数学卷·2018届宁夏石嘴山三中高二上学期期中数学试卷（文科） （解析版） 12页

‎2016-2017学年宁夏石嘴山三中高二（上）期中数学试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．已知数列{an}是等比数列，且a1=，a4=﹣1，则{an}的公比q为（　　）‎ A．2 B．﹣ C．﹣2 D．‎ ‎2．已知实数m和2n的等差中项是4，实数2m和n的等差中项是5，则m和n的等差中项是（　　）‎ A．2 B．3 C．6 D．9‎ ‎3．在△ABC中，已知a2=b2+bc+c2，则角A为（　　）‎ A． B． C． D．或 ‎4．在△ABC中，若∠A=60°，∠B=45°，BC=3，则AC=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．下列命题正确的是（　　）‎ A．若a＞b，则ac2＞bc2 B．若a＞﹣b，则﹣a＞b C．若ac＞bc，则a＞b D．若a＞b，则a﹣c＞b﹣c ‎6．已知等比数列{an}中，a3=3，a10=384，则该数列的通项an=（　　）‎ A．3•2n﹣4 B．3•2n﹣3 C．3•2n﹣2 D．3•2n﹣1‎ ‎7．已知{an}是等差数列，a10=10，其前10项和S10=70，则其公差d=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．已知a，b为非零实数，且a＞b，则下列不等式成立的是（　　）‎ A．a2＞b2 B． C．|a|＞|b| D．2a＞2b ‎9．不等式≥0的解集是（　　）‎ A．{x|≤x＜2} B．{x|} C．{x|x＞2或} D．{x|x＜2}‎ ‎10．（文）已知数列{an}的前n项和Sn=2n（n+1）则a5的值为（　　）‎ A．80 B．40 C．20 D．10‎ ‎11．设x、y满足约束条件，则z=2x﹣3y的最小值是（　　）‎ A．﹣7 B．﹣6 C．﹣5 D．﹣3‎ ‎12．函数的值域是（　　）‎ A．[﹣，] B．[﹣，] C．[] D．[]‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.‎ ‎13．关于x的不等式ax2+bx+2＞0的解集是{x|﹣＜x＜}，则a+b=　　．‎ ‎14．若0＜α＜＜β＜π，且cos β=﹣，sin（α+β）=，则cos α=　　．‎ ‎15．已知x＞3，则函数y=+x的最小值为　　．‎ ‎16．已知数列{an}的前n项和Sn=3+2n，则数列{an}的通项公式为　　．‎ ‎　‎ 三．解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎17．等差数列{an}的前n项和记为Sn．已知a10=30，a20=50．‎ ‎（Ⅰ）求通项an；‎ ‎（Ⅱ）若Sn=242，求n．‎ ‎18．若不等式：kx2﹣2x+6k＜0（k≠0）‎ ‎①若不等式解集是{x|x＜﹣3或x＞﹣2}，试求k的值；‎ ‎②若不等式解集是R，求k的取值范围．‎ ‎19．已知函数f（x）=（sinx+cosx）2+cos2x ‎（1）求f（x）最小正周期；‎ ‎（2）求f（x）在区间[]上的最大值和最小值．‎ ‎20．在△ABC中，已知2sinBcosA=sin（A+C）．‎ ‎（1）求角A；‎ ‎（2）若BC=2，△ABC的面积是，求AB．‎ ‎21．某工厂家具车间造A、B型两类桌子，每张桌子需木工和漆工两道工序完成．已知木工做一张A、B型桌子分别需要1小时和2小时，漆工油漆一张A、B型桌子分别需要3小时和1小时；又知木工、漆工每天工作分别不得超过8小时和9小时，而工厂造一张A、B型桌子分别获利润2千元和3千元，试问工厂每天应生产A、B型桌子各多少张，才能获得利润最大？‎ ‎22．