数学卷·2018届辽宁省葫芦岛一中高二上学期期中数学试卷（理科） （解析版） 22页

‎2016-2017学年辽宁省葫芦岛一中高二（上）期中数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ‎1．下列命题中，是正确的全称命题的是（　　）‎ A．对任意的a，b∈R，都有a2+b2﹣2a﹣2b+2＜0‎ B．菱形的两条对角线相等 C．存在实数x，使得 D．对数函数在定义域上是单调函数 ‎2．设a，b，c为实数，“ac=b2”是“a，b，c成等比数列”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎3．方程=1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围是（　　）‎ A．（4，+∞） B．（4，7） C．（7，10） D．（4，10）‎ ‎4．已知x＞0，y＞0，且+=1，则x+y的最小值是（　　）‎ A．4 B．12 C．16 D．18‎ ‎5．已知F1，F2分别是双曲线﹣=1的左、右焦点，点P在双曲线上，若点P到焦点F1的距离|PF1|=9，则|PF2|=（　　）‎ A．1 B．17 C．1或17 D．25‎ ‎6．{an}为等差数列，Sn为其前n项和，a7=5，S7=21，则S10=（　　）‎ A．40 B．35 C．30 D．28‎ ‎7．设x，y满足约束条件则的取值范围是（　　）‎ A．[，] B．[，] C．[，] D．[，+∞]‎ ‎8．已知F1、F2是椭圆的两个焦点，满足•=0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（　　）‎ A．（0，1） B．（0，] C．（0，） D．[，1）‎ ‎9．在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，，AB=AC=AA1=1，已知G和E分别为A1B1和CC1的中点，D与F分别为线段AC和AB上的动点（不包括端点），若GD⊥EF，则线段DF的长度的取值范围为（　　）‎ A．[，1） B．[，1] C．（，1） D．[，1）‎ ‎10．设a＞0，b＞0，且不等式++≥0恒成立．则实数k的最小值等于（　　）‎ A．4 B．0 C．﹣2 D．﹣4‎ ‎11．已知双曲线（a＞0，b＞0）的右顶点、左焦点分别为A、F，点B（0，﹣b），||=||，则双曲线的离心率值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．过x轴上点P（a，0）的直线与抛物线y2=8x交于A，B两点，若+为定值，则a的值为（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分 ‎13．若向量=（1，1，x），=（1，2，1），=（1，1，1），满足条件（﹣）•（2）=﹣2，则x=　　．‎ ‎14．设实数x，y满足条件若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为12，则+的最小值为　　．‎ ‎15．设F1，F2是双曲线的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|+|PF2|=6a，且△PF1F2的最小内角为30°，则C的渐近线方程为　　．‎ ‎16．P是以F1，F2为焦点的椭圆上的任意一点，若∠PF1F2=α，∠PF2F1=β，且cosα=，sin（α+β）=，则此椭圆的离心率为　　．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎17．已知c＞0，且c≠1，设p：函数y=cx在R上单调递减；q：函数f（x）=x2﹣2cx+1在（，+∞）上为增函数，若“p且q”为假，“p或q”为真，求实数c的取值范围．‎ ‎18．设椭圆C： +=1（a＞b＞0）过点（0，4），离心率为．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）求过点（3，0）且斜率为的直线被椭圆所截得线段的中点坐标．‎ ‎19．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°．