高一数学（人教A版）必修2能力强化提升：第二章综合素能检测 19页

第二章综合素能检测 时间120分钟，满分150分。‎ 一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)‎ ‎1．平行六面体ABCD－A1B‎1C1D1中，既与AB共面也与CC1共面的棱的条数为(　　)‎ A．3　　　　　　　　　 B．4‎ C．5 D．6‎ ‎[答案]　C ‎[解析]　AB与CC1为异面直线，故棱中不存在同时与两者平行的直线，因此只有两类：‎ 第一类与AB平行与CC1相交的有：CD、C1D1‎ 与CC1平行且与AB相交的有：BB1、AA1，‎ 第二类与两者都相交的只有BC，故共有5条．‎ ‎2．室内有一直尺，无论怎样放置，在地面上总有这样的直线，它与直尺所在的直线(　　)‎ A．异面 B．相交 C．平行 D．垂直 ‎[答案]　D ‎[解析]　当直尺与地面垂直时，地面上的任意一条直线都和直尺所在的直线垂直；当直尺所在的直线与地面不垂直时，过直尺所在的直线作一与地面垂直的平面，此平面与地面的交线设为a，则地面内任一与交线a垂直的直线都与直尺所在的直线垂直．‎ ‎3．如图所示，过正方体ABCD－A1B‎1C1D1的顶点A作直线l，使l与棱AB，AD，AA1所成的角都相等，这样的直线l可以作(　　)‎ A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 ‎[答案]　D ‎[解析]　连接AC1，则AC1与棱AB，AD，AA1所成的角都相等；过点A分别作正方体的另外三条体对角线的平行线，则它们与棱AB，AD，AA1所在的角也相等，故这样的直线l可以作4条．‎ ‎4．设P是△ABC所在平面α外一点，H是P在α内的射影，且PA，PB，PC与α所成的角相等，则H是△ABC的(　　)‎ A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心 ‎[答案]　B ‎[解析]　由题意知Rt△PHA≌Rt△PHB≌Rt△PHC，得HA＝HB＝HC，所以H是△ABC的外接圆圆心．‎ ‎5．已知二面角α－l－β的大小为60°，m，n为异面直线，且m⊥α，n⊥β，则m，n所成的角为(　　)‎ A．30° B．60°‎ C．90° D．120°‎ ‎[答案]　B ‎[解析]　易知m，n所成的角与二面角的大小相等，故选B.‎ ‎6．下面四个命题：‎ ‎①若直线a，b异面，b，c异面，则a，c异面；‎ ‎②若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交；‎ ‎③若a∥b，则a，b与c所成的角相等；‎ ‎④若a⊥b，b⊥c，则a∥c.‎ 其中真命题的个数为(　　)‎ A．4 B．3‎ C．2 D．1‎ ‎[答案]　D ‎[解析]　异面、相交关系在空间中不能传递，故①②错；根据等角定理，可知③正确；对于④，在平面内，a∥c，而在空间中，a与c可以平行，可以相交，也可以异面，故④错误．‎ ‎7．在正方体ABCD－A1B‎1C1D1中，E，F分别是线段A1B1，B‎1C1上的不与端点重合的动点，如果A1E＝B‎1F，有下面四个结论：‎ ‎①EF⊥AA1；②EF∥AC；③EF与AC异面；④EF∥平面ABCD.‎ 其中一定正确的有(　　)‎ A．①② B．②③‎ C．②④ D．①④‎ ‎[答案]　D ‎[解析]　如图所示．由于AA1⊥平面A1B‎1C1D1，EF⊂平面A1B‎1C1D1，则EF⊥AA1，所以①正确；当E，F分别是线段A1B1，B‎1C1的中点时，EF∥A‎1C1，又AC∥A‎1C1，则EF∥AC，所以③不正确；当E，F分别不是线段A1B1，B‎1C1的中点时，EF与AC异面，所以②不正确；由于平面A1B‎1C1D1∥平面ABCD，EF⊂平面A1B‎1C1D1，所以EF∥平面ABCD，所以④正确．‎ ‎8．设a，b为两条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面，下列命题中为真命题的是(　　)‎ A．若a，b与α所成的角相等，则a∥b B．