高一数学（人教A版）必修2能力强化提升：1-3-1-2 柱体、锥体、台体的体积 11页

一、选择题 ‎1．长方体三个面的面积分别为2、6和9，则长方体的体积是(　　)‎ A．6 B．3 C．11 D．12‎ ‎[答案]　A ‎[解析]　设长方体长、宽、高分别为a、b、c，则ab＝2，ac＝6，bc＝9，相乘得(abc)2＝108，∴V＝abc＝6.‎ ‎2．已知正六棱台的上、下底面边长分别为2和4，高为2，则体积为(　　)‎ A．32 B．28 C．24 D．20 ‎[答案]　B ‎[解析]　上底面积S1＝6××22＝6，‎ 下底面积S2＝6××42＝24，‎ 体积V＝(S1＋S2＋)·h ‎＝(6＋24＋)×2＝28.‎ ‎3．(2012～2013学年枣庄模拟)一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，直角边长为1，则这个几何体的体积为(　　)‎ A．1 B. C. D. ‎[答案]　D ‎[解析]　由三视图知，该几何体是三棱锥．‎ 体积V＝××1×1×1＝.‎ ‎4．体积为‎52cm3的圆台，一个底面面积是另一个底面面积的9倍，那么截得这个圆台的圆锥的体积为(　　)‎ A．‎54 cm3 B．54πcm3‎ C．‎58cm3 D．58πcm3‎ ‎[答案]　A ‎[解析]　由底面积之比为1:9知，体积之比为1:27，截得小圆锥与圆台体积比为1:26，∴ 小圆锥体积为‎2cm3，故原来圆锥的体积为‎54 cm3，故选A.‎ ‎5．(2012·江西(文科))若一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为(　　)‎ A. B．5‎ C．4 D. ‎[答案]　C ‎[解析]　本题的几何体是一个六棱柱，由三视图可得底面为六边形，面积为4，高为1，则直接代公式可求．‎ ‎6．(2009·陕西高考)若正方体的棱长为，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为(　　)‎ A. B. C. D. ‎[答案]　B ‎[解析]　由题意知，以正方体各个面的中心为顶点的凸多面体是正八面体(即由两个同底等高的正四棱锥组成)，所有的棱长均为1，其中每个正四棱锥的高均为，故正八面体的体积V＝2V正四棱锥＝2‎ ‎××12×＝.故选B.‎ ‎7．如图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为，则该几何体的俯视图可以是(　　)‎ ‎[答案]　C ‎[解析]　若该几何体的俯视图是选项A，则该几何体是正方体，其体积V＝13＝1≠，所以A选项不是；若该几何体的俯视图是选项B，则该几何体是圆柱，其体积V＝π×()2×1＝≠，所以B选项不是；若该几何体的俯视是选项D，则该几何体是圆柱的四分之一，其体积V＝(π×12×1)＝≠，所以D选项不是；若该几何体的俯视图是选项C，则该几何体是三棱柱，其体积V＝×1×1×1＝，所以C选项符合题意，故选C.‎ ‎8．如图(1)所示，一只装了水的密封瓶子，其内部可以看成是由半径为‎1 cm和半径为‎3 cm 的两个圆柱组成的简单几何体．当这个几何体如图(2)水平放置时，液面高度为‎20 cm，当这个几何体如图(3)水平放置时，液面高度为‎28 cm，则这个简单几何体的总高度为(　　)‎ A．‎29 cm B．‎‎30 cm C．‎32 cm D．‎‎48 cm ‎[答案]　A ‎[解析]　图(2)和图(3)中，瓶子上部没有液体的部分容积相等，设这个简单几何体的总高度为h，则有π×12(h－20)＝π×32(h－28)，解得h＝29(cm)．‎ 二、填空题 ‎9．已知圆锥SO的高为4，体积为4π，则底面半径r＝________.‎ ‎[答案]　 ‎[解析]　设底面半径为r，则πr2×4＝4π，解得r＝，即底面半径为.