数学卷·2018届甘肃省嘉峪关一中高二上学期期中数学试卷（文科）（解析版） 14页

‎2016-2017学年甘肃省嘉峪关一中高二（上）期中数学试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题（本大题共11小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）‎ ‎1．不等式x（3﹣x）≥0的解集是（　　）‎ A．{x|x≤0或x≥3} B．{x|0≤x≤3} C．{x|x≥3} D．{x|x≤3}‎ ‎2．已知数列{an}的前n项和Sn=2an﹣1，则数列{an}的通项公式为（　　）‎ A．an=2n B．an=2n﹣1 C．an=2n﹣1 D．an=2n﹣1﹣1‎ ‎3．在△ABC中，若a2=b2+bc+c2，则A=（　　）‎ A．30° B．60° C．120° D．150°‎ ‎4．在△ABC中，A：B：C=4：1：1，则a：b：c=（　　）‎ A．4：1：1 B．2：1：1 C．3：1：1 D．：1：1‎ ‎5．已知等比数列{an}中，a3=2，a4a6=16，则的值为（　　）‎ A．2 B．4 C．8 D．16‎ ‎6．已知a，b∈R，则下列命题正确的是（　　）‎ A．若a＞b，则a2＞b2 B．若|a|＞b，则a2＞b2‎ C．若a＞|b|，则a2＞b2 D．若a≠|b|，则a2≠b2‎ ‎7．如果实数x、y满足条件，那么2x﹣y的最大值为（　　）‎ A．2 B．1 C．﹣2 D．﹣3‎ ‎8．等比数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，若4a1，2a2，a3成等差数列，则S4=（　　）‎ A．7 B．8 C．16 D．15‎ ‎9．若x＞0，y＞0且+=1，则x+y的最小值为（　　）‎ A．4 B．8 C．9 D．10‎ ‎10．在“家电下乡”活动中，某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇．现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用．每辆甲型货车运输费用400元，可装洗衣机20台；每辆乙型货车运输费用300元，可装洗衣机10台．若每辆车至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为（　　）‎ A．2000元 B．2200元 C．2400元 D．2800元 ‎11．设函数，若f（x0）＞1，则x0的取值范围是（　　）‎ A．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） B．（﹣∞，﹣1）∪[1，+∞） C．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞） D．（﹣∞，﹣3）∪[1，+∞）‎ ‎　‎ 二、填空题本大题共四个小题，每小题5分．‎ ‎12．在△ABC中，a=2，cos C=﹣，3sin A=2sin B，则c=　　．‎ ‎13．在等差数列{an}中，若S4=1，S8=4，则a17+a18+a19+a20的值=　　．‎ ‎14．当m∈　　时，点（1，2）和点（1，1）在y﹣3x﹣m=0的异侧．‎ ‎15．若关于x的不等式﹣x2+2x＞mx在（0，2）上恒成立，求实数m的取值范围．‎ ‎　‎ 三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎16．等比数列{an}的前n项和为Sn，若a3=，S3=求a1与q．‎ ‎17．解下列关于x的不等式．‎ ‎（1）≥3，（2）x2﹣ax﹣2a2≤0（a∈R）‎ ‎18．已知数列满足a1=1，an+1=2an+1（n∈N*）‎ ‎（1）求证：数列{an+1}是等比数列；‎ ‎（2）求{an}的通项公式．‎ ‎19．在△ABC中，已知△ABC的面积为3，b﹣c=2，cosA=﹣，求a的值．‎ ‎20．已知数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn，a3=•S3=6．