已知数列{an}中，Sn是它的前n项和，并且S n+1=4an+2（n=1，2，…），a1=1‎ ‎（1）设bn=a n+1﹣2an （n=1，2，…），求证{bn}是等比数列；‎ ‎（2）设cn=（n=1，2，…），求证{cn}时等差数列；‎ ‎（3）求数列{an}的通项公式及前n项和公式．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年宁夏石嘴山三中高二（上）期中数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．已知数列{an}是等比数列，且a1=，a4=﹣1，则{an}的公比q为（　　）‎ A．2 B．﹣ C．﹣2 D．‎ ‎【考点】等比数列．‎ ‎【分析】由已知的题意利用等比数列的通项公式建立关于公比的方程即可．‎ ‎【解答】由，‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎2．已知实数m和2n的等差中项是4，实数2m和n的等差中项是5，则m和n的等差中项是（　　）‎ A．2 B．3 C．6 D．9‎ ‎【考点】等差数列的通项公式．‎ ‎【分析】由题意列出关于m，n的等式，作和后可得m+n=3得答案．‎ ‎【解答】解：由题意，m+2n=8，2m+n=10，‎ 两式作和得：3m+3n=18，即m+n=6，‎ ‎∴m和n的等差中项是3．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎3．在△ABC中，已知a2=b2+bc+c2，则角A为（　　）‎ A． B． C． D．或 ‎【考点】余弦定理．‎ ‎【分析】利用余弦定理表示出cosA，将已知等式代入计算求出cosA的值，即可确定出A的度数．‎ ‎【解答】解：∵在△ABC中，a2=b2+bc+c2，即b2+c2﹣a2=﹣bc，‎ ‎∴cosA==﹣，‎ 则A=，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎4．在△ABC中，若∠A=60°，∠B=45°，BC=3，则AC=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】正弦定理．‎ ‎【分析】结合已知，根据正弦定理，可求AC ‎【解答】解：根据正弦定理，，‎ 则 故选B ‎　‎ ‎5．下列命题正确的是（　　）‎ A．若a＞b，则ac2＞bc2 B．若a＞﹣b，则﹣a＞b C．若ac＞bc，则a＞b D．若a＞b，则a﹣c＞b﹣c ‎【考点】命题的真假判断与应用．‎ ‎【分析】根据不等式式的性质，令c=0，可以判断A的真假；由不等式的性质3，可以判断B，C的真假；由不等式的性质1，可以判断D的真假，进而得到答案．‎ ‎【解答】解：当c=0时，若a＞b，则ac2=bc2，故A错误；‎ 若a＞﹣b，则﹣a＜b，故B错误；‎ 若ac＞bc，当c＞0时，则a＞b；当c＜0时，则a＜b，故C错误；‎ 若a＞b，则a﹣c＞b﹣c，故D正确 故选D ‎　‎ ‎6．已知等比数列{an}中，a3=3，a10=384，则该数列的通项an=（　　）‎ A．3•2n﹣4 B．3•2n﹣3 C．3•2n﹣2 D．3•2n﹣1‎ ‎【考点】等比数列的通项公式．‎ ‎【分析】由已知列式求得等比数列的公比，进一步求得首项，代入等比数列的通项公式得答案．‎ ‎【解答】解：在等比数列{an}中，由a3=3，a10=384，‎ 得，‎ ‎∴q=2．‎ 则，‎ ‎∴．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎7．已知{an}是等差数列，a10=10，其前10项和S10=70，则其公差d=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】等差数列的前n项和．‎ ‎【分析】利用等差数列的通项公式和前n项和公式，结合已知条件列出关于a1，d的方程组，解方程即可．