‎ ‎（Ⅰ）证明：AB⊥A1C；‎ ‎（Ⅱ）若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB=CB，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值．‎ ‎20．正数数列{an}的前n项和为Sn，已知对于任意的n∈Z+，均有Sn与1正的等比中项等于an与1的等差中项．‎ ‎（1）试求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）设bn=，数列{bn}的前n项和为Tn，求证：Tn＜．‎ ‎21．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，E，F分别为PA，BD中点，PA=PD=AD=2．‎ ‎（Ⅰ）求证：EF∥平面PBC；‎ ‎（Ⅱ）求二面角E﹣DF﹣A的余弦值；‎ ‎（Ⅲ）在棱PC上是否存在一点G，使GF⊥平面EDF？若存在，指出点G的位置；若不存在，说明理由．‎ ‎22．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，过点A的直线l交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D，且有丨FA丨=丨FD丨．当点A的横坐标为3时，△ADF为正三角形．‎ ‎（Ⅰ）求C的方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线l1∥l，且l1和C有且只有一个公共点E，‎ ‎（ⅰ）证明直线AE过定点，并求出定点坐标；‎ ‎（ⅱ）△ABE的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年辽宁省葫芦岛一中高二（上）期中数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ‎1．下列命题中，是正确的全称命题的是（　　）‎ A．对任意的a，b∈R，都有a2+b2﹣2a﹣2b+2＜0‎ B．菱形的两条对角线相等 C．存在实数x，使得 D．对数函数在定义域上是单调函数 ‎【考点】全称命题．‎ ‎【分析】通过配方判断出A是假命题；通过菱形及矩形对角线的性质判断出B是假命题；通过含存在量词判断出C不是全称命题；通过对数函数的单调性判断出D是真命题．‎ ‎【解答】解：对于A，任意的a，b∈R，a2+b2﹣2a﹣2b+2=（a﹣1）2+（b﹣1）2≥0，所以A不正确 对于B，菱形的对角线垂直，矩形的对角线相等，故B不正确 对于C，此命题不是全称命题 对于D，是全称命题且是真命题 故选D ‎　‎ ‎2．设a，b，c为实数，“ac=b2”是“a，b，c成等比数列”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】先证明必要性，由a、b、c成等比数列，根据等比数列的性质可得b2=ac；再证充分性，可以举一个反例，满足b2=ac，但a、b、c不成等比数列，从而得到正确的选项．‎ ‎【解答】解：若a、b、c成等比数列，‎ 根据等比数列的性质可得：b2=ac；‎ 若b=0，a=2，c=0，满足b2=ac，但a、b、c显然不成等比数列，‎ 则“b2=ac”是“a、b、c成等比数列”的必要不充分条件．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎3．方程=1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围是（　　）‎ A．（4，+∞） B．（4，7） C．（7，10） D．（4，10）‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】直接由题意列关于k的不等式组得答案．‎ ‎【解答】解：∵=1表示焦点在x轴上的椭圆，‎ ‎∴，解得7＜k＜10．‎ ‎∴实数k的取值范围是（7，10）．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎4．已知x＞0，y＞0，且+=1，则x+y的最小值是（　　）‎ A．4 B．12 C．16 D．18‎ ‎【考点】基本不等式．‎ ‎【分析】将x+y写成x+y乘以的形式，再展开，利用基本不等式，注意等号成立的条件．‎ ‎【解答】解：∵=1‎ ‎∴x+y=（）（x+y）=10++≥10+2=16‎ 当且仅当=时，取等号．