‎ ‎（I）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）求和： ++…+．‎ ‎21．已知f（x）=﹣3x2+a（6﹣a）x+6．‎ ‎（Ⅰ）解关于a的不等式f（1）＞0；‎ ‎（Ⅱ）若不等式f（x）＞b的解集为（﹣1，3），求实数a，b的值．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年甘肃省嘉峪关一中高二（上）期中数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（本大题共11小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）‎ ‎1．不等式x（3﹣x）≥0的解集是（　　）‎ A．{x|x≤0或x≥3} B．{x|0≤x≤3} C．{x|x≥3} D．{x|x≤3}‎ ‎【考点】一元二次不等式的解法．‎ ‎【分析】把不等式x（3﹣x）≥0化为x（x﹣3）≤0，写出解集即可．‎ ‎【解答】解：不等式x（3﹣x）≥0可化为x（x﹣3）≤0，‎ 解得0≤x≤3‎ ‎∴不等式的解集是{x|0≤x≤3}．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎2．已知数列{an}的前n项和Sn=2an﹣1，则数列{an}的通项公式为（　　）‎ A．an=2n B．an=2n﹣1 C．an=2n﹣1 D．an=2n﹣1﹣1‎ ‎【考点】数列递推式．‎ ‎【分析】利用数列递推关系、等比数列的通项公式即可得出．‎ ‎【解答】解：∵Sn=2an﹣1，∴n=1时，a1=S1=2a1﹣1，解得a1=1．‎ n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=2an﹣1﹣（2an﹣1﹣1），‎ ‎∴an=2an﹣1．‎ ‎∴数列{an}是等比数列，公比为2，首项为1．‎ ‎∴an=2n﹣1．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎3．在△ABC中，若a2=b2+bc+c2，则A=（　　）‎ A．30° B．60° C．120° D．150°‎ ‎【考点】余弦定理．‎ ‎【分析】本题考查的知识点是余弦定理，观察到已知条件是“在△ABC中，求A角”，固这应该是一个解三角形问题，又注意到a2=b2+bc+c2给出的三角形三边的关系，利用余弦定理解题比较恰当．‎ ‎【解答】解：∵a2=b2+bc+c2‎ ‎∴﹣bc=b2+c2﹣a2‎ 由余弦定理的推论得：‎ ‎==‎ 又∵A为三角形内角 ‎∴A=120°‎ 故选C ‎　‎ ‎4．在△ABC中，A：B：C=4：1：1，则a：b：c=（　　）‎ A．4：1：1 B．2：1：1 C．3：1：1 D．：1：1‎ ‎【考点】正弦定理．‎ ‎【分析】由已知利用三角形内角和定理可求A，B，C的值，利用正弦定理及特殊角的三角函数值即可计算得解．‎ ‎【解答】解：∵A：B：C=4：1：1，A+B+C=π，‎ ‎∴解得：A=，B=C=，‎ ‎∴由正弦定理可得：a：b：c=sinA：sinB：sinC=：： =：1：1．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎5．已知等比数列{an}中，a3=2，a4a6=16，则的值为（　　）‎ A．2 B．4 C．8 D．16‎ ‎【考点】等比数列的性质．‎ ‎【分析】由题意和等比数列的通项得a1q2=2，a1q3a1q5=16，求出q2，即可得出结论．．‎ ‎【解答】解：设等比数列{an}的公比是q，‎ 由a3=2，a4a6=16得，a1q2=2，a1q3a1q5=16，‎ 则a1=1，q2=2，‎ ‎∴==4，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎6．已知a，b∈R，则下列命题正确的是（　　）‎ A．若a＞b，则a2＞b2 B．