2017-2018学年黑龙江省哈尔滨师范大学青冈实验中学校（师大附中分校）高二下学期期初考试数学（理）试题 Word版 9页

哈师大青冈实验中学 2017—2018 学年度第二学期开学初考试 高二数学(理)试题 一、选择题：（每题 5 分，共 60 分） 1．命题“ 2, 2 1 0xx R x     ” 的否定是 A． 2, 2 1 0xx R x     B． 2, 2 1 0xx R x     C． 2, 2 1 0xx R x     D． 2, 2 1 0xx R x     2.抛物线 xy 32  的准线方程是 A． 4 3y B. 3 4x   C． 1 12y   D． 1 12x   3．如图是一个几何体的三视图，根据图中的数据（单位： cm ），可知此几何体的体积是 A. 324cm B. 364 3 cm C.   36 2 5 2 2 cm  D.   324 8 5 8 2 cm  4．曲线 2 2 116 25 x y  与曲线   2 2 1 1616 25 x y kk k     的 A. 长轴长相等 B. 短轴长相等 C. 离心率相等 D. 焦距相等 5.下列各数中最大的数为 A．101111（2） B．1210（3） C．112（8） D．69（12） 6．已知变量 x 和 y 之间的几组数据如下表： x 4 6 8 10 12 y 1 2 3 5 6 若根据上表数据所得线性回归方程为 0.65ˆy x m  ，则 m  A. -1.6 B. -1.7 C. -1.8 D. -1.9 7．如图所示的茎叶图，记录了某次歌曲大赛上七位评委为甲选手打出的分 数，若去掉一个最高分和一个最低分，则所剩数据的众数和中位数分别为 A. 83，84 B. 83，85 C. 84，83 D. 84，84 8．执行如图所示的程序框图，若输入 8n  ，则输出的 k  A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 9．随机调查某校 50个学生在“六一”儿童节的午餐费，结果如下表： 餐费（元） 3 4 5 人数 10 20 20 这50个学生“六一”节午餐费的平均值和方差分别是 A. 4.2 ，0.56 B. 4.2 ， 0.56 C. 4 ， 0.6 D. 4 ， 0.6 10.某台小型晚会由 6 个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在 前两位、节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，该台晚会节目演出顺序的编排 方案共有 A.36 种 B.42 种 C.48 种 D.54 种 11．北宋欧阳修在《卖油翁》中写道：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其扣，徐以杓酌油 沥之，自钱孔入，而钱不湿．因曰：‘我亦无他，唯手熟尔．’”可见技能都能透过反复苦 练而达至熟能生巧之境的．若铜钱是半径为 2cm 的圆，中间有边长为 0.5cm 的正方形孔，你 随机向铜钱上滴一滴油，则油（油滴的大小忽略不计）正好落入孔中的概率为 A． B． C． D． 12.设双曲线 2 2 2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b     的左、右焦点分别为 1 2,F F ， 1 2 2F F c ，过 2F 作 x 轴的垂线与双曲线在第一象限的交点为 A ，已知 3, 2 aQ c     ， 2 2F Q F A ，点 P 是双曲 线C 右支上的动点，且 1 1 2 3 |2PF PQ F F 恒成立，则双曲线的离心率的取值范围是 A. 10 ,2      B. 71, 6      C. 7 10,6 2       D. 101, 2       二、填空题：（每题 5 分，共 20 分） 13．已知某校高一、高二、高三的学生人数分别为 400 ， 400 ， 500.为了解该校学生的身 高情况，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为 65的样本，则应从高 三年级抽取_________名学生. 14．某同学欲从数学建模、航模制作、程序设计和机器人制作 4 个社团中随机选择 2 个，则数 学建模社团被选中的概率为_________. 15. 2 61(1 )( )x x x x    的展开式中的常数项为_______. 16. 下列命题中 ①已知点    3,0 , 3,0A B ，动点 P 满足 2PA PB ，则点 P 的轨迹是一个圆； ②已知    2,0 , 2,0 , 3M N PM PN   ，则动点 P 的轨迹是双曲线右边一支； ③两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近于1； ④在平面直角坐标系内，到点 1,1 和直线 2 3x y  的距离相等的点的轨迹是抛物线； ⑤设定点    1 20,2 , 0, 2F F  ，动点 P 满足条件 1 2 4 ( 0)PF PF a aa     ，则点 P 的轨迹 是椭圆. 正确的命题是__________． 三、解答题：（共 70 分） 17．(本小题满分 10 分)过抛物线 y2＝4x 的焦点 F 的直线交该抛物线于 A，B 两点，O 为坐标 原点．若|AF|＝3，求△AOB 的面积 18.