‎ 则x+y的最小值是16．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎5．已知F1，F2分别是双曲线﹣=1的左、右焦点，点P在双曲线上，若点P到焦点F1的距离|PF1|=9，则|PF2|=（　　）‎ A．1 B．17 C．1或17 D．25‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】根据双曲线的定义可知：丨|PF1|﹣|PF2|丨=2a=8，|PF1|=9，解得|PF2|=17或|PF2|=1（舍去），则|PF2|=17．‎ ‎【解答】解：双曲线﹣=1，可得a=4，‎ 由双曲线的定义可得：丨|PF1|﹣|PF2|丨=2a=8，|PF1|=9，‎ ‎∴|PF2|=17或|PF2|=1（舍去），‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎6．{an}为等差数列，Sn为其前n项和，a7=5，S7=21，则S10=（　　）‎ A．40 B．35 C．30 D．28‎ ‎【考点】等差数列的前n项和．‎ ‎【分析】分别利用等差数列的通项公式及求和公式表示已知条件，然后求出得a1，d，在代入求和公式即可求解 ‎【解答】解：由题意可得，‎ 解可得a1=1，d=‎ ‎∴=40‎ 故选A ‎　‎ ‎7．设x，y满足约束条件则的取值范围是（　　）‎ A．[，] B．[，] C．[，] D．[，+∞]‎ ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△AB0及其内部．目标函数=k，表示直线PQ的斜率，其中P（x，y）为区域内的动点，点Q的坐标为（﹣2，﹣1）．运动点P并加以观察，可得k的最小值和最大值，由此即可得到的取值范围．‎ ‎【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，‎ 得到如图的△AB0及其内部，其中A（2，2），B（0，），0（0，0）‎ 设P（x，y）为区域内的动点，定点Q的坐标为（﹣2，﹣1），则PQ的斜率k=，‎ 运动点P并加以观察，得直线PQ的倾斜角为锐角 当P与原点0重合时，k达到最小值，kmin==；当P与点B重合时，k达到最大值，kmax==‎ 由此可得PQ的斜率k的取值范围是[，]，即目标函数的取值范围是[，]．‎ 故选：A ‎　‎ ‎8．已知F1、F2是椭圆的两个焦点，满足•=0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（　　）‎ A．（0，1） B．（0，] C．（0，） D．[，1）‎ ‎【考点】椭圆的应用．‎ ‎【分析】由•=0知M点的轨迹是以原点O为圆心，半焦距c为半径的圆．又M点总在椭圆内部，∴c＜b，c2＜b2=a2﹣c2．由此能够推导出椭圆离心率的取值范围．‎ ‎【解答】解：设椭圆的半长轴、半短轴、半焦距分别为a，b，c，‎ ‎∵•=0，‎ ‎∴M点的轨迹是以原点O为圆心，半焦距c为半径的圆．‎ 又M点总在椭圆内部，‎ ‎∴该圆内含于椭圆，即c＜b，c2＜b2=a2﹣c2．‎ ‎∴e2=＜，∴0＜e＜．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎9．在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，，AB=AC=AA1=1，已知G和E分别为A1B1和CC1的中点，D与F分别为线段AC和AB上的动点（不包括端点），若GD⊥EF，则线段DF的长度的取值范围为（　　）‎ A．[，1） B．[，1] C．（，1） D．[，1）‎ ‎【考点】多面体和旋转体表面上的最短距离问题．‎ ‎【分析】根据直三棱柱中三条棱两两垂直，本题考虑利用空间坐标系解决．建立如图所示的空间直角坐标系，设出F、D的坐标，利用GD⊥EF求得关系式，写出DF的表达式，然后利用二次函数求最值即可．‎ ‎【解答】解：建立如图所示的空间直角坐标系，则A（0，0，0），E（0，1，），‎ G（，0，1），F（x，0，0），D（0，y，0）‎ 由于GD⊥EF，所以x+2y﹣1=0‎ DF==‎ 当y=时，线段DF长度的最小值是 当y=1时，线段DF长度的最大值是 1‎ 而不包括端点，故y=1不能取；‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎10．