【数学】2018届一轮复习人教A版2-3妙解等差数列小题大做学案 7页

专题2.3 妙解等差数列 一、典例分析，融合贯通 典例1在等差数列中，前项和为, 求 ‎【解法1】（公式法）‎ 根据,得,即①‎ ‎ ,即 ②. 由①②得 ,‎ ‎,带入到中，得.‎ ‎【点睛之笔】在等差数列中，首项和公差是数列的灵魂 ‎【解法2】（对称性质法）‎ ‎, =.‎ ‎,所以,由等差数列性质可知.‎ ‎【点睛之笔】巧用性质，避开计算！‎ ‎【解法3】（二级结论法1）‎ 我们知道在在等差数列中，,所以,由等差数列通项公式可知是等差数列. 设数列的公差为,‎ 则,=,，所以.‎ ‎【点睛之笔】隐形结论，神来之笔！‎ ‎【解法4】（二级结论法2）‎ 在等差数列中：是等差数列，可以用到本题中. ‎ 解法3设数列,则为等差数列，公差为D ‎,前n项和为,则=100，，，可以求出，.‎ ‎【点睛之笔】巧用性质，提速神器.‎ ‎【解后反思】解法1：本题也可以设,通过已知条件求出A和B，进一步求出.‎ 解法4：通过解法4可以使学生掌握等差数列的一个性质:是等差数列，这个在很多试题里都能用到,应该灵活掌握. ‎ 典例2差数列前n项和为，已知，当最大时，n的值是( )‎ ‎ (A)5 (B)6 (C)7 (D)8‎ ‎【解法1】【通项公式法】‎ 由可得，把代入得，故，，时，最大.‎ ‎【点睛之笔】通项公式数列之根本！‎ ‎【解法2】【前n项和法】‎ ‎. 由可得，把代入得，故 ‎ ，根据二次函数性质，当n=7时，最大 ‎【点睛之笔】化通项公式为二次函数！‎ ‎【解法3】【性质法】‎ 由得，根据等差数列性质可得 ‎，根据首项等于13可推知这个数列递减，从而得到，故 时，最大.‎ ‎【点睛之笔】巧用性质妙解试题！‎ ‎【解法4】【对称性质】‎ 根据,，知这个数列的公差不等于零.由于根据公差不为零的等差数列的前n项和是关于n的二次函数，以及二次函数图象的对称性，当时，只有时，取得最大值.‎ ‎【点睛之笔】二次函数显神威！‎ ‎【解后反思】‎ 典例3若等差数列满足，则的最大值为____________.‎ ‎【解法1】（首项公差法）‎ 由，得，于是.‎ 由，得.∵，∴，‎ ‎∴令，得.‎ ‎∴.‎ ‎【点睛之笔】首项和公差是解决等差数列的万能钥匙！‎ ‎【解法2】(三角换元法)‎ 令，得 ‎，‎ 从而.‎ ‎【点睛之笔】巧妙利用三角函数的有界性！.‎ ‎【解法3】 数形结合 ‎∵，将它看作直线与圆相交或相切，‎ ‎∴‎ ‎【点睛之笔】数形结合是提高解题速度的秘密武器！‎ ‎【解后反思】解法1：在等差数列中，求等差数列的首项和公差是通法!‎ 解法2：利用进行三角换元是本题的妙手！‎ 解法3：利用点到直线距离化成线性规划问题求解，值得尝试！ ‎ 二、精选试题，能力升级 ‎1已知等差数列前9项的和为27,,则 （ ）‎ ‎（A）100 （B）99 （C）98 （D）97‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：由已知,所以故选C.‎ ‎2.已知是等差数列，公差不为零，前项和是，若，，成等比数列，则（ ）‎ A. ‎ B. C. D. ‎ ‎【答案】B.‎ ‎ 3等差数列的前项和，若，则( )‎ ‎ ‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：假设公差为,依题意可得.所以.故选C.‎ ‎4.设等差数列的公差为d，若数列为递减数列，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：因为是等差数列，则，又由于为递减数列，所以，故选C.‎ ‎5.已知公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn，若a10＝S4，则等于(　　)‎ A.4 B.5 C.8 D.10‎ ‎【答案】　A ‎【解析】　由a10＝S4得a1＋9d＝‎4a1＋d＝‎4a1＋6d，‎ 即a1＝d≠0.∴S8＝8a1＋d＝8a1＋28d＝36d，‎ ‎∴＝＝＝4.‎ ‎6已知{an}是等差数列，Sn为其前n项和，若S21＝S4 000，O为坐标原点，点P(1，an)，Q(2 011，a2 011)，则·等于(　　)‎ A.2 011 B.－2 011‎ C.0 D.1‎ ‎【答案】　A ‎ 7等差数列{an}中，已知a1＝－12，S13＝0，使得an＞0的最小正整数n为(　　)‎ A.7 B.8 C.9 D.10‎ ‎【答案】　B ‎【解析】法一　S13＝＝0，a13＝－a1＝12，d＝＝2，故an＝a1＋(n－1)d＝2n－14，解an＞0，得n＞7，故使an＞0的最小正整数n为8.‎ 法二　S13＝＝13a7＝0，得a7＝0，故a8＞0，故an＞0的最小正整数为n＝8. ‎ ‎8已知函数f(x)＝cos x，x∈(0，2π)有两个不同的零点x1，x2，且方程f(x)＝m有两个不同的实根x3，x4，若把这四个数按从小到大排列构成等差数列，则实数m等于(　　)‎ A. B.－ C. D.－ ‎【答案】　D ‎【解析】　若m＞0，则公差d＝－＝π，显然不成立，所以m＜0，‎ ‎ ‎ 则公差d＝＝.‎ 所以m＝cos＝－，故选D. ‎ ‎9已知an＝，把数列{an}的各项排列成如下的三角形形状，记A(m，n)表示第m行的第n个数，则A(10，12)＝(　　)‎ a1‎ a‎2　‎a‎3　‎a4‎ a‎5　‎a‎6　‎a‎7　‎a‎8　‎a9‎ ‎……‎ A. B. C. D. ‎【答案】　A ‎ 10已知等差数列{an}满足a1＞0，‎5a8＝‎8a13，则前n项和Sn取最大值时，n的值为(　　)‎ A.20 B‎.21 C.22 D.23‎ ‎【解析】　由‎5a8＝‎8a13得5(a1＋7d)＝8(a1＋12d)⇒d＝－a1，‎ 由an＝a1＋(n－1)d ‎＝a1＋(n－1)≥0，‎ 得n≤＝21，‎ ‎∴数列{an}前21项都是正数，以后各项都是负数，故Sn取最大值时，n的值为21.‎