‎ ‎【解答】解：设{an}的公差为d，首项为a1，由题意得 ‎，解得，‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎8．已知a，b为非零实数，且a＞b，则下列不等式成立的是（　　）‎ A．a2＞b2 B． C．|a|＞|b| D．2a＞2b ‎【考点】不等关系与不等式．‎ ‎【分析】由不等式的相关性质，对四个选项逐一判断，由于a，b为非零实数，故可利用特例进行讨论得出正确选项 ‎【解答】解：A选项不正确，当a=1，b=﹣2时，不等式就不成立；‎ B选项不正确，因为a=1，b=﹣2时，不等式就不成立；‎ C选项不正确，因为a=1，b=﹣2时，不等式就不成立；‎ D选项正确，因为y=2x是一个增函数，故当a＞b时一定有2a＞2b，‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎9．不等式≥0的解集是（　　）‎ A．{x|≤x＜2} B．{x|} C．{x|x＞2或} D．{x|x＜2}‎ ‎【考点】其他不等式的解法．‎ ‎【分析】原不等式等价为（3x﹣1）（2﹣x）≥0，且2﹣x≠0，运用二次不等式的解法，即可得到解集．‎ ‎【解答】解：不等式≥0，‎ 等价为（3x﹣1）（2﹣x）≥0，且2﹣x≠0，‎ 解得≤x＜2．‎ 即解集为{x|}．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎10．（文）已知数列{an}的前n项和Sn=2n（n+1）则a5的值为（　　）‎ A．80 B．40 C．20 D．10‎ ‎【考点】等差数列的通项公式．‎ ‎【分析】因为Sn表示数列的前n项的和，所以a5表示数列前5项的和减去数列前4项的和，进而可得到答案．‎ ‎【解答】解：由题意可得：a5=S5﹣S4，‎ 因为Sn=2n（n+1），‎ 所以S5=10（5+1）=60，S4=8（4+1）=40，‎ 所以a5=20．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎11．设x、y满足约束条件，则z=2x﹣3y的最小值是（　　）‎ A．﹣7 B．﹣6 C．﹣5 D．﹣3‎ ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求出最优解即可求最小值．‎ ‎【解答】解：由z=2x﹣3y得y=，‎ 作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分ABC）：‎ 平移直线y=，由图象可知当直线y=，过点A时，直线y=截距最大，此时z最小，‎ 由得，即A（3，4），‎ 代入目标函数z=2x﹣3y，‎ 得z=2×3﹣3×4=6﹣12=﹣6．‎ ‎∴目标函数z=2x﹣3y的最小值是﹣6．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎12．函数的值域是（　　）‎ A．[﹣，] B．[﹣，] C．[] D．[]‎ ‎【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；函数的值域．‎ ‎【分析】先根据二倍角公式进行化简，再由两角和与差的正弦公式化为y═Asin（ωx+ρ）+b的形式，进而根据正弦函数的性质可得到答案．‎ ‎【解答】解：，‎ 故选C．‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.‎ ‎13．关于x的不等式ax2+bx+2＞0的解集是{x|﹣＜x＜}，则a+b=　﹣14　．‎ ‎【考点】一元二次不等式的应用．‎ ‎【分析】利用不等式的解集与方程解的关系，结合韦达定理，确定a，b的值，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：∵不等式ax2+bx+2＞0的解集为{x|﹣}，‎ ‎∴﹣和为方程ax2+bx+2=0的两个实根，且a＜0，‎ 由韦达定理可得，‎ 解得a=﹣12，b=﹣2，‎ ‎∴a+b=﹣14．