设a＞0，b＞0，且不等式++≥0恒成立．则实数k的最小值等于（　　）‎ A．4 B．0 C．﹣2 D．﹣4‎ ‎【考点】函数恒成立问题．‎ ‎【分析】先分离出参数k，得k≥﹣（+）（a+b），然后利用基本不等式求得﹣（+）（a+b）的最大值即可．‎ ‎【解答】解：由++≥0，得k≥﹣（+）（a+b），‎ ‎∵﹣（+）（a+b）=﹣（2+）=﹣4，‎ 当且仅当a=b时取等号，‎ ‎∴k≥﹣4，即实数k的最小值等于﹣4，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎11．已知双曲线（a＞0，b＞0）的右顶点、左焦点分别为A、F，点B（0，﹣b），||=||，则双曲线的离心率值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】先利用||=||，推导出∠ABF=90°，再由射影定理得b2=ca，由此能求出该双曲线的离心率．‎ ‎【解答】解：∵||=||，‎ ‎∴=0，‎ ‎∴∠ABF=90°，‎ 由射影定理得OB2=OF×OA，‎ ‎∴b2=ca，‎ 又∵c2=a2+b2，‎ ‎∴c2=a2+ca，‎ ‎∴a2+ca﹣c2=0，‎ ‎∴1+e﹣e2=0，‎ 解得e=或（舍），‎ ‎∴e=．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎12．过x轴上点P（a，0）的直线与抛物线y2=8x交于A，B两点，若+为定值，则a的值为（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】设直线AB的方程为：x=my+a，与y2=8x联立得y2﹣8my﹣8a=0，利用韦达定理可求得+=，由它为定值可求得a的值．‎ ‎【解答】解：设直线AB的方程为：x=my+a，‎ 代入y2=8x得y2﹣8my﹣8a=0；‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=8m，y1•y2=﹣8a，‎ AP2=+=+=（m2+1），‎ 同理，BP2=（m2+1），‎ ‎∴+=（+）‎ ‎=•‎ ‎=•‎ ‎=，‎ ‎∵+为定值，是与m无关的常数，‎ ‎∴a=4．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分 ‎13．若向量=（1，1，x），=（1，2，1），=（1，1，1），满足条件（﹣）•（2）=﹣2，则x=　2　．‎ ‎【考点】空间向量的数量积运算．‎ ‎【分析】由条件（﹣）•（2）=﹣2，化简可得2（1﹣x）=﹣2，由此求得x的值．‎ ‎【解答】解：由题意向量=（1，1，x），=（1，2，1），=（1，1，1），满足条件（﹣）•（2）=﹣2‎ 所以（﹣）•（2）=（0，0，1﹣x）•（2，4，2）=2（1﹣x）=﹣2，‎ 可得x=2，‎ 故答案为：2．‎ ‎　‎ ‎14．设实数x，y满足条件若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为12，则+的最小值为　　．‎ ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】由约束条件作出可行域，求出最优解，把最优解的坐标代入目标函数得到，然后利用基本不等式求最值．‎ ‎【解答】解：由约束条件作出可行域如图，‎ 联立，解得B（4，6），‎ 化目标函数z=ax+by为，‎ 由图可知，当直线过B时z有最大值，‎ 为4a+6b=12，即，‎ 则+=（+）（）=．‎ 当且仅当，即a=b=时上式等号成立．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎15．设F1，F2是双曲线的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|+|PF2|=6a，且△PF1F2的最小内角为30°，则C的渐近线方程为　　．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】如图所示，不妨设点P在双曲线的右支上．由双曲线定义可得|PF1|﹣|PF2|=2a，又|PF1|+|PF2|=6a，联立解得．由于4a＞2a，|F1F2|=2c＞2a．