1=–7得d=2.‎ 所以{an}的通项公式为an=2n–9.‎ ‎(2)由(1)得Sn=n2–8n=(n–4)2–16.‎ 所以当n=4时,Sn取得最小值,最小值为–16.‎ 点睛:数列是特殊的函数,研究数列最值问题,可利用函数性质,但要注意其定义域为正整数集这一限制条件.‎ ‎18.如图,在中,,是边上一点,,,,为锐角.‎ ‎(1)求角大小;‎ ‎(2)求的长.‎ ‎【答案】(1)(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)在三角形中,利用正弦定理表示出,求出,确定出的度数;‎ ‎(2)在中,设,由余弦定理可得,即可求出的长.‎ ‎【详解】(1)在中,,,‎ 由正弦定理可得,,即,‎ ‎,‎ 为锐角,,‎ ‎(2)在中,设,‎ 由正弦定理可得,‎ ‎,‎ 即,‎ ‎,即.‎ ‎【点睛】考查了正弦、余弦定理,以及特殊角的三角函数值,熟练掌握定理是解本题的关键.‎ ‎19.数列满足,,.‎ ‎(1)设,证明是等差数列;‎ ‎(2)求的通项公式.‎ ‎【答案】(1)证明见解析(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)要证是等差数列,即证,即由已知可得.‎ ‎(2)由(1)可得,利用累加法,求出数列的通项公式.‎ ‎【详解】(1)由得,‎ 又,‎ 所以是首项为,公差为的等差数列;‎ ‎(2)由(1)得,,‎ 由得,,‎ 则,,,,, ‎ 所以 ‎,‎ 又,‎ 所以的通项公式.‎ ‎【点睛】本题考查:①用定义法证明等差数列;②等差数列的通项公式;③累加法求数列的通项公式;形如“”的递推关系式,求通项时一般利用累加法,属于中档题.‎ ‎20.的内角,,的对边分别为,,,且.‎ ‎(1)求;‎ ‎(2)若,求 ‎【答案】(1)(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由正弦定理化简已知等式可得:,由余弦定理可得,结合范围,可求的值.‎ ‎(2)可设,,由余弦定理可得,再由余弦定理,得,利用同角三角函数基本关系式可求的值.‎ ‎【详解】(1)由及正弦定理可得:‎ ‎,即.‎ 由余弦定理可得,‎ 又,.‎ ‎(2),所以可设,,则由余弦定理可得 ‎,,‎ 再由余弦定理得,‎ 故,.‎ ‎【点睛】本题主要考查了正弦定理,余弦定理,三角函数恒等变换的应用,考查了计算能力和转化思想,属于中档题.‎ ‎21.已知是等差数列,是各项为正数的等比数列,且,,.‎ ‎⑴求数列和的通项公式;‎ ‎⑵若,求数列的前项和.‎ ‎【答案】(1) ,;(2) .‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设等差数列的公差为,等比数列的公比为,根据等差数列和等比数列的通项公式,结合已知条件,,.可列出关于的方程组,解方程组求出的值,最后求出数列和的通项公式;‎ ‎(2)用错位相消法,结合等比数列前项和公式,可以求出数列的前项和.‎ ‎【详解】(1)设等差数列的公差为,等比数列的公比为,‎ 因为,,所以有,所以 ‎,.‎ ‎(2)因为,.,所以,‎ 因此①,‎ ‎②,①—②得:‎ ‎,‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题考查了等比数列和等差数列的通项公式,考查了用错位相消法求数列前项和.‎ ‎22.已知、、、为同一平面上的四个点,且满足,,设,的面积为,的面积为.‎ ‎(1)当时,求的值;‎ ‎(2)当时,求的值.‎ ‎【答案】(1).‎ ‎(2).‎ ‎【解析】‎ 试题分析:(I)在中,由余弦定理得,在中,由余弦定理得到,即可求解的值;(II)由,得到,从而 ‎,由此能求出.‎ 试题解析:(Ⅰ)在中,由余弦定理得 所以 在中,由余弦定理得 所以 所以.‎ ‎(Ⅱ)‎ 因为,所以 所以 解得 考点:余弦定理;三角函数的恒等变换.‎ ‎【方法点晴】本题主要考查了三角形的面积的求法等问题,其中解答中涉及到三角形的面积,余弦定理,三角恒等变换等知识点综合考查,着重考查了学生分析问题和解答问题的能力,以及推理与运算能力,同时考查了转化与化归思想,解题是要认真审题,注意余弦定理的合理运用,试题有一定的难度,属于中档试题.‎

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