重庆市第一中学2020届高三上学期摸底考试数学（文）试题 21页

‎2019年重庆一中高2020级高三上期摸底考试 数学(文科)测试试题卷 注意事项:‎ ‎1.答卷前，考生务必将白己的姓名、准考证号码填写在答题卡上.‎ ‎2.作答时，务必将答案写在答题卡,上，写在本试卷及草稿纸上无效，‎ ‎3.考试结束后，将答题卡交回.‎ 第I卷(选择题，共60分)‎ 一、选择题（本题共12小题，每小燃5分，共60分.在下列各题的四个选项中，只有个选项是符合题意的）‎ ‎1.已知集合，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：因为，所以，故选C．‎ 考点：1.集合的表示；2.集合的交集．‎ ‎2.若复数z＝（3+bi）（1+i）是纯虚数（其中b∈R，i为虚数单位），则b＝（ ）‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0且虚部不为0列式求解．‎ ‎【详解】∵z＝（3+bi）（1+i）＝（3﹣b）+（b+3）i是纯虚数，‎ ‎∴，即b＝3．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．‎ ‎3.已知向量（k，1），（3，﹣1），若⊥，则实数k＝（ ）‎ A. B. C. 3 D. ﹣3‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据平面向量⊥时•0，列方程求出k的值．‎ ‎【详解】向量（k，1），（3，﹣1），‎ 当⊥时，•0，‎ 即3k+1×（﹣1）＝0，‎ 解得实数k．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查了平面向量的数量积应用问题，是基础题．‎ ‎4.下列函数中，是偶函数且在区间（0，+∞）上单调递增的是（ ）‎ A. y＝cosx B. y C. y＝|x| D. y＝﹣x2+2019‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别结合余弦函数，二次函数及幂函数的性质可分别进行判断．‎ ‎【详解】结合余弦函数的性质可知，y＝cosx在（0，+∞）上不单调，故A错误；‎ y为非奇非偶函数，故B错误；‎ y＝|x|为偶函数且在（0，+∞）上单调递增，故C正确 由二次函数的性质可知，y＝2019﹣x2在（0，+∞）上单调递减；故D错误 故选：C．‎ ‎【点睛】本题主要考查了基本初等函数的单调性及奇偶性的简单判断．‎ ‎5.设在α∈R，则“cosα”是“α“的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C 充要 D. 既不充分也不必要 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ α⇒cosα，反之不成立，例如：α2π．即可判断出关系．‎ ‎【详解】α⇒cosα，反之不成立，例如：α2π．‎ ‎∴“cosα”是“α“的必要不充分条件．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查了简易逻辑的判定方法、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎6.要得到函数的图象，只需将函数的图象 A. 向左平移单位 B. 向右平移单位 C. 向左平移单位 D. 向右平移单位 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 因为：y=sin(2x+)=sin2(x+).‎ 根据函数图象的平移规律可得：须把函数y=sin2(x+)相右平移个单位得到函数y=sin2x的图象．‎ 故选D.‎ 点睛：图象变换 ‎(1)振幅变换 ‎ ‎(2)周期变换 ‎ ‎(3)相位变换 ‎ ‎(4)复合变换 ‎ ‎ ‎ ‎7.正方体的体积为8，则其外接球的面积为（ ）‎ A. 8π B. 12π C. 16π D. 24π ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意即可求出正方体的外接球的大圆半径，从而根据圆的表面积公式即可求出外接球的面积．‎ ‎【详解】正方体的体积为8，可得正方体的边长为2，正方体的外接球的大圆半径为：，‎ ‎∴外接球的面积为：S＝4πR2＝4π•3＝12π．