若|a|＞b，则a2＞b2‎ C．若a＞|b|，则a2＞b2 D．若a≠|b|，则a2≠b2‎ ‎【考点】不等关系与不等式．‎ ‎【分析】举反例可排除ABD，至于C由不等式的性质平方可证．‎ ‎【解答】解：选项A，取a=﹣1，b=﹣2，显然满足a＞b，但不满足a2＞b2，故错误；‎ 选项B，取a=﹣1，b=﹣2，显然满足|a|＞b，但不满足a2＞b2，故错误；‎ 选项D，取a=﹣1，b=1，显然满足a≠|b|，但a2=b2，故错误；‎ 选项C，由a＞|b|和不等式的性质，平方可得a2＞b2，故正确．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎7．如果实数x、y满足条件，那么2x﹣y的最大值为（　　）‎ A．2 B．1 C．﹣2 D．﹣3‎ ‎【考点】简单线性规划的应用．‎ ‎【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=2x﹣y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值即可．‎ ‎【解答】解：先根据约束条件画出可行域，‎ 当直线2x﹣y=t过点A（0，﹣1）时，‎ t最大是1，‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎8．等比数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，若4a1，2a2，a3成等差数列，则S4=（　　）‎ A．7 B．8 C．16 D．15‎ ‎【考点】等比数列的前n项和；等差数列的性质．‎ ‎【分析】利用a1=1，4a1，2a2，a3成等差数列，求得等比数列的公比，即可求出S4的值．‎ ‎【解答】解：设等比数列的公比为q，则 ‎∵a1=1，4a1，2a2，a3成等差数列，‎ ‎∴4q=4+q2，‎ ‎∴q=2‎ ‎∴S4=1+2+4+8=15‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎9．若x＞0，y＞0且+=1，则x+y的最小值为（　　）‎ A．4 B．8 C．9 D．10‎ ‎【考点】基本不等式．‎ ‎【分析】先将x+y乘以+‎ 展开，然后利用基本不等式求出最小值，注意等号成立的条件．‎ ‎【解答】解：∵+=1，‎ ‎∴x+y=（+=1）（x+y）=5++≥5+4=9，‎ 当且仅当=时，取等号．‎ ‎∴x+y的最小值为9．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎10．在“家电下乡”活动中，某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇．现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用．每辆甲型货车运输费用400元，可装洗衣机20台；每辆乙型货车运输费用300元，可装洗衣机10台．若每辆车至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为（　　）‎ A．2000元 B．2200元 C．2400元 D．2800元 ‎【考点】简单线性规划的应用．‎ ‎【分析】根据题中的叙述将实际问题转化为不等式中的线性规划问题，利用线性规划确定最值 ‎【解答】解：设需使用甲型货车x辆，乙型货车y辆，运输费用z元，根据题意，‎ 得线性约束条件 求线性目标函数z=400x+300y的最小值．‎ 解得当时，zmin=2200．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎11．设函数，若f（x0）＞1，则x0的取值范围是（　　）‎ A．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） B．（﹣∞，﹣1）∪[1，+∞） C．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞） D．