可知∠PF1F2是最小角，因此．由余弦定理可得：﹣2‎ ‎，化为=0，解得e=．再利用，解得即可．‎ ‎【解答】解：如图所示，‎ 不妨设点P在双曲线的右支上．‎ 则|PF1|﹣|PF2|=2a，又|PF1|+|PF2|=6a，‎ 联立解得．‎ ‎∵4a＞2a，|F1F2|=2c＞2a．‎ ‎∴∠PF1F2是最小角，因此．‎ 由余弦定理可得：﹣2，‎ ‎∴（2a）2=（4a）2+（2c）2﹣2×4a×2c•cos30°，‎ 化为=0，‎ ‎∴，‎ 解得e=．‎ ‎∴，‎ 解得．‎ ‎∴渐近线方程为．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎16．P是以F1，F2为焦点的椭圆上的任意一点，若∠PF1F2=α，∠PF2F1=β，且cosα=，sin（α+β）=，则此椭圆的离心率为　　．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】先计算sinβ，设|PF1|=m，|PF2|=n，再利用正弦定理求出n=，m=，利用余弦定理，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：∵cosα=，sin（α+β）=，‎ ‎∴sinα=，cos（α+β）=±，‎ ‎∴sinβ=sin[（α+β）﹣α]= • + • =或•﹣•＜0（舍去），‎ 设|PF1|=m，|PF2|=n，则由正弦定理可得，‎ ‎∴m=n，‎ ‎∵m+n=2a，‎ ‎∴n=，m=‎ 由余弦定理可得，‎ 整理可得，‎ ‎∵0＜e＜1，‎ ‎∴e=．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎17．已知c＞0，且c≠1，设p：函数y=cx在R上单调递减；q：函数f（x）=x2﹣2cx+1在（，+∞）上为增函数，若“p且q”为假，“p或q”为真，求实数c的取值范围．‎ ‎【考点】复合命题的真假．‎ ‎【分析】由函数y=cx在R上单调递减，知p：0＜c＜1，￢p：c＞1；由f（x）=x2﹣2cx+1在（，+∞）上为增函数，知q：0＜c≤，￢q：c＞且c≠1．由“p或q”为真，“p且q”为假，知p真q假，或p假q真，由此能求出实数c的取值范围．‎ ‎【解答】解∵函数y=cx在R上单调递减，∴0＜c＜1．‎ 即p：0＜c＜1，‎ ‎∵c＞0且c≠1，∴￢p：c＞1．‎ 又∵f（x）=x2﹣2cx+1在（，+∞）上为增函数，∴c≤．‎ 即q：0＜c≤，‎ ‎∵c＞0且c≠1，∴￢q：c＞且c≠1．‎ 又∵“p或q”为真，“p且q”为假，‎ ‎∴p真q假，或p假q真．‎ ‎①当p真，q假时，{c|0＜c＜1}∩{c|c＞，且c≠1}={c|}．‎ ‎②当p假，q真时，{c|c＞1}∩{c|0＜c}=∅．[]‎ 综上所述，实数c的取值范围是{c|}．‎ ‎　‎ ‎18．设椭圆C： +=1（a＞b＞0）过点（0，4），离心率为．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）求过点（3，0）且斜率为的直线被椭圆所截得线段的中点坐标．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．‎ ‎【分析】（1）椭圆C： +=1（a＞b＞0）过点（0，4），可求b，利用离心率为，求出a，即可得到椭圆C的方程；‎ ‎（2）过点（3，0）且斜率为的直线为y=（x﹣3），代入椭圆C方程，整理，利用韦达定理，确定线段的中点坐标．‎ ‎【解答】解：（1）将点（0，4）代入椭圆C的方程得=1，∴b=4，…‎ 由e==，得1﹣=，∴a=5，…‎ ‎∴椭圆C的方程为+=1．…‎ ‎（2）过点（3，0）且斜率为的直线为y=（x﹣3），…‎ 设直线与椭圆C的交点为A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 将直线方程y=（x﹣3）代入椭圆C方程，整理得x2﹣3x﹣8=0，…‎ 由韦达定理得x1+x2=3，‎ y1+y2=（x1﹣3）+（x2﹣3）=（x1+x2）﹣=﹣．…‎ 由中点坐标公式AB中点横坐标为，纵坐标为﹣，‎ ‎∴所截线段的中点坐标为（，﹣）．…‎ ‎　‎ ‎19．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°．