‎ 故答案为：﹣14．‎ ‎　‎ ‎14．若0＜α＜＜β＜π，且cos β=﹣，sin（α+β）=，则cos α=　　．‎ ‎【考点】两角和与差的正弦函数．‎ ‎【分析】由条件，运用同角平方关系可得sinβ，cos（α+β），再由cosα=cos[（α+β）﹣β]，运用两角差余弦公式，计算即可．‎ ‎【解答】解：0＜α＜＜β＜π，cos β=﹣，‎ 可得sinβ===，‎ sin（α+β）=，且＜α+β＜，‎ 可得cos（α+β）=﹣‎ ‎=﹣=﹣，‎ 则cosα=cos[（α+β）﹣β]=cos（α+β）cosβ+sin（α+β）sinβ ‎=﹣×（﹣）+×=．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎15．已知x＞3，则函数y=+x的最小值为　5　．‎ ‎【考点】函数的最值及其几何意义．‎ ‎【分析】根据基本不等式即可求出最小值．‎ ‎【解答】解：x＞3，则函数y=+x=+x﹣3+3≥2+3=2+3=5，当且仅当x=4时取等号，‎ 故函数y=+x的最小值为5，‎ 故答案为：5．‎ ‎　‎ ‎16．已知数列{an}的前n项和Sn=3+2n，则数列{an}的通项公式为　　．‎ ‎【考点】数列的概念及简单表示法．‎ ‎【分析】当n=1时，直接由前n项和求首项，当n大于等于2时，由an=Sn﹣Sn﹣1求解．‎ ‎【解答】解：由Sn=3+2n，‎ 当n=1时，a1=S1=5．‎ 当n≥2时，．‎ 所以．‎ 故答案为．‎ ‎　‎ 三．解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎17．等差数列{an}的前n项和记为Sn．已知a10=30，a20=50．‎ ‎（Ⅰ）求通项an；‎ ‎（Ⅱ）若Sn=242，求n．‎ ‎【考点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和．‎ ‎【分析】（1）利用等差数列的通项公式，根据a10和a20的值建立方程组，求得a1和d，则通项an可得．‎ ‎（2）把等差数列的求和公式代入Sn=242进而求得n．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由an=a1+（n﹣1）d，a10=30，a20=50，得 方程组 解得a1=12，d=2．所以an=2n+10．‎ ‎（Ⅱ）由得 方程．‎ 解得n=11或n=﹣22（舍去）．‎ ‎　‎ ‎18．若不等式：kx2﹣2x+6k＜0（k≠0）‎ ‎①若不等式解集是{x|x＜﹣3或x＞﹣2}，试求k的值；‎ ‎②若不等式解集是R，求k的取值范围．‎ ‎【考点】一元二次不等式的应用．‎ ‎【分析】（1）由一元二次不等式的解法，由不等式的解集即可推出对应方程的根，再利用韦达定理即可得k的值；（2）由一元二次不等式的解法，或者说由二次函数的图象可知，此不等式的解集为R，当且仅当二次项系数小于零，判别式小于零，解不等式即可得k的范围 ‎【解答】解：①∵不等式kx2﹣2x+6k＜0的解集是{x|x＜﹣3或x＞﹣2}‎ ‎∴方程kx2﹣2x+6k=0的两个根为﹣3，﹣2‎ ‎∴=﹣3+（﹣2）=﹣5，‎ ‎∴k=﹣‎ ‎②：①∵不等式kx2﹣2x+6k＜0的解集是R ‎∴‎ 解得k＜﹣‎ ‎　‎ ‎19．已知函数f（x）=（sinx+cosx）2+cos2x ‎（1）求f（x）最小正周期；‎ ‎（2）求f（x）在区间[]上的最大值和最小值．‎ ‎【考点】三角函数的最值；三角函数的周期性及其求法．‎ ‎【分析】（1）由条件利用三角恒等变换求得f（x）的解析式，再利用正弦函数的周期性求得f（x）最小正周期．‎ ‎（2）由条件利用正弦函数的定义域和值域，求得f（x）在区间上的最大值和最小值．‎ ‎【解答】解：（1）∵函数f（x）=（sinx+cosx）2+cos2x=1+sin2x+cos2x=1+sin（2x+），‎ ‎∴它的最小正周期为=π．