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- 2021-06-11 发布
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1．若函数f(x)在R上可导，且满足f(x)－xf′(x)>0，则( )
A．3f(1)f(3)
C．3f(1)＝f(3) D．f(1)＝f(3)
答案 B
解析 由于f(x)>xf′(x)，则′＝<0恒成立，因此在R上是减函数，
∴<，即3f(1)>f(3)．故选B.
2．若函数f(x)＝kx－ln x在区间(1，＋∞)上是增加的，则k的取值范围是( )
A．(－∞，－2] B．(－∞，－1]
C．[2，＋∞) D．[1，＋∞)
答案 D
解析 由于f′(x)＝k－，f(x)＝kx－ln x在区间(1，＋∞)上是增加的⇔f′(x)＝k－≥0在(1，＋∞)上恒成立．
由于k≥，而0<<1，所以k≥1.
即k的取值范围为[1，＋∞)．
3．(2016·宝鸡模拟)函数f(x)＝在[－2,2]上的最大值为2，则a的范围是( )
A．[ln 2，＋∞) B．[0，ln 2]
C．(－∞，0] D．(－∞，ln 2]
答案 D
解析 当x≤0时，f′(x)＝6x2＋6x＝6x(x＋1)，
所以f(x)在(－∞，－1)上为增函数，
在(－1,0]上为减函数，
所以f(x)在x∈[－2,0]上的最大值为f(－1)＝2，
欲使得函数f(x)＝在[－2,2]上的最大值为2，
则当x＝2时，e2a的值必须小于等于2，
即e2a≤2，解得a∈(－∞，ln 2]．
4．(2016·全国甲卷)若直线y＝kx＋b是曲线y＝ln x＋2的切线，也是曲线y＝ln(x＋1)的切线，则b＝________.
答案 1－ln 2
解析 y＝ln x＋2的切线为y＝·x＋ln x1＋1(设切点横坐标为x1)，
y＝ln(x＋1)的切线为y＝x＋ln(x2＋1)－(设切点横坐标为x2)，
∴
解得x1＝，x2＝－，∴b＝ln x1＋1＝1－ln 2.
5．(2016·陕西西工大附中模拟)设函数f(x)为(－∞，0)上的可导函数，其导函数为f′(x)，且有2f(x)＋xf′(x)>x2，则不等式(x＋2 016)2f(x＋2 016)－9f(－3)>0的解集为________．
答案 {x|x<－2 019}
解析 由2f(x)＋xf′(x)>x2(x<0)，
得2xf(x)＋x2f′(x)0.
∵F(x) 在(－∞，0)上是减函数，
∴由F(x＋2 016)>F(－3)，得x＋2 016<－3，
∴x<－2 019.
题型一 利用导数研究函数性质
例1 (2015·课标全国Ⅱ)已知函数f(x)＝ln x＋a(1－x)．
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)当f(x)有最大值，且最大值大于2a－2时，求a的取值范围．
解 (1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－a.
若a≤0，则f′(x)＞0，所以f(x)在(0，＋∞)上是增加的．
若a＞0，则当x∈时，f′(x)＞0；当x∈时，f′(x)＜0.所以f(x)在上是增加的，在上是减少的．
(2)由(1)知，当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上无最大值；
当a＞0时，f(x)在x＝取得最大值，最大值为f＝ln＋a＝－ln a＋a－1.
因此f＞2a－2等价于ln a＋a－1＜0.
令g(a)＝ln a＋a－1，则g(a)在(0，＋∞)上是增加的，
g(1)＝0.
于是，当0＜a＜1时，g(a)＜0；
当a＞1时，g(a)＞0.
因此，a的取值范围是(0,1)．
思维升华 利用导数主要研究函数的单调性、极值、最值．已知f(x)的单调性，可转化为不等式f′(x)≥0或f′(x)≤0在单调区间上恒成立问题；含参函数的最值问题是高考的热点题型，解此类题的关键是极值点与给定区间位置关系的讨论，此时要注意结合导函数图像的性质进行分析．
已知a∈R，函数f(x)＝(－x2＋ax)ex (x∈R，e为自然对数的底数)．
(1)当a＝2时，求函数f(x)的递增区间；
(2)若函数f(x)在(－1,1)上是增加的，求a的取值范围．
解 (1)当a＝2时，f(x)＝(－x2＋2x)ex，
所以f′(x)＝(－2x＋2)ex＋(－x2＋2x)ex
＝(－x2＋2)ex.
令f′(x)>0，即(－x2＋2)ex>0，因为ex>0，
所以－x2＋2>0，解得－0，所以－x2＋(a－2)x＋a≥0对x∈(－1,1)都成立，
即a≥＝
＝(x＋1)－对x∈(－1,1)都成立．
令y＝(x＋1)－，则y′＝1＋>0，
所以y＝(x＋1)－在(－1,1)上是增加的，
所以y<(1＋1)－＝，即a≥.
因此a的取值范围为[， ＋∞)．
题型二 利用导数研究方程的根或函数的零点问题
例2 (2015·北京)设函数f(x)＝－kln x，k>0.