‎ ‎（Ⅰ）证明：AB⊥A1C；‎ ‎（Ⅱ）若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB=CB，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值．‎ ‎【考点】直线与平面所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系．‎ ‎【分析】（Ⅰ）取AB中点，连接OC，OA1，得出OC⊥AB，OA1⊥AB，运用AB⊥平面OCA1，即可证明．‎ ‎（Ⅱ）易证OA，OA1，OC两两垂直．以O为坐标原点，的方向为x轴的正向建立坐标系，可向量的坐标，求出平面BB1C1C的法向量，代入向量夹角公式，可得答案．‎ ‎【解答】（Ⅰ）证明：取AB中点，连接OC，OA1，‎ ‎∵CA=CB，AB=A1A，∠BAA1=60°‎ ‎∴OC⊥AB，OA1⊥AB，‎ ‎∵OC∩OA1=O，‎ ‎∴AB⊥平面OCA1，‎ ‎∵CA1⊂平面OCA1，‎ ‎∴AB⊥A1C；‎ ‎（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知OC⊥AB，OA1⊥AB，又平面ABC⊥平面AA1B1B，交线为AB，‎ 所以OC⊥平面AA1B1B，故OA，OA1，OC两两垂直．‎ 以O为坐标原点，的方向为x轴的正向，建立如图所示的坐标系，‎ 可得A（1，0，0），A1（0，，0），C（0，0，），B（﹣1，0，0），‎ 则=（1，0，），==（﹣1，，0），=（0，﹣，），‎ 设=（x，y，z）为平面BB1C1C的法向量，‎ 则，‎ 可取y=1，可得 =（，1，﹣1），故cos＜，＞=﹣，‎ 又因为直线与法向量的余弦值的绝对值等于直线与平面的正弦值，‎ 故直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值为：﹣．‎ ‎　‎ ‎20．正数数列{an}的前n项和为Sn，已知对于任意的n∈Z+，均有Sn与1正的等比中项等于an与1的等差中项．‎ ‎（1）试求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）设bn=，数列{bn}的前n项和为Tn，求证：Tn＜．‎ ‎【考点】数列的求和；数列递推式．‎ ‎【分析】（1）由条件等差中项、等比中项的定义，求得：an+1﹣an=2，可得数列{an}为公差d=2的等差数列，再结合a1=1，求得{an}的通项公式．‎ ‎（2）先化简数列{bn}的通项公式，再利用裂项法求得它的前n项和，可得结论．‎ ‎【解答】解：（1）由题意得：，故…①，又…②，‎ ‎②﹣①得：，整理得：（an+1+an）（an+1﹣an﹣2）=0．‎ 由已知an＞0，∴an+1+an＞0，故an+1﹣an﹣2=0，‎ 即an+1﹣an=2，所以数列{an}为公差d=2的等差数列．‎ 又由可得：a1=1，∴an=1+（n﹣1）•2=2n﹣1．‎ ‎（2）由题意可得，‎ ‎∴Tn=b1+b2+…+bn= [1﹣+﹣+…+﹣= [1﹣]＜．‎ ‎　‎ ‎21．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，E，F分别为PA，BD中点，PA=PD=AD=2．‎ ‎（Ⅰ）求证：EF∥平面PBC；‎ ‎（Ⅱ）求二面角E﹣DF﹣A的余弦值；‎ ‎（Ⅲ）在棱PC上是否存在一点G，使GF⊥平面EDF？若存在，指出点G的位置；若不存在，说明理由．‎ ‎【考点】直线与平面平行的判定；与二面角有关的立体几何综合题．‎ ‎【分析】（Ⅰ）作AB的中点H，连接EH，FH，先利用面面平行的判定定理证明出平面EFH∥平面PBC，进而根据面面平行的性质证明出EF∥平面PBC．‎ ‎（Ⅱ）做EI垂直AD于I，作IJ⊥DB=J，连接EJ，做AD中点O，连接OP，先证明出∠EJI为二面角E﹣DF﹣A的平面角，进而求得JI和EJ，最后在直角三角形中求得cos∠EJI．‎ ‎（Ⅲ）先假设存在点G，建立空间直角坐标系，求得平面EFD的一个法向量，仅而表示出和，根据向量共线的性质建立等式对λ求解．‎ ‎【解答】（Ⅰ）作AB的中点H，连接EH，FH，‎ ‎∵在△PAB中，E，H为中点，‎ ‎∴EH∥PB，‎ ‎∵EH⊄平面PBC，PB⊂平面PBC，‎ ‎∴EH∥平面PBC，‎ 同理可证明FH∥平面PBC，‎ ‎∵EH⊂平面EFH，FH⊂平面EFH，EH∩FH=H，‎ ‎∴平面EFH∥平面PBC，‎ ‎∵EF⊂平面EFH，‎ ‎∴EF∥平面PBC．