（﹣∞，﹣3）∪[1，+∞）‎ ‎【考点】其他不等式的解法．‎ ‎【分析】分x0≥1和x0＜1两种情况考虑，分别将相应的函数解析式代入不等式中求出相应的解集，找出两解集的并集即为所求x0的取值范围．‎ ‎【解答】解：当x0≥1时，f（x0）=2x0+1，代入不等式得：2x0+1＞1，‎ 解得：x0＞0，‎ 此时x0的范围为x0≥1；‎ 当x0＜1时，f（x0）=x02﹣2x0﹣2，代入不等式得：x02﹣2x0﹣2＞1，‎ 解得：x0＞3或x0＜﹣1，‎ 此时x0的范围为x0＜﹣1，‎ 综上，x0的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪[1，+∞）．‎ 故选B ‎　‎ 二、填空题本大题共四个小题，每小题5分．‎ ‎12．在△ABC中，a=2，cos C=﹣，3sin A=2sin B，则c=　4　．‎ ‎【考点】正弦定理．‎ ‎【分析】由题意和正弦定理化简后求出b的值，由余弦定理求出c的值．‎ ‎【解答】解：由题意知，3sin A=2sin B，‎ 由正弦定理得，3a=2b，‎ 又a=2，则b=3，且cosC=，‎ 由余弦定理得，c2=a2+b2﹣2abcosC ‎=4+9﹣2×2×3×（）=16，‎ 所以c=4，‎ 故答案为：4．‎ ‎　‎ ‎13．在等差数列{an}中，若S4=1，S8=4，则a17+a18+a19+a20的值=　9　．‎ ‎【考点】等差数列的性质．‎ ‎【分析】设首项为a1，公差为d，则由S4=1，S8=4，求得 a1 和d的值，再由a17+a18+a19+a20=4a1+70d，运算求得结果．‎ ‎【解答】解：设首项为a1，公差为d，则由S4=1，S8=4，可得 4a1+6d=1，8a1+28d=4．‎ 解得 a1=，d=，‎ ‎∴则a17+a18+a19+a20=4a1+70d=9，‎ 故答案为 9．‎ ‎　‎ ‎14．当m∈　（﹣2，﹣1）　时，点（1，2）和点（1，1）在y﹣3x﹣m=0的异侧．‎ ‎【考点】二元一次不等式（组）与平面区域．‎ ‎【分析】根据二元一次不等式表示平面区域的性质进行求解即可．‎ ‎【解答】解：若点（1，2）和点（1，1）在y﹣3x﹣m=0的异侧．‎ 则点（1，2）和点（1，1）对应的式子的符号相反，‎ 即（2﹣3﹣m）（1﹣3﹣m）＜0．‎ 则（﹣1﹣m）（﹣2﹣m）＜0．‎ 即（m+1）（m+2）＜0，‎ 解得﹣2＜m＜﹣1，‎ 故答案为：（﹣2，﹣1）‎ ‎　‎ ‎15．若关于x的不等式﹣x2+2x＞mx在（0，2）上恒成立，求实数m的取值范围．‎ ‎【考点】函数恒成立问题．‎ ‎【分析】由参数分离可得m＜2﹣x在（0，2）恒成立，运用一次函数的单调性，结合恒成立思想可得m的范围．‎ ‎【解答】解：关于x的不等式﹣x2+2x＞mx在（0，2）上恒成立，‎ 即为m＜2﹣x在（0，2）恒成立，‎ 由y=2﹣x在（0，2）递减，可得2﹣x＞1，‎ 则m≤1．‎ 即有m的取值范围是（﹣∞，1]．‎ ‎　‎ 三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎16．等比数列{an}的前n项和为Sn，若a3=，S3=求a1与q．‎ ‎【考点】等比数列的前n项和．‎ ‎【分析】由题意可知当q≠1时，，代入即可求得a1和q的值，当q=1时，则a1=a3=，S3=3a1=，满足，故当q=1时，成立，即可求得a1与q．‎ ‎【解答】解：由题意可知：等比数列{an}首项为a1，公比为q，‎ 由题意可知：当q≠1时，，即，‎ 整理得：2q3﹣3q2+1=0，即（q﹣1）2（2q+1）=0，‎ 解得：q=1（舍去）或q=﹣，‎ ‎∴当q=﹣，解得：a1=6，‎ 当q=1时，则a1=a3=，S3=3a1=，满足，故当q=1时，成立，‎ ‎∴a1=，q=1，或q=﹣，a1=6．‎ ‎　‎ ‎17．解下列关于x的不等式．‎ ‎（1）≥3，（2）x2﹣ax﹣2a2≤0（a∈R）‎ ‎【考点】其他不等式的解法．‎ ‎【分析】（1）等价转化为整式不等式解之；‎ ‎（2）讨论a，解一元二次不等式．