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查了球的表面积公式，知道正方体的体对角线是正方体的外接球的大圆直径是关键，考查了计算能力，属于基础题．‎ ‎8.若在中，，则此三角形的形状是( )‎ A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 因为是三角形的内角，所以有即再通过三角变换解得，最终得出结果．‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 因为与不为0，所以 即故选B．‎ ‎【点睛】本题考察的是对于解三角形与三角恒等变换的掌握，需要注意的是中的不可以直接消去，要考虑到的情况．‎ ‎9.设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点F的直l交抛物线C于A，B两点，|FA|＝3，则|FB|＝（ ）‎ A. 3 B. C. 5 D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出直线AB的斜率，得到AB的方程，与抛物线联立，求出B的坐标，然后求解|FB|即可．‎ ‎【详解】抛物线C：y2＝4x的焦点为F（1，0），过点F的直l交抛物线C于A，B两点，|FA|＝3，‎ 不妨A在第一象限，可得A（2，2），所以AB：y＝2（x﹣1），‎ 代入抛物线方程可得：2x2﹣5x+2＝0，‎ 解得xB，xA＝2．‎ 所以|FB|＝xB．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查抛物线的简单性质的应用，直线与抛物线的位置关系的应用，是基本知识的考查．‎ ‎10.若θ∈（0，π），且2cosθsinθ＝2，则tan（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知利用二倍角公式及同角三角函数基本关系式化弦为切即可求解．‎ ‎【详解】∵θ∈（0，π），∴∈（0，），‎ 由2cosθsinθ＝2，得，‎ 即，整理得，‎ ‎∴tan0（舍）或tan．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查三角函数的恒等变换与化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是中档题．‎ ‎11.已知偶函数y＝f(x)，x∈R满足：f(x)＝x2－3x(x≥0)，若函数则y＝f(x)－g(x)的零点个数为(　　)‎ A. 1 B. 3 C. 2 D. 4‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ y＝f(x)－g(x)的零点个数即为f(x)=g(x)的根的个数，即y＝f(x)和y＝g(x)的图象交点个数，作出两函数图象，如图所示，共有三个交点.‎ 故选B.‎ 点睛：根据函数零点求参数取值，也是高考经常涉及的重点问题，‎ ‎（1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解；‎ ‎（2）分离参数后转化为函数的值域（最值）问题求解，如果涉及由几个零点时，还需考虑函数的图象与参数的交点个数；‎ ‎（3）转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.‎ ‎12.定义在R上的可导函数f（x）满足：f′（x）＜f（x）+ex，其f′（x）为f（x）的导函数，e为自然对数的底且f（0）＝2，则关于x的不等式f（lnx）＞xlnx+2x的解集为（ ）‎ A. （0，+∞） B. （1，+∞） C. （0，1） D. （0，e）‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 构造函数g（x）x，利用导数判断函数的单调性，根据函数的单调性即可求出不等式的解集．‎ ‎【详解】∵f′（x）＜f（x）+ex，‎ ‎∴1＜0，‎ 设g（x）x，‎ ‎∴g′（x）1＜0，‎ ‎∴g（x）在R上单调递减，‎ ‎∵f（0）＝2，‎ ‎∴g（0）0＝2，‎ ‎∵f（lnx）＞xlnx+2x，‎ ‎∴lnx+2．‎ 即lnx＞2，‎ ‎∴g（lnx）＞2＝g（0），‎ ‎∴lnx＜0，‎ ‎∴0＜x＜1，‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查函数单调性，结合已知条件构造函数，然后用导数判断函数的单调性是解题的关键．