‎ ‎（Ⅱ）做EI垂直AD于I，作IJ⊥DB=J，连接EJ，做AD中点O，连接OP，‎ ‎∵PA=PD，‎ ‎∴OP⊥AB，‎ ‎∵EI⊥AB，‎ ‎∴EI∥OP，‎ ‎∵E为中点，‎ ‎∴EI=OP=，AE=AB=，‎ ‎∵侧面PAD⊥底面ABCD，‎ ‎∴EI⊥底面ABCD，‎ ‎∵IJ⊥DB，‎ ‎∴EJ⊥DB，‎ ‎∴∠EJI为二面角E﹣DF﹣A的平面角，‎ ‎∵∠ADB=∠JIB，∠DJI=∠DAB=90°，‎ ‎∴△DJI∽△ADB，‎ ‎∴=， =，‎ ‎∴JI=‎ ‎∴EJ===，‎ ‎∴cos∠EJI===．‎ 即二面角E﹣DF﹣A的余弦值为．‎ ‎（Ⅲ）不存在．‎ 假设存在，连接AC，BD，交于点F，EF为平面EDF和平面PAC的交线，‎ 以O为原点，OA，OF，OP分别为xyz轴建立空间直角坐标系．则A（1，0，0），‎ B（1，2，0），C（﹣1，2，0），D（﹣1，0，0），‎ P（O，O，），E（，0，），F（0，1，0），设G（x1，y1，z1），则=（x1，1﹣y1，z1），‎ 设平面EFD的一个法向量是n=（x0，y0，z0），‎ ‎∵，‎ 即，令x0=1，则n=（1，﹣1，﹣），‎ ‎∵因为GF⊥面EDF，‎ ‎∴=λ，‎ ‎∴x1=λ，y1﹣1=﹣λ，z1=﹣λ，‎ ‎∵，共线， =（﹣1，2，﹣），‎ ‎=（x1+1，y1﹣2，z1），‎ ‎∴==，‎ ‎∴==，无解，‎ 故在棱PC上不存在一点G，故在棱PC上不存在一点G，使GF⊥平面EDF．‎ ‎　‎ ‎22．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，过点A的直线l交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D，且有丨FA丨=丨FD丨．当点A的横坐标为3时，△ADF为正三角形．‎ ‎（Ⅰ）求C的方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线l1∥l，且l1和C有且只有一个公共点E，‎ ‎（ⅰ）证明直线AE过定点，并求出定点坐标；‎ ‎（ⅱ）△ABE的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；抛物线的标准方程．‎ ‎【分析】（1）根据抛物线的焦半径公式，结合等边三角形的性质，求出的p值；‎ ‎（2）（ⅰ）设出点A的坐标，求出直线AB的方程，利用直线l1∥l，且l1和C有且只有一个公共点E，求出点E的坐标，写出直线AE的方程，将方程化为点斜式，可求出定点；‎ ‎（ⅱ） 利用弦长公式求出弦AB的长度，再求点E到直线AB的距离，得到关于面积的函数关系式，再利用基本不等式求最小值．‎ ‎【解答】解：（1）当点A的横坐标为3时，过点A作AG⊥x轴于G，‎ A（3，），F（，0），，‎ ‎∴．‎ ‎∵△ADF为正三角形，‎ ‎∴．‎ ‎ 又∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴p=2．‎ ‎∴C的方程为y2=4x．‎ 当D在焦点F的左侧时，．‎ 又|FD|=2|FG|=2（﹣3）=p﹣6，‎ ‎∵△ADF为正三角形，‎ ‎∴3+=p﹣6，解得p=18，‎ ‎∴C的方程为y2=36x．此时点D在x轴负半轴，不成立，舍．‎ ‎∴C的方程为y2=4x．‎ ‎ （2）（ⅰ）设A（x1，y1），|FD|=|AF|=x1+1，‎ ‎∴D（x1+2，0），‎ ‎∴kAD=﹣．‎ 由直线l1∥l可设直线l1方程为，‎ 联立方程，消去x得 ①‎ 由l1和C有且只有一个公共点得△=64+32y1m=0，∴y1m=﹣2，‎ 这时方程①的解为，代入得x=m2，∴E（m2，2m）．‎ 点A的坐标可化为，直线AE方程为y﹣2m=（x﹣m2），‎ 即，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴直线AE过定点（1，0）；‎ ‎（ⅱ）直线AB的方程为，即．‎ 联立方程，消去x得，‎ ‎∴，‎ ‎∴=，‎ 由（ⅰ）点E的坐标为，点E到直线AB的距离为：‎ ‎=，‎ ‎∴△ABE的面积=，‎ 当且仅当y1=±2时等号成立，‎ ‎∴△ABE的面积最小值为16．‎ ‎　‎ ‎2016年12月10日