（本小题满分 12 分）某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加 了 7 场比赛，他们所有比赛得分的情况用如图所示的茎叶图表示. （1）求甲、乙两名运动员得分的中位数； （2）你认为哪位运动员的成绩更稳定？ （3）如果从甲、乙两位运动员的 7 场得分中各随机抽取一场的得分，求甲的得分大于乙的得 分的概率. 19．（本小题满分 12 分）某校 100 名学生期中考试语文成绩的频率 分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[50,60），[60,70）， [70,80），[80,90），[90,100]． （1）求图中 a 的值； （2）根据频率分布直方图，估计这 100 名学生语文成绩的平均分； （3）若这 100 名学生语文成绩某些分数段的人数（x）与数学成绩相应 分数段的人数（y）之比如下表所示，求数学成绩在[50,90）之外的人数． 分数段 [50,60） [60, 70） [70,80） [80,90） x∶y 1∶1 2∶1 3∶4 4∶5 20．（本小题满分 12 分）如表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量 （ x 吨）与相应的生产能耗 y （吨）标准煤的几组对照数据： x 3 4 5 6 y 2.5 3 4 4.5 （1）请根据表中提供的数据，用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程 ˆˆ ˆy bx a  ； （2）已知该厂技术改造前 100 吨甲产品能耗为 90 吨标准煤，试根据（1）求出的线性回归方 程，预测生产 100 吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低多少吨标准煤？ （参考：用最小二乘法求线性回归方程系数公式 1 2 2 1 ˆ n i ii n ii x y nxy b x nx        ， ˆˆa y bx  ） 21．（本小题满分 12 分）已知四棱锥 S ABCD ，四边形 ABCD 是正方形， 2, 2ABSBA AS SD S     ． （1）证明：平面 ABCD  平面 SAD ； （2）若 M 为 SD 的中点，求二面角 B CM S  的余弦值． 22.(本小题满分 12 分) 已知中心在原点，焦点在 x 轴的椭圆过点 )3 32,1( E ，且焦距为 2， 过点 (1,1)P 分别作斜率为 1 2,k k 的椭圆的动弦 ,A B C D ，设 ,M N 分别为线段 ,A B C D 的中点． （1）求椭圆的标准方程； （2）当 1 2 1k k  ，直线 M N 是否恒过定点？如果是，求出定点坐标．如果不是，说明理由. 2017—2018 年度高二下学期开学考试 数学试题（理）答案 C B B D D C A B A B A B 25 -5 ①②③ 17.解析：由题意设 A(x1，y1)，B(x2，y2)(y1＞0，y2＜0)，如图所示， |AF|＝x1＋1＝3，∴x1＝2，y1＝2. 设 AB 的方程为 x－1＝ty，由 y2＝4x， x－1＝ty，消去 x 得 y2－4ty－4＝0. ∴y1y2＝－4，∴y2＝－，∴S△AOB＝ 1 2×1×|y1－y2|＝ 2 2. 18.解析：（1）甲运动员得分的中位数为 22，乙运动员得分的中位数为 23. （2） ， ， ， ， ∴ ，从而甲运动员的成绩更稳定. （3）从甲、乙两位运动员的 7 场得分中各随机抽取一场的得分的基本事件总数为 ， 其中甲的得分大于乙的是：甲得 14 分有 3 场，甲 15 分有 3 场，甲得 17 分有 3 场，甲得 22 分有 3 场，甲得 23 分有 3 场，甲得 24 分有 4 场，甲得 32 分有 7 场，共计 26 场.甲的得分大 于乙的得分的概率 . 19.（1）由频率分布直方图知（2a＋0．02＋0．03＋0．04）×10＝1，解得 a＝0．005 （2）由频率分布直方图知这 100 名学生语文成绩的平均分为 55×0．005×10＋65×0．04×10＋75×0．03×10＋85×0．02×10＋95×0．005×10＝73（分） （3）由频率分布直方图知语文成绩在[50,60），[60,70），[70,80），[80,90）各分数段的人 数依次为 0．005×10×100＝5,0．04×10×100＝40,0．03×10×100＝30,0．02×10×100＝20．由题 中给出的比例关系知数学成绩在上述各分数段的人数依次为 5,40× ＝20,30× ＝40,20× ＝25． 故数学成绩在[50,90）之外的人数为 100－（5＋20＋40＋25）＝10 20． 解析：（1） ， ， ， ， ； ，所求的回 归方程为 ． （2） 时， （吨），预测生产 100 吨甲产品的生产能耗比技改前降低 （吨）． 21．解析：（1）∵ ，∴ ，即 ， 又∵ 为正方形，∴ ， ∵ ，∴ 平面 ，∵ 平面 ，∴平面 平面 ； （2） 设 的中点为 ，∵ ，∴ ， 由（1）可知平面 平面 ，且平面 平面 ， ∴ 平面 ， 在平面 内，过 作直线 ，则 两两垂直． 以 为坐标原点， 所在直线为 轴， 轴， 轴，建立空间直角坐标系， 则 ， ∴ ， 设平面 的法向量为 ， 则 ， ，即 ，取 ， 设平面 的法向量为 ， 则 ， ，即 ，取 ， ，由图可知，二面角 的余弦值为 ． 22.解：（1）由题意知 设右焦点 ] 椭圆方程为 （2）由题意 ，设 直线 ，即 代入椭圆 方程并化简得 同理 当 时， 直线 的斜率 直线 的方程为 又 化简得 此时直线过定点（0， ） 当 时，直线 即为 轴，也过点（0， ）综上，直线过定点（0， ）