‎ 第Ⅱ卷(非选择题，共90分)‎ 二、填空题（本题共4小愿，每小题5分，共20分）‎ ‎13.已知（1，），（0，2），则与的夹角为_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意利用两个向量的夹角公式，求出与的夹角．‎ ‎【详解】∵（1，），（0，2），设与的夹角为θ，θ∈[0，π]，‎ 则cosθ，∴θ，‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题主要考查两个向量的数量积，两个向量的夹角公式，属于基础题．‎ ‎14.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c＝2a，b＝3，cosC，则a＝_____．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知利用余弦定理即可求解a的值．‎ ‎【详解】∵c＝2a，b＝3，cosC，‎ ‎∴由余弦定理c2＝a2+b2﹣2abcosC，可得（2a）2＝a2+9﹣2×a×3×（），即2a2﹣a﹣6＝0，‎ ‎∴解得a＝2，或（舍去）．‎ 故答案为：2．‎ ‎【点睛】本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，考查了方程思想，属于基础题．‎ ‎15.某简单几何体的三枧图如图所示，其最大侧面的面积为_____．‎ ‎【答案】8‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知中的三视图，画出几何体的直观图，然后求解三角形的面积，得到结果．‎ ‎【详解】由三视图得到几何体的直观图如图：是棱长为2的正方体的一部分，四棱锥P﹣ABCD，S△BCP＝8，‎ S△ABP＝S△APD＝8．‎ S△PCD＝8．‎ 故答案为：8．‎ ‎【点睛】本题考查的知识点是由三视图还原几何体并求侧面面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．‎ ‎16.已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的左焦点为F，过F的一条倾斜角为30°的直线与C在第一象限交于点A，且|OF|＝|OA|，O为坐标原点，则该双曲线的离心率为_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用已知条件求出|AF|＝c，|A|＝c，利用双曲线定义求解即可．‎ ‎【详解】过F的一条倾斜角为30°的直线与C在第一象限交于点A，且|OF|＝|OA|＝c，‎ 令右焦点为E，可知焦点三角形AFE为直角三角形，‎ ‎∴∠AOx＝60°，且|AF|＝c，|A|＝c 由双曲线的定义可得|AF|﹣|A|=2，‎ ‎∴，‎ 即e．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查双曲线的定义和性质，主要是离心率的求法，考查运算能力，属于中档题．‎ 三、解答题共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答 ‎17.已知函数的部分图象如图所示．‎ ‎（1）求函数f（x）的解析式 ‎ ‎（2）若，求函数f（x）的值域．‎ ‎【答案】(1) (2) [﹣1，2]．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由图象求出函数的振幅A，周期，确定ω，利用图象经过确定φ，得到函数的解析式；‎ ‎（2）根据，得到，可得函数的值域．‎ ‎【详解】（1）由图可知A＝2，‎ ‎，由∴f（x）＝2sin（2x+），又点在图象上，‎ ‎∴，∴，∴‎ ‎∴‎ ‎（2）∵，∴‎ ‎∴函数f（x）的值域为[﹣1，2]．‎ ‎【点睛】本题是基础题，考查三角函数的化简求值，函数的解析式的求法，考查计算能力，常考题型．‎ ‎18.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（cosB，sinB}），（cosC，﹣sinC），•．‎ ‎（1）求sinA的值 ‎ ‎（2）若a，求△ABC面积的最大值．‎ ‎【答案】(1)；(2)．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据，进行数量积的坐标运算即可得出cos（B+C），从而求出；‎ ‎（2）可画出图形，根据余弦定理即可得出，从而得出，这样根据三角形的面积公式即可得出，从而得出△ABC面积的最大值．