2019届二轮复习第6招数列函数性（单调性与周期性）学案（江苏专用） 8页

数列函数性（单调性与周期性）‎ 一、函数的单调性与单调数列 函数的单调性的证明一般有两类，定义法或者导数法；而对于数列而言，证明其单调性或求最大最小值，常见的思路是利用与，及与的大小关系来判断，除此之外，还可以用函数的一些思路来证明数列的单调性.‎ 例1、求数列的最大项 解析：此题如果用常规的求最大项的方法，无论是“作差”或者“作商”，计算量都会比较大，而若是考虑其函数性，将数列看做函数，那么可以看出来，这个函数化简后，分母其实是一个“勾函数”的形式，显然在时取得最大值。当然，对于数列而言，我们的自变量必须为正整数，所以必须对附近的两个正整数进行代入检验，可得时，都为最大项。‎ 例2、已知数列是以为首项，为公比的等比数列，令若中每一项总小于它后面的项，求的范围。‎ 解析：，那么即对于恒成立。‎ 即对于恒成立。‎ ‎①时，上述不等式等价于即，显然成立，所以；‎ ‎②时，上述不等式等价于，设，显然这个是单调递增函数，时，有，所以 综上，‎ 这里需要注意的是：函数单调是数列单调的充分不必要条件，用函数的单调性处理数列的单调性问题时，必须检验其必要性。如下题：‎ 例3、数列的通项公式为，若中每一项总小于它后面的项，求的取值范围。‎ 解析：此题不等价于“在上单调增”。对于此类题目建议使用“作差”去判断的范围，即对于恒成立。‎ 如果要从函数的单调性的角度来思考，本题应该等价于以下命题“在上单调增，且”‎ 答案为。‎ 例4、（2014 南京1模20题）设等差数列的前项和为，已知，.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若从中抽取一个公比为的等比数列，其中，且，.‎ ‎①当取最小值时，求的通项公式；‎ ‎②若关于的不等式有解，试求的值.‎ 答案：（1）（2）①②‎ 解析：：②因为，所以 当不是自然数时，不全是正整数，不合题意，所以 不等式有解，即有解.‎ 令发现，即都有成立，即时都有解.‎ 令，.‎ 设，可得在上单调增,得，‎ 即，，，是递减数列 中最大项为，若，则对应的符合要求；若，则不存在这样的 令，，即都有成立，即时都有解.‎ 当时，，则恒成立，不存在这样的.‎ 故可取的值为.‎ 例5、 使不等式对一切正整数都成立的最小正整数的值为 .‎ 解析：设，，‎ 所以单调减，得，‎ ‎，得符合要求的.‎ 此题单调性的运用是利用两项作差得到的，要注意的是的项数不能数错.‎ 例6、已知数列满足：，若数列的最小项为1，则的值为 .‎ 解析，设，则，列表可得极小值为，考虑到数列的下标必须为正整数，所以，，，显然最小，可得.‎ 二、函数的周期性与周期数列 ‎ 若数列满足以下条件，请求出数列的周期 ① 恒成立 ② 恒成立 ③ 若且，‎ ④ 若,且 ⑤ 若，且 ⑥ ⑦ ⑧ ‎，‎ ① ‎，，，‎ 解析：‎ ①　 ‎.‎ ②　 ‎.‎ ③　 得.‎ 本结论可以与抽象函数中，得结合理解.‎ ④　 得.‎ 本结论可以与抽象函数中，得结合理解.‎ ⑤　 得 本结论可以与抽象函数中，得结合理解.‎ ⑥　 ‎，可以结合进行理解 ①　 ‎,作差可得，得，即或者，代入得，即，矛盾，舍去.故.‎ ②　 ‎，作差得，又，得即.‎ ‎⑨证明方法都是类似的，仅以第一个为例：‎ 法一、，故，即.‎ 法二、可以构造，得，根据三角函数的性质，可得，即.‎ 例7、已知数列满足，它的前项和为.若，则的值为 .‎ 解析：，得，故 例8、已知数列满足且 ，求 .‎ 解析：，，做差得，即，‎ 三、其他类型 例9、已知正项数列满足，证明.‎ 解析：此题常规方法是用数学归纳法，实际上，如果从函数的角度来出发，那么此题可以用另一方法解决.具体如下：‎ 把看做函数 ‎，等号当且仅当时，取等号时有即数列为的常数列，显然不符合，所以 ‎，又即，得证.‎ 例10、设数列为等差数列，数列为等比数列．若，，且，则数列的公比为 ．‎ 解析：这道题目是使用构造法构造一元二次方程去解决的.‎ 如题，有.‎ ‎，那么可得，是方程或者的根，显然第一个解是 不符合，舍去，得；又，又 可得.‎ 例11、 设…，均为正数，证明：若……，则.‎ 解：构造函数，定义域为，令，列表可得在上递增，在上递减，故函数在处取得最大值，当时有即，‎ ‎∵，∴‎ ‎∵∴即.‎ 例12、 等比数列中，，函数，则 .‎ 解析：考查多项式函数的导数公式，重点考查学生创新意识，综合与灵活地应用所学的数学知识、思想和方法。考虑到求导中，含有项均取0，则只与函数的一次项有关；得：.‎