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  • 2021-06-11 发布

数学卷·2018届宁夏石嘴山三中高二上学期期中数学试卷(文科) (解析版)

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‎2016-2017学年宁夏石嘴山三中高二(上)期中数学试卷(文科)‎ ‎ ‎ 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知数列{an}是等比数列,且a1=,a4=﹣1,则{an}的公比q为(  )‎ A.2 B.﹣ C.﹣2 D.‎ ‎2.已知实数m和2n的等差中项是4,实数2m和n的等差中项是5,则m和n的等差中项是(  )‎ A.2 B.3 C.6 D.9‎ ‎3.在△ABC中,已知a2=b2+bc+c2,则角A为(  )‎ A. B. C. D.或 ‎4.在△ABC中,若∠A=60°,∠B=45°,BC=3,则AC=(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎5.下列命题正确的是(  )‎ A.若a>b,则ac2>bc2 B.若a>﹣b,则﹣a>b C.若ac>bc,则a>b D.若a>b,则a﹣c>b﹣c ‎6.已知等比数列{an}中,a3=3,a10=384,则该数列的通项an=(  )‎ A.3•2n﹣4 B.3•2n﹣3 C.3•2n﹣2 D.3•2n﹣1‎ ‎7.已知{an}是等差数列,a10=10,其前10项和S10=70,则其公差d=(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎8.已知a,b为非零实数,且a>b,则下列不等式成立的是(  )‎ A.a2>b2 B. C.|a|>|b| D.2a>2b ‎9.不等式≥0的解集是(  )‎ A.{x|≤x<2} B.{x|} C.{x|x>2或} D.{x|x<2}‎ ‎10.(文)已知数列{an}的前n项和Sn=2n(n+1)则a5的值为(  )‎ A.80 B.40 C.20 D.10‎ ‎11.设x、y满足约束条件,则z=2x﹣3y的最小值是(  )‎ A.﹣7 B.﹣6 C.﹣5 D.﹣3‎ ‎12.函数的值域是(  )‎ A.[﹣,] B.[﹣,] C.[] D.[]‎ ‎ ‎ 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共30分.把答案填在题中横线上.‎ ‎13.关于x的不等式ax2+bx+2>0的解集是{x|﹣<x<},则a+b=  .‎ ‎14.若0<α<<β<π,且cos β=﹣,sin(α+β)=,则cos α=  .‎ ‎15.已知x>3,则函数y=+x的最小值为  .‎ ‎16.已知数列{an}的前n项和Sn=3+2n,则数列{an}的通项公式为  .‎ ‎ ‎ 三.解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.‎ ‎17.等差数列{an}的前n项和记为Sn.已知a10=30,a20=50.‎ ‎(Ⅰ)求通项an;‎ ‎(Ⅱ)若Sn=242,求n.‎ ‎18.若不等式:kx2﹣2x+6k<0(k≠0)‎ ‎①若不等式解集是{x|x<﹣3或x>﹣2},试求k的值;‎ ‎②若不等式解集是R,求k的取值范围.‎ ‎19.已知函数f(x)=(sinx+cosx)2+cos2x ‎(1)求f(x)最小正周期;‎ ‎(2)求f(x)在区间[]上的最大值和最小值.‎ ‎20.在△ABC中,已知2sinBcosA=sin(A+C).‎ ‎(1)求角A;‎ ‎(2)若BC=2,△ABC的面积是,求AB.‎ ‎21.某工厂家具车间造A、B型两类桌子,每张桌子需木工和漆工两道工序完成.已知木工做一张A、B型桌子分别需要1小时和2小时,漆工油漆一张A、B型桌子分别需要3小时和1小时;又知木工、漆工每天工作分别不得超过8小时和9小时,而工厂造一张A、B型桌子分别获利润2千元和3千元,试问工厂每天应生产A、B型桌子各多少张,才能获得利润最大?