福建省莆田市第六中学2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题（B卷） 14页

www.ks5u.com 莆田第六中2019-2020学年（上）高一期中考试 数学试卷B ‎（时间120分钟，满分150分）‎ 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确（每小题5分，共60分）．‎ ‎1.下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：A中函数不是减函数；B中函数在定义域内不是减函数；C中函数既是奇函数又是减函数；D中函数不是奇函数 考点：函数奇偶性单调性 ‎2.已知集合，集合，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别计算得到，，再计算得到答案.‎ ‎【详解】；‎ 故选：‎ ‎【点睛】本题考查了交集的计算，属于简单题.‎ ‎3.函数f（x）=‎ A. （-2,-1） B. （-1,0） C. （0,1） D. （1,2）‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：‎ ‎，所以零点在区间（0，1）上 考点：零点存性定理 ‎4.下列函数中，与函数为相同函数的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别判断函数的定义域和表达式，与函数作比较判断得到答案.‎ ‎【详解】定义域为 A. 定义域为，不相同；B. ，表达式不相同；‎ C. ，定义域为，是相同函数； D. 定义域为，不相同；‎ 故选：‎ ‎【点睛】本题考查了相同函数的判断，确定定义域和表达式是解题的关键.‎ ‎5.已知函数是定义域为的偶函数，则的值为（ ）‎ A. 0 B. C. 1 D. -1‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 函数是定义域为的偶函数，故 ‎ 函数是偶函数，故奇次项系数为0.即此时．‎ 故答案为B．‎ ‎6.三个数，，之间的大小关系是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：，，所以.‎ 考点：比较大小．‎ ‎7.函数的图形大致形状是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 按的正负分类讨论，结合指数函数图象确定结论．‎ ‎【详解】由题意，∵，∴只有C符合．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查由函数解析式选择函数图象，考查指数函数图象，这类问题可先化简函数式，然后结合基本初等函数的图象与性质确定结论．‎ ‎8.已知函数, 若在上单调递增，则实数的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据在上递增列不等式组，解不等式组求得的取值范围.‎ ‎【详解】由于在上递增，所以，解得.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本小题主要考查分段函数的单调性，考查一次函数、对数函数的单调性，属于基础题.‎ ‎9.设，且，则 ( )‎ A. B. 10 C. 20 D. 100‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将指数式化为对数值，然后利用对数运算公式化简，由此求得的值.‎ ‎【详解】由得，所以，，故选A.‎ ‎【点睛】本小题主要考查指数式和对数式互化，考查对数运算，属于基础题.‎ ‎10.某商场对顾客实行购物优惠活动规定，一次购物付款总额：‎ ‎（1）如果标价总额不超过200元，则不给予优惠；‎ ‎（2）如果标价总额超过200元但不超过500元，则按标价总额给予9折优惠；‎ ‎（3）如果标价总额超过500元，其500元内的按第（2）条给予优惠，超过500元的部分给予8折优惠.‎ 某人两次去购物，分别付款180元和423元，假设他一次性购买上述两次同样的商品，则应付款（ ）‎ A. 550元 B. 560元 C. 570元 D. 580元 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先判断第一次购物不超过200，第二次不超过500，计算得到共购物650元，再计算得到答案.‎ ‎【详解】若第一次购物超过200，则付款大于，故第一次购物不超过200元；‎ 若第二次购物超过500，则付款大于，故第二次购物不超过500元；‎ 第二次购物 合计 ‎ 付款为 ‎ 故选：‎ ‎【点睛】本题考查了分段函数的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力.‎ ‎11. 是定义在 上单调递减的奇函数，当 时， 的取值范围是 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 由函数是奇函数可得，即；由函数是单调递减函数可得，应选答案D．‎ ‎12.用表示a,b,c三个数中的最小值．设，则的最大值为（ ）‎ A. 4 B. 5 C. 6 D. 7‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简得到函数，画出函数图像得到答案.‎ ‎【详解】其中为的大于零的根.‎ 画出函数图像知：当 故选： ‎ ‎【点睛】本题考查了函数的新定义问题，分段函数最值，画出函数图像是解题的关键.‎ 二、填空题(共5小题，每小题5分，共20分)‎ ‎13.已知集合，则_____‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过求解不等式，得到集合A，然后求解补集即可．‎ ‎【详解】解不等式得，‎ 所以，‎ 所以可以求得 故答案为 ‎【点睛】本题考查不等式的解法，补集的运算，是基本知识的考查．‎ ‎14.函数的定义域是________________________．‎ ‎【答案】，‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用函数定义域的定义得到不等式计算得到答案.‎ ‎【详解】函数的定义域满足： 解得 ‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查了函数的定义域，意在考查学生的计算能力.