‎ ‎【详解】（1）∵，‎ ‎∴cosBcosC﹣sinBsinC＝cos（B+C），‎ ‎∴，‎ ‎∴；‎ ‎（2）如图，‎ ‎∵cosA，，‎ ‎∴根据余弦定理得，，当b＝c时取等号，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴△ABC面积的最大值为．‎ ‎【点睛】本题考查了向量数量积的坐标运算，余弦定理，不等式a2+b2≥2ab的应用，两角和的余弦公式，三角形的面积公式，考查了计算能力，属于中档题．‎ ‎19.在四棱锥P﹣ABCD 中，△PAD 为等边三角形，底面ABCD为等腰梯形，满足AB∥CD，AD＝‎ DCAB＝2，且平面PAD⊥平面ABCD．‎ ‎（1）证明：BD⊥平面PAD ‎ ‎（2）求点C到平面PBD的距离．‎ ‎【答案】(1)证明见解析 (2)．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）在梯形ABCD中，取AB中点E，连结DE，推导出点D在以AB为直径的圆上，由此能证明BD⊥平面PAD．‎ ‎（2）取AD中点O，连结PO，则PO⊥AD，设C到平面PBD的距离为h，由VP﹣BCD＝VC﹣PBD，能求出点C到平面PBD的距离．‎ ‎【详解】（1）在梯形ABCD中，取AB中点E，连结DE，则DE∥BC，且DE＝BC，‎ 故DE，即点D在以AB为直径的圆上，‎ ‎∴BD⊥AD，‎ ‎∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，‎ BD⊂平面ABCD，∴BD⊥平面PAD．‎ ‎（2）取AD中点O，连结PO，则PO⊥AD，‎ ‎∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，‎ ‎∴PO⊥平面ABCD，‎ 由（1）知△ABD和△PBD都是直角三角形，‎ ‎∴BD2，‎ ‎∴2，，‎ 解得PO，‎ 设C到平面PBD的距离为h，‎ 由VP﹣BCD＝VC﹣PBD，得，‎ 解得h，‎ ‎∴点C到平面PBD的距离为．‎ ‎【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．‎ ‎20.已知函数f（x）＝2xlnx﹣x2．‎ ‎（1）求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程 ‎ ‎（2）若方程f′（x）＝a在[，+∞）有且仅有两个实根（其中f′（x）为f（x）的导函数，e为自然对数的底），求实数a的取值范围．‎ ‎【答案】(1) 2x﹣y﹣2＝0；(2) （2，e2﹣1]．‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎（1）先求切点的纵坐标，再求导，进而求出在切点处的导数值，即切点处的斜率，代入点斜式方程可得切线方程；‎ ‎（2）函数f（x）求导得f'（x），然后再求导得f'（x）在[，+∞）的单调性，求出最小值，进而得与a有两个根时的取值范围．‎ ‎【详解】（1）由函数f（x）＝2xlnx﹣x2可知：f（1）＝0，f'（x）＝2（lnx+1）﹣1，‎ ‎∴f'（1）＝2，所以曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程：y＝2（x﹣1），‎ 曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程：2x﹣y﹣2＝0；‎ ‎（2）由（1）得，f'（x）＝2lnx+1，‎ f''（x），‎ 当x＜1，f''（x）＜0，f'（x）单调递减，‎ 当x＞1，f''（x）＞0，f'（x）单调递增，‎ 而f'（）＝﹣2+1+e2＞0，最小值f'（1）＝2＞0时，f（x）→+∞，‎ 所以f'（x）＝a有两个根取值范围：（2，e2﹣1]．‎ 故实数a的取值范围：（2，e2﹣1]．‎ ‎【点睛】考查利用导数研究函数的极值问题，体现了转化的思想方法，属于中档题．‎ ‎21.M是椭圆T：1（a＞b＞0）上任意一点，F是椭圆T的右焦点，A为左顶点，B为上顶点，O为坐标原点，如下图所示，已知|MF|的最大值为3，且△MAF面积最大值为3．‎ ‎（1）求椭圆T的标准方程 ‎ ‎（2）求△ABM的面积的最大值S0．若点N（x，y）满足x∈Z，y∈Z，称点N为格点．问椭圆T内部是否存在格点G，使得△ABG的面积S∈（6，S0）？