‎ ‎（2）在区间上，2x+∈[，]，故当2x+=时，f（x）取得最小值为 1+×（﹣）=0，‎ 当2x+=时，f（x）取得最大值为 1+×1=1+．‎ ‎　‎ ‎20．在△ABC中，已知2sinBcosA=sin（A+C）．‎ ‎（1）求角A；‎ ‎（2）若BC=2，△ABC的面积是，求AB．‎ ‎【考点】余弦定理；正弦定理．‎ ‎【分析】（1）根据三角形内角和定理与正弦定理，即可求出A的值； ‎ ‎（2）利用余弦定理和三角形的面积公式，列出方程组即可求出AB的值．‎ ‎【解答】解：（1）由A+B+C=π，得sin（A+C）=sinB； ‎ 所以2sinBcosA=sin（A+C）=sinB，‎ 解得cosA=，‎ 又因为A∈（0，π），‎ 所以； ‎ ‎（2）由余弦定理，得 BC2=AB2+AC2﹣2AB•ACcosA=22，①‎ 因为△ABC的面积为 S△ABC=，‎ 所以AB•AC=4，②‎ 由①、②组成方程组，解得AB=BC=2．‎ ‎　‎ ‎21．某工厂家具车间造A、B型两类桌子，每张桌子需木工和漆工两道工序完成．已知木工做一张A、B型桌子分别需要1小时和2小时，漆工油漆一张A、B型桌子分别需要3小时和1小时；又知木工、漆工每天工作分别不得超过8小时和9小时，而工厂造一张A、B型桌子分别获利润2千元和3千元，试问工厂每天应生产A、B型桌子各多少张，才能获得利润最大？‎ ‎【考点】简单线性规划的应用．‎ ‎【分析】先设每天生产A型桌子x张，B型桌子y张，利润总额为z千元，根据题意抽象出x，y满足的条件，建立约束条件，作出可行域，再根据目标函数z═2x+3y，利用截距模型，平移直线找到最优解，即可．‎ ‎【解答】解：设每天生产A型桌子x张，B型桌子y张，利润总额为z千元，‎ 则 目标函数为：z=2x+3y 作出可行域：‎ 把直线l：2x+3y=0向右上方平移至l'的位置时，直线经过可行域上的点M，且与原点距离最大，此时z=2x+3y取最大值，‎ 解方程得M的坐标为（2，3）．‎ 答：每天应生产A型桌子2张，B型桌子3张才能获得最大利润．‎ ‎　‎ ‎22．已知数列{an}中，Sn是它的前n项和，并且S n+1=4an+2（n=1，2，…），a1=1‎ ‎（1）设bn=a n+1﹣2an （n=1，2，…），求证{bn}是等比数列；‎ ‎（2）设cn=（n=1，2，…），求证{cn}时等差数列；‎ ‎（3）求数列{an}的通项公式及前n项和公式．‎ ‎【考点】等差数列与等比数列的综合．‎ ‎【分析】（1）由Sn+1=4an+2得当n≥2时，Sn=4an﹣1+2，两式相减得an+1=4an﹣4an﹣1，结合bn=an+1﹣2an代入化简，‎ 并由条件求出b1，根据等比数列的定义即可证明；‎ ‎（2）由（1）和等比数列的通项公式得，即an+1﹣2an=3•2n﹣1，两边同除以2n+1化简后，由等差数列的定义证明结论；‎ ‎（3）由（2）和等差数列的通项公式求出cn，再由cn=求出an，再代入当n≥2时Sn=4an﹣1+2化简，最后验证n=1也成立．‎ ‎【解答】证明：（1）由题意得，Sn+1=4an+2，‎ 所以当n≥2时，Sn=4an﹣1+2，‎ 两式相减得，an+1=4an﹣4an﹣1，‎ 又bn=an+1﹣2an，‎ 所以===2，‎ 由a1=1，S2=4a1+2得，a2=5，‎ 所以b1=a2﹣2a1=3，‎ 则{bn}是公比为2、首项为3的等比数列；‎ ‎（2）由（1）得，，‎ 所以an+1﹣2an=3•2n﹣1，两边同除以2n+1，得=，‎ 又cn=，则c1==，‎ 所以{cn}是公差为、首项为的等差数列；‎ 解：（3）由（2）得，cn==，‎ 因为cn=，所以=（3n﹣1）•2n﹣2，‎ 因为Sn+1=4an+2，所以当n≥2时Sn=4an﹣1+2，‎ 则Sn=（3n﹣4）•2n﹣1+2，‎ 当n=1时，S1=1也适合上式，故Sn=（3n﹣4）•2n﹣1+2．‎ ‎　‎