‎ ‎15.已知函数与的图象关于直线对称，则的单调递增区间为___________________．‎ ‎【答案】，‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先计算得到，根据复合函数的单调性得到计算得到答案.‎ ‎【详解】函数与的图象关于直线对称，则 根据复合函数单调性得到的单调递增区间满足 解得 ‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查了复合函数的单调性，忽略掉定义域是容易发生的错误.‎ ‎16.当生物死亡后,其体内原有的碳14的含量大约每经过5730年衰减为原来的一半,这个时间称为“半衰期”．2019年7月6日，第43届世界遗产大会宣布，中国良渚古城遗址成功申遗，获准列入世界遗产名录．目前中国世界遗产总数已达55处，位居世界第一．今年暑期，某中学的“考古学”兴趣小组对良渚古城水利系统中一条水坝的建筑材料(草裹泥)上提取的草茎遗存进行碳14年代学检测，检测出碳14的残留量约为初始量的54%．利用参考数据：‎ ‎，请你推断上述所提取的草茎遗存物距今大约有_______________________年（精确到1年）．‎ ‎【答案】4966．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意得到方程，计算得到答案.‎ ‎【详解】设时间为，根据题意知：‎ ‎ ‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查了指数函数的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力.‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或或演算步骤）‎ ‎17.（1）计算：；‎ ‎（2）已知（且），若，求的值．‎ ‎【答案】（1）2（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）直接利用对数的计算法则得到答案.‎ ‎（2）先计算，再得到，计算得到答案.‎ ‎【详解】（1）‎ ‎（2），，‎ 又，即，‎ 则 ‎【点睛】本题考查了对数的计算，函数值的计算，意在考查学生的计算能力.‎ ‎18.已知函数的图象过点．‎ ‎（1）求实数的值，并求的定义域和值域；‎ ‎（2）解不等式．‎ ‎【答案】（1），定义域为，的值域为（2）或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将代入函数解得，再计算得到定义域，最后计算值域得到答案.‎ ‎（2）根据题意得到得到不等式计算得到答案.‎ ‎【详解】（1）由题意得，所以，‎ 所以，由得或，‎ 则的定义域为，‎ 因为，所以的值域为．‎ ‎（2）不等式，‎ 所以 解得或 所以不等式的解集为或 ‎【点睛】本题考查了对数型函数的定义域，值域，解不等式，意在考查学生的计算能力.‎ ‎19.对于函数．‎ ‎（1）定义法证明：函数为减函数；‎ ‎（2）是否存在实数使函数为奇函数？‎ ‎【答案】（1）详见解析（2）存在实数使函数为奇函数 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设任意且，计算得到证明.‎ ‎（2）根据化简得到计算得到答案.‎ ‎【详解】（1）函数的定义域为R，设任意且，‎ 则，‎ 由，得，则，，，‎ ‎，即为R上减函数；‎ ‎（2）若函数为奇函数，则，，，，即，‎ 所以存在实数使函数奇函数．‎ ‎【点睛】本题考查了定义法证明函数的单调性，根据函数的奇偶性求参数，意在考查学生对于函数性质的综合应用.‎ ‎20.设,求函数最值及相应的的值．‎ ‎【答案】时，; 时，．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎，设得到根据二次函数的单调性得到答案.‎ ‎【详解】，‎ 设，且，‎ 由于，‎ 则在上为减函数，在上为增函数，‎ ‎∴当，则，即时，‎ 又，即，‎ ‎∴当，则，即时，．‎ ‎【点睛】本题考查了函数的最值，换元可以简化运算，是解题的关键.‎ ‎21.某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比.已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元．‎ ‎（1）分别写出两类产品收益与投资额的函数关系式；‎ ‎（2）该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，怎样分配资金才能获得最大收益？其最大收益为多少万元？‎ ‎【答案】（1），；（2）债券类产品投资16万元时，收益最大，为3万元 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题意，得到，，代入求得的值，即可得到函数的解析式；‎ ‎（2）设债券类产品投资万元，可得股票类产品投资万元，求得总的理财收益的解析式，利用换元法和二次函数的性质，即可求解.‎ ‎【详解】（1）设投资债券类产品的收益与投资额的函数关系式为，‎ 投资股票类产品的收益与投资额的函数关系式为，‎ 可知，，‎ 所以，.‎ ‎（2）设债券类产品投资万元，则股票类产品投资万元，‎ 总的理财收益.‎ 令，则，，‎ 故，‎ 所以，当时，即债券类产品投资16万元时，收益最大，为3万元.‎ ‎【点睛】本题主要考查了函数的实际应用问题，其中解答中认真审题，列出函数的解析式，熟练应用函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.‎ ‎22.已知函数，是定义在上的奇函数.‎ ‎（1）求实数的值；‎ ‎（2）判断函数在上的单调性．‎ ‎【答案】（1）（2）答案不唯一，具体见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用奇函数得到，计算得到答案.‎ ‎（2）设，利用定义法证明为减函数，再讨论和，利用复合函数单调性得到答案.‎ ‎【详解】（1）因为是在上的奇函数，‎ 所以，即，‎ 所以，‎ 则，‎ 即对定义域中的都成立，所以，‎ 又，所以；‎ ‎（2）所以设，‎ 设，则 ‎∴，‎ ‎∴.‎ 当时，，即.‎ 当时，在上是减函数.‎ 当时，，即.‎ ‎∴当时，在上是增函数.‎ ‎【点睛】本题考查了函数的奇偶性，单调性，分类讨论是常用的方法，需要熟练掌握.‎ ‎ ‎