若a∥α，b∥β，α∥β，则a∥b C．若a⊂α，b⊂β，a∥b，则α∥β D．若a⊥α，b⊥β，α⊥β，则a⊥b ‎[答案]　D ‎[解析]　选项A中，a，b 还可能相交或异面，所以A是假命题；选项B中，a，b还可能相交或异面，所以B是假命题；选项C中，α，β还可能相交，所以C是假命题；选项D中，由于a⊥α，α⊥β，则a∥β或a⊂β，则β内存在直线l∥a，又b⊥β，则b⊥l，所以a⊥b.‎ ‎9．(2012·大纲版数学(文科))已知正方体ABCD－A1B‎1C1D1中，E、F分别为BB1、CC1的中点，那么直线AE与D‎1F所成角的余弦值为(　　)‎ A．－ D. C. D．－ ‎[命题意图]　本试题考查了正方体中异面直线的所成角的求解的运用．‎ ‎[答案]　D ‎[解析]　首先根据已知条件，连接DF，然后则∠DFD1即为异面直线所成的角，设边长为2，则可以求解得到 ＝DF＝D‎1F，DD1＝2，结合余弦定理得到结论．‎ ‎10．如图，在三棱柱ABC－A′B′C′中，点E，F，H，K分别为AC′，CB′，A′B，B′C′的中点，G为△ABC的重心，从K，H，G，B′中取一点作为P，使得该三棱柱恰有2条棱与平面PEF平行，则点P为(　　)‎ A．K B．H C．G D．B′‎ ‎[答案]　C ‎[解析]　应用验证法：选G点为P时，EF∥A′B′且EF∥AB，此时恰有A′B′和AB平行于平面PEF，故选C.‎ ‎11．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成四面体ABCD，则在四面体ABCD中，下列结论正确的是(　　)‎ A．平面ABD⊥平面ABC B．平面ADC⊥平面BDC C．平面ABC⊥平面BDC D．平面ADC⊥平面ABC ‎[答案]　D ‎[解析]　由平面图形易知∠BDC＝90°.∵平面ABD⊥平面BCD，CD⊥BD，∴CD⊥平面ABD.∴CD⊥AB.又AB⊥AD，CD∩AD＝D，∴AB⊥平面ADC.又AB⊂平面ABC，∴平面ADC⊥平面ABC.‎ ‎12．(2013·全国卷)已知正四棱柱ABCD－A1B‎1C1D1中，AA1＝2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于(　　)‎ A. B. C. D. ‎[答案]　A ‎[解析]　如图，连接AC交BD于点O，连接C1O，过C作CH⊥C1O于点H，‎ ⇒‎ ‎⇒⇒CH⊥面BDC1，‎ ‎∴∠HDC为CD与面BDC1所成的角，‎ 设AA1＝2AB＝2，OC＝，CC1＝2，OC1＝，CH＝＝，∴sin∠HDC＝＝，故选A.‎ 二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中的横线上)‎ ‎13．直线l与平面α所成角为30°，l∩α＝A，m⊂α，A∉m，则m与l所成角的取值范围是________．‎ ‎[答案]　[30°，90°]‎ ‎[解析]　直线l与平面α所成的30°的角为m与l所成角的最小值，当m在α内适当旋转就可以得到l⊥m，即m与l所成角的最大值为90°.‎ ‎14．正方体ABCD－A1B‎1C1D1中，二面角C1－AB－C的平面角等于________．‎ ‎[答案]　45°‎ ‎[解析]　如图所示，正方体ABCD－A1B‎1C1D1中，由于BC⊥AB，BC1⊥AB，则∠C1BC是二面角C1－AB－C的平面角．又△BCC1是等腰直角三角形，则∠C1BC＝45°.‎ ‎15．设平面α∥平面β，A，C∈α，B，D∈β，直线AB与CD交于点S，且点S位于平面α，β之间，AS＝8，BS＝6，CS＝12，则SD＝________.‎ ‎[答案]　9‎ ‎[解析]　如下图所示，连接AC，BD，‎ 则直线AB，CD确定一个平面ACBD.‎ ‎∵α∥β，∴AC∥BD，‎ 则＝，∴＝，解得SD＝9.‎ ‎16．(2013·高考安徽卷)如图正方体ABCD－A1B‎1C1D1，棱长为1，P为BC中点，Q为线段CC1上的动点，过A、P、Q的平面截该正方体所得的截面记为S，则下列命题正确的是________．(写出所有正确命题的编号)‎ ‎①当0