‎ ‎10．如图所示，三棱柱ABC－A′B′C′中，若E、F分别为AC、AB的中点，平面EC′B′F将三棱柱分成体积为V1(棱台AEF－A′C′B′的体积)，V2的两部分，那么V1V2＝________.‎ ‎[答案]　75‎ ‎[解析]　设三棱柱的高为h，底面面积为S，体积为V，则V＝V1＋V2＝Sh.‎ 因为E、F分别为AC、AB的中点，‎ 所以S△AEF＝S，所以V1＝h(S＋S＋)＝Sh，V2＝V－V1＝Sh.‎ 所以V1:V2＝7:5.‎ ‎11．如图，已知底面半径为r 的圆柱被一个平面所截，剩下部分母线长的最大值为a，最小值为b，那么圆柱被截后剩下部分的体积是________．‎ ‎[答案]　 ‎[解析]　两个同样的该几何体能拼接成一个高为a＋b的圆柱，则拼接成的圆柱的体积V＝πr2(a＋b)，‎ 所以所求几何体的体积为.‎ ‎12．(2010·天津理)一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为____．‎ ‎[答案]　 ‎[解析]　由三视图知，该几何体由一个高为1，底面边长为2的正四棱锥和一个高为2，底面边长为1的正四棱柱组成，则体积为2×2×1×＋1×1×2＝.‎ 三、解答题 ‎13．把长和宽分别为6和3的矩形卷成一个圆柱的侧面，求这个圆柱的体积．‎ ‎[答案]　或 ‎[解析]　如图所示，当BC为底面周长时，半径r1＝，‎ 则体积V＝πr·AB＝π()2×6＝；‎ 当AB的底面周长时，半径r2＝＝，‎ 则体积V＝πr·BC＝π()2×3＝.‎ ‎14．已知圆台的高为3，在轴截面中，母线AA1与底面圆直径AB的夹角为60°，轴截面中的一条对角线垂直于腰，求圆台的体积．‎ ‎[解析]　如图所示，作轴截面A1ABB1，设圆台的上、下底面半径和母线长分别为r，R，l，高为h.‎ 作A1D⊥AB于点D，‎ 则A1D＝3.‎ 又∵∠A1AB＝60°，∴AD＝A1D·，‎ 即R－r＝3×，∴R－r＝.‎ 又∵∠BA‎1A＝90°，∴∠BA1D＝60°.‎ ‎∴BD＝A1D·tan60°，即R＋r＝3×，‎ ‎∴R＋r＝3，∴R＝2，r＝，而h＝3，‎ ‎∴V圆台＝πh(R2＋Rr＋r2)‎ ‎＝π×3×[(2)2＋2×＋()2]‎ ‎＝21π.‎ 所以圆台的体积为21π.‎ ‎15．已知△ABC的三边长分别是AC＝3，BC＝4，AB＝5，以AB所在直线为轴，将此三角形旋转一周，求所得旋转体的表面积和体积．‎ ‎[分析]　应用锥体的侧面积和体积的计算公式求解．‎ 解题流程：‎ ‎[解析]　如图，在△ABC中，过C作CD⊥AB，垂足为D.‎ 由AC＝3，BC＝4，AB＝5，‎ 知AC2＋BC2＝AB2，则AC⊥BC.‎ 所以BC·AC＝AB·CD，‎ 所以CD＝，记为r＝，‎ 那么△ABC以AB为轴旋转所得旋转体是两个同底的圆锥，且底面半径r＝，母线长分别是AC＝3，BC＝4，‎ 所以S表面积＝πr·(AC＋BC)＝π××(3＋4)＝π，‎ V＝πr2(AD＋BD)＝πr2·AB ‎ ＝π×()2×5＝π.‎ ‎[特别提醒]　求旋转体的有关问题常需要画出其轴截面，将空间问题转化为平面问题来解决．对于与旋转体有关的组合体问题，要弄清楚它是由哪些简单几何体组成的，然后根据条件分清各个简单几何体底面半径及母线长，再分别代入公式求各自的表面积或体积．‎ ‎16．(2011·浙江高考)若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，求此几何体的体积．‎ ‎[解析]　该空间几何体的上部分是底面边长为4，高为2的正四棱柱，体积为16×2＝32；下部分是上底面边长为4，下底面边长为8，高为3的正四棱台，体积为×(16＋4×8＋64)×3＝112.故该空间几何体的体积为144.‎