‎ ‎【解答】（1）解：≥3⇔⇔⇒x∈（2，]；‎ ‎（2）x2﹣ax﹣2a2≤0（a∈R）‎ 解：当a=0时，不等式的解集为{0}；‎ 当a≠0时，原式⇔（x+a）（x﹣2a）≤0‎ 当a＞0时，不等式的解集为x∈[﹣a，2a]；‎ 当a＜0时，不等式的解集为x∈[2a，﹣a]；‎ ‎　‎ ‎18．已知数列满足a1=1，an+1=2an+1（n∈N*）‎ ‎（1）求证：数列{an+1}是等比数列；‎ ‎（2）求{an}的通项公式．‎ ‎【考点】等比数列的通项公式．‎ ‎【分析】（1）给等式an+1=2an+1两边都加上1，右边提取2后，变形得到等于2，所以数列{an+1}是等比数列，得证；‎ ‎（2）设数列{an+1}的公比为2，根据首项为a1+1等于2，写出数列{an+1}的通项公式，变形后即可得到{an}的通项公式．‎ ‎【解答】解：（1）由an+1=2an+1得an+1+1=2（an+1），‎ 又an+1≠0，‎ ‎∴=2，‎ 即{an+1}为等比数列；‎ ‎（2）由（1）知an+1=（a1+1）qn﹣1，‎ 即an=（a1+1）qn﹣1﹣1=2•2n﹣1﹣1=2n﹣1．‎ ‎　‎ ‎19．在△ABC中，已知△ABC的面积为3，b﹣c=2，cosA=﹣，求a的值．‎ ‎【考点】余弦定理；正弦定理．‎ ‎【分析】‎ 由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinA，利用三角形面积公式可求bc=24，结合b﹣c=2，解得b，c的值，利用余弦定理即可解得a的值．‎ ‎【解答】解：∵cosA=﹣，A∈（0，π），‎ ‎∴sinA==，‎ ‎∴由△ABC的面积为3=bcsinA=bc，得，bc=24，‎ 又∵b﹣c=2，得b=6，c=4，‎ ‎∴由余弦定理得：a==8．‎ ‎　‎ ‎20．已知数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn，a3=•S3=6．‎ ‎（I）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）求和： ++…+．‎ ‎【考点】数列的求和．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由题意可知：S3=3a2=12，求得a2=4，由d=a3﹣a2得到公差，再求出首项，即可求出数列{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）求出等差数列的前n项和，取倒数后利用裂项相消法求得++…+．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差是d，‎ 由，得S3=12，‎ 由等差数列的性质可知：S3=3a2=12，解得：a2=4，‎ ‎∴d=a3﹣a2=6﹣4=2，则a1=a2﹣d=2，‎ ‎∴数列{an}的通项公式为an=a1+（n﹣1）d=2+2（n﹣1）=2n；‎ ‎（Ⅱ）由（1）可知Sn=，‎ ‎∴==．‎ ‎∴++…+=+…+=．‎ ‎　‎ ‎21．已知f（x）=﹣3x2+a（6﹣a）x+6．‎ ‎（Ⅰ）解关于a的不等式f（1）＞0；‎ ‎（Ⅱ）若不等式f（x）＞b的解集为（﹣1，3），求实数a，b的值．‎ ‎【考点】一元二次不等式的应用．‎ ‎【分析】（Ⅰ）f（1）＞0，即﹣3+a（6﹣a）+6＞0，即a2﹣6a﹣3＜0，由此可得不等式的解集；‎ ‎（Ⅱ）不等式f（x）＞b的解集为（﹣1，3），等价于﹣3x2+a（6﹣a）x+6＞b的解集为（﹣1，3），即﹣1，3是方程3x2﹣a（6﹣a）x﹣6+b=0的两个根，利用韦达定理可求实数a，b的值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=﹣3x2+a（6﹣a）x+6，f（1）＞0‎ ‎∴﹣3+a（6﹣a）+6＞0‎ ‎∴a2﹣6a﹣3＜0‎ ‎∴‎ ‎∴不等式的解集为 ‎（Ⅱ）∵不等式f（x）＞b的解集为（﹣1，3），‎ ‎∴﹣3x2+a（6﹣a）x+6＞b的解集为（﹣1，3），‎ ‎∴﹣1，3是方程3x2﹣a（6﹣a）x﹣6+b=0的两个根 ‎∴‎ ‎∴‎ ‎　‎