(1)求f(x)的单调区间和极值；
(2)证明：若f(x)存在零点，则f(x)在区间(1，]上仅有一个零点．
(1)解 函数的定义域为(0，＋∞)．由f(x)＝－kln x(k>0)，得f′(x)＝x－＝.
由f′(x)＝0，解得x＝(负值舍去)．
f(x)与f′(x)在区间(0，＋∞)上随x的变化情况如下表：
x
(0，)
(，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
f(x)
↘
↗
所以，f(x)的递减区间是(0，)，递增区间是(，＋∞)．
f(x)在x＝处取得极小值f()＝.
(2)证明 由(1)知，f(x)在区间(0，＋∞)上的最小值为f()＝.
因为f(x)存在零点，所以≤0，从而k≥e，
当k＝e时，f(x)在区间(1，]上是减少的且f()＝0，
所以x＝是f(x)在区间(1，]上的唯一零点．
当k>e时，f(x)在区间(0，)上是减少的且f(1)＝>0，f()＝<0，
所以f(x)在区间(1，]上仅有一个零点．
综上可知，若f(x)存在零点，则f(x)在区间(1，]上仅有一个零点．
思维升华 函数零点问题一般利用导数研究函数的单调性、极值等性质，并借助函数图像，根据零点或图像的交点情况，建立含参数的方程(或不等式)
组求解，实现形与数的和谐统一．
已知函数f(x)＝x3－3x2＋ax＋2，曲线y＝f(x)在点(0,2)处的切线与x轴交点的横坐标为－2.
(1)求a；
(2)证明：当k<1时，曲线y＝f(x)与直线y＝kx－2只有一个交点．
(1)解 f′(x)＝3x2－6x＋a，f′(0)＝a.
曲线y＝f(x)在点(0,2)处的切线方程为y＝ax＋2.
由题设得－＝－2，所以a＝1.
(2)证明 由(1)知，f(x)＝x3－3x2＋x＋2.
设g(x)＝f(x)－kx＋2＝x3－3x2＋(1－k)x＋4.
由题设知1－k>0.
当x≤0时，g′(x)＝3x2－6x＋1－k>0，g(x)是增加的，
g(－1)＝k－1<0，g(0)＝4，
所以g(x)＝0在(－∞，0]上有唯一实根．
当x>0时，令h(x)＝x3－3x2＋4，
则g(x)＝h(x)＋(1－k)x>h(x)．
h′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，h(x)在(0,2)上是减少的，在(2，＋∞)上是增加的，
所以g(x)>h(x)≥h(2)＝0.
所以g(x)＝0在(0，＋∞)上没有实根．
综上，g(x)＝0在R上有唯一实根，
即曲线y＝f(x)与直线y＝kx－2只有一个交点．
题型三 利用导数研究不等式问题
例3 已知f(x)＝xln x，g(x)＝－x2＋ax－3.
(1)对一切x∈(0，＋∞)，2f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围；
(2)证明：对一切x∈(0，＋∞)，都有ln x>－成立．(1)解 对一切x∈(0，＋∞)，有
2xln x≥－x2＋ax－3，则a≤2ln x＋x＋，
设h(x)＝2ln x＋x＋(x>0)，
则h′(x)＝，
当x∈(0,1)时，h′(x)<0，h(x)是减少的，
当x∈(1，＋∞)时，h′(x)>0，h(x)是增加的，
所以h(x)min＝h(1)＝4.
因为对一切x∈(0，＋∞)，
2f(x)≥g(x)恒成立，
所以a≤h(x)min＝4.
(2)证明 问题等价于证明
xln x>－(x∈(0，＋∞))．
f(x)＝xln x(x∈(0，＋∞))的最小值是－，
当且仅当x＝时取到，设m(x)＝－(x∈(0，＋∞))，则m′(x)＝，易知m(x)max＝m(1)＝－，
当且仅当x＝1时取到．
从而对一切x∈(0，＋∞)，都有ln x>－成立．
思维升华 求解不等式恒成立或有解时参数的取值范围问题，一般常用分离参数的方法，但是如果分离参数后对应的函数不便于求解其最值，或者求解其函数最值烦琐时，可采用直接构造函数的方法求解．
已知函数f(x)＝x3－2x2＋x＋a，g(x)＝－2x＋，若对任意的x1∈[－1,2]，存在x2∈[2,4]，使得f(x1)＝g(x2)，则实数a的取值范围是________________．
答案 [－，－]
解析 问题等价于f(x)的值域是g(x)的值域的子集，
显然，g(x)是减少的，∴g(x)max＝g(2)＝，
g(x)min＝g(4)＝－；
对于f(x)，f′(x)＝3x2－4x＋1，
令f′(x)＝0，解得x＝或x＝1，
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况列表如下：
x
－1
(－1，)
(，1)
1
(1,2)
2
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
a－4
↗
＋a
↘
a
↗
a＋2
∴f(x)max＝a＋2，f(x)min＝a－4，
∴
∴a∈[－，－]．
1．已知函数f(x)＝＋－ln x－，其中a∈R，且曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线y＝x.
(1)求a的值；
(2)求函数f(x)的单调区间．
解 (1)对f(x)求导得f′(x)＝－－，
由f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线y＝x，知f′(1)＝－－a＝－2，解得a＝.