若存在，求出G的坐标，若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】(1) (2)存在，坐标为（2，﹣1）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由椭圆性质可知，由已知条件得，且的最大值为2，即b=2，结合a，b，c的关系可求出椭圆T的方程．‎ ‎（2）由题知直线AB的方程为，设直线与椭圆T相切于x轴下方的点M0，则△ABM0的面积为△ABM的面积的最大值S0．直线与椭圆联立求出直线AB与直线l距离为，由此能求出（2，﹣1）为所求格点G．‎ ‎【详解】（1）由椭圆性质可知，‎ 其中c＞0，c2＝a2﹣b2，‎ 因为xM∈[﹣a，a]，故|MF|∈[a﹣c，a+c]，即 又△MAF面积最大值为3．且 ，∴的最大值为2，即b=2，又b2＝a2﹣c2且 解之得 椭圆T的方程为 ‎（2）由题知直线AB的方程为，‎ 设直线与椭圆T相切于x轴下方的点M0，‎ 则△ABM0面积为△ABM的面积的最大值S0.‎ 此时，直线AB与直线l距离为，‎ 而 而，令，则 设直线到直线AB的距离为，‎ 则有，解得n＝﹣2或6，‎ 注意到l1与直线AB平行且l1需与椭圆T应有公共点，‎ 故只需考虑n＝﹣2的情形．‎ 直线经过椭圆T的下顶点B0（0，﹣2）与右顶点A0，‎ 则线段A0B0上任意一点G0与A、B组成的三角形的面积为6‎ 根据题意若存在满足题意的格点G，则G必在直线A0B0与l之间．‎ 而在椭圆内部位于四象限的格点为（1，﹣1），（2，﹣1）‎ 因为，故（1，﹣1）在直线A0B0上方，不符题意 而，则点（2，﹣1）在直线A0B0下方，‎ 且，点在椭圆内部，‎ 所以（2，﹣1）为所求格点G．‎ ‎【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查满足条件的格点坐标是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．‎ 选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按第一题计分 ‎22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的参数方程为（t为参数）．‎ ‎（1）求曲线C的普通方程 ‎ ‎（2）若直线l与曲线C交于AB两点，求|AB|．‎ ‎【答案】(1) （x﹣1）2+（y﹣2）2＝16 (2)．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用转换关系式，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．‎ ‎（2）利用一元二次方程根和系数的关系式的应用求出结果．‎ ‎【详解】（1）曲线C的参数方程为（θ为参数），整理得（x﹣1）2+（y﹣2）2＝16，‎ ‎（2）把直线l的参数方程为（t为参数）代入圆的方程得．‎ 所以，t1•t2＝﹣15（t1和t2为A、B对应的参数），‎ 则：|AB|．‎ ‎【点睛】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．‎ ‎23.已知函数f（x）＝|2x﹣a|+|x﹣1|‎ ‎（1）若f（1）≥2，求实数a的取值范围 ‎ ‎（2）若不等式f（x）≤x对任意x[2，]恒成立，求实数a的取值范围．‎ ‎【答案】(1) （﹣∞，0]∪[4，+∞）；(2) [4，5]．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）考查绝对值不等式的基本解法（零点分段法），对于一个绝对值的问题可以直接去掉绝对值；（2）此问考查不等式恒成立求参问题，常用方法时分离参数求函数最值或值域．‎ ‎【详解】（1）由于f（1）＝|2﹣a|≥2，则a﹣2≥2或者a﹣2≤﹣2，所以a≥4或者a≤0，‎ 故实数a的取值范围为（﹣∞，0]∪[4，+∞）；‎ ‎（2）不等式f（x）≤x对任意恒成立，此时f（x）≤x可化为：‎ ‎|2x﹣a|+x﹣1≤x，即|2x﹣a|≤1，也即a﹣1≤2x≤a+1对任意恒成立，‎ 所以a﹣1≤（2x）min＝4且a+1≥（2x）max＝5，‎ 即4≤a≤5，‎ 故实数a的取值范围为[4，5]．‎ ‎【点睛】绝对值不等式问题关键在于去绝对值，对于第一问一个绝对值的问题可直接去掉；第二问恒成立求参问题转化为求函数最值即可．‎ ‎ ‎