(2)由(1)知f(x)＝＋－ln x－，
则f′(x)＝.
令f′(x)＝0，解得x＝－1或x＝5.
因为x＝－1不在f(x)的定义域(0，＋∞)内，故舍去．
当x∈(0,5)时，f′(x)<0，
故f(x)在(0,5)内为减函数；
当x∈(5，＋∞)时，f′(x)>0，
故f(x)在(5，＋∞)内为增函数．
综上，f(x)的单调增区间为(5，＋∞)，单调减区间为(0,5)．
2．(2016·千阳中学模拟)已知函数f(x)＝xln x.
(1)求f(x)的最小值；
(2)若对所有x≥1都有f(x)≥ax－1，求实数a的取值范围．
解 (1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f(x)的导数f′(x)＝1＋ln x，
令f′(x)>0，解得x>，
令f′(x)<0，解得01时，因为g′(x)＝(1－)>0，
故g(x)在[1，＋∞)上是增加的，
所以g(x)的最小值是g(1)＝1，
从而a的取值范围是(－∞，1]．
3．(2015·重庆)设函数f(x)＝(a∈R)．
(1)若f(x)在x＝0处取得极值，确定a的值，并求此时曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)若f(x)在[3，＋∞)上为减函数，求a的取值范围．
解 (1)对f(x)求导得
f′(x)＝
＝，
因为f(x)在x＝0处取得极值，所以f′(0)＝0，即a＝0.
当a＝0时，f(x)＝，f′(x)＝，故f(1)＝，f′(1)＝，从而f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－＝(x－1)，化简得3x－ey＝0.
(2)由(1)知f′(x)＝.
令g(x)＝－3x2＋(6－a)x＋a，
由g(x)＝0，解得x1＝，
x2＝.
当x＜x1时，g(x)＜0，即f′(x)＜0，故f(x)为减函数；
当x1＜x＜x2时，g(x)＞0，即f′(x)＞0，
故f(x)为增函数；
当x＞x2时，g(x)＜0，即f′(x)＜0，故f(x)为减函数．
由f(x)在[3，＋∞)上为减函数，知x2＝≤3，解得a≥－，
故a的取值范围为.
4．已知函数f(x)＝x2＋xsin x＋cos x.
(1)若曲线y＝f(x)在点(a，f(a))处与直线y＝b相切，求a与b的值；
(2)若曲线y＝f(x)与直线y＝b有两个不同交点，求b的取值范围．
解 由f(x)＝x2＋xsin x＋cos x，
得f′(x)＝x(2＋cos x)．
(1)因为曲线y＝f(x)在点(a，f(a))处与直线y＝b相切，所以f′(a)＝a(2＋cos a)＝0，b＝f(a)．
解得a＝0，b＝f(0)＝1.
(2)令f′(x)＝0，得x＝0.
当x变化时，f(x)与f′(x)的变化情况如下：
x
(－∞，0)
0
(0，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
f(x)
↘
1
↗
所以函数f(x)在区间(－∞，0)上是减少的，
在区间(0，＋∞)上是增加的，f(0)＝1是f(x)的最小值．
当b≤1时，曲线y＝f(x)与直线y＝b最多只有一个交点；
当b>1时，f(－2b)＝f(2b)≥4b2－2b－1>4b－2b－1>b，
f(0)＝11时曲线y＝f(x)与直线y＝b有且仅有两个不同交点．
综上可知，如果曲线y＝f(x)与直线y＝b有两个不同交点，
那么b的取值范围是(1，＋∞)．
5．(2016·四川)设函数f(x)＝ax2－a－ln x，其中a∈R.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)确定a的所有可能取值，使得f(x)>－e1－x在区间(1，＋∞)内恒成立(e＝2.718…为自然对数的底数)．
解 (1)f′(x)＝2ax－＝(x>0)．
当a≤0时，f′(x)<0，f(x)在(0，＋∞)内是减少的．
当a>0时，由f′(x)＝0，有x＝.
此时，当x∈时，f′(x)<0，f(x)是减少的；
当x∈时，f′(x)>0，f(x)是增加的．
(2)令g(x)＝－，s(x)＝ex－1－x.
则s′(x)＝ex－1－1.而当x>1时，s′(x)>0，
所以s(x)在区间(1，＋∞)内是增加的．
又由s(1)＝0，有s(x)>0，从而当x>1时，g(x)>0.
当a≤0，x>1时，f(x)＝a(x2－1)－ln x<0.
故当f(x)>g(x)在区间(1，＋∞)内恒成立时，必有a>0.
当01.
由(1)有f0，
所以此时f(x)>g(x)在区间(1，＋∞)内不恒成立．
当a≥时，令h(x)＝f(x)－g(x)(x≥1)．
当x>1时，h′(x)＝2ax－＋－e1－x
>x－＋－
＝>>0.
因此，h(x)在区间(1，＋∞)内是增加的．
又因为h(1)＝0，所以当x>1时，
h(x)＝f(x)－g(x)>0，
即f(x)>g(x)恒成立．
综上，a∈.
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