‎ ‎22.已知数列{an}中,Sn是它的前n项和,并且S n+1=4an+2(n=1,2,…),a1=1‎ ‎(1)设bn=a n+1﹣2an (n=1,2,…),求证{bn}是等比数列;‎ ‎(2)设cn=(n=1,2,…),求证{cn}时等差数列;‎ ‎(3)求数列{an}的通项公式及前n项和公式.‎ ‎ ‎ ‎2016-2017学年宁夏石嘴山三中高二(上)期中数学试卷(文科)‎ 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知数列{an}是等比数列,且a1=,a4=﹣1,则{an}的公比q为(  )‎ A.2 B.﹣ C.﹣2 D.‎ ‎【考点】等比数列.‎ ‎【分析】由已知的题意利用等比数列的通项公式建立关于公比的方程即可.‎ ‎【解答】由,‎ 故选C.‎ ‎ ‎ ‎2.已知实数m和2n的等差中项是4,实数2m和n的等差中项是5,则m和n的等差中项是(  )‎ A.2 B.3 C.6 D.9‎ ‎【考点】等差数列的通项公式.‎ ‎【分析】由题意列出关于m,n的等式,作和后可得m+n=3得答案.‎ ‎【解答】解:由题意,m+2n=8,2m+n=10,‎ 两式作和得:3m+3n=18,即m+n=6,‎ ‎∴m和n的等差中项是3.‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ ‎3.在△ABC中,已知a2=b2+bc+c2,则角A为(  )‎ A. B. C. D.或 ‎【考点】余弦定理.‎ ‎【分析】利用余弦定理表示出cosA,将已知等式代入计算求出cosA的值,即可确定出A的度数.‎ ‎【解答】解:∵在△ABC中,a2=b2+bc+c2,即b2+c2﹣a2=﹣bc,‎ ‎∴cosA==﹣,‎ 则A=,‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎4.在△ABC中,若∠A=60°,∠B=45°,BC=3,则AC=(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【考点】正弦定理.‎ ‎【分析】结合已知,根据正弦定理,可求AC ‎【解答】解:根据正弦定理,,‎ 则 故选B ‎ ‎ ‎5.下列命题正确的是(  )‎ A.若a>b,则ac2>bc2 B.若a>﹣b,则﹣a>b C.若ac>bc,则a>b D.若a>b,则a﹣c>b﹣c ‎【考点】命题的真假判断与应用.‎ ‎【分析】根据不等式式的性质,令c=0,可以判断A的真假;由不等式的性质3,可以判断B,C的真假;由不等式的性质1,可以判断D的真假,进而得到答案.‎ ‎【解答】解:当c=0时,若a>b,则ac2=bc2,故A错误;‎ 若a>﹣b,则﹣a<b,故B错误;‎ 若ac>bc,当c>0时,则a>b;当c<0时,则a<b,故C错误;‎ 若a>b,则a﹣c>b﹣c,故D正确 故选D ‎ ‎ ‎6.已知等比数列{an}中,a3=3,a10=384,则该数列的通项an=(  )‎ A.3•2n﹣4 B.3•2n﹣3 C.3•2n﹣2 D.3•2n﹣1‎ ‎【考点】等比数列的通项公式.‎ ‎【分析】由已知列式求得等比数列的公比,进一步求得首项,代入等比数列的通项公式得答案.‎ ‎【解答】解:在等比数列{an}中,由a3=3,a10=384,‎ 得,‎ ‎∴q=2.‎ 则,‎ ‎∴.‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ ‎7.已知{an}是等差数列,a10=10,其前10项和S10=70,则其公差d=(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【考点】等差数列的前n项和.‎ ‎【分析】利用等差数列的通项公式和前n项和公式,结合已知条件列出关于a1,d的方程组,解方程即可.‎ ‎【解答】解:设{an}的公差为d,首项为a1,由题意得 ‎,解得,‎ 故选D.‎ ‎ ‎ ‎8.已知a,b为非零实数,且a>b,则下列不等式成立的是(  )‎ A.a2>b2 B. C.|a|>|b| D.2a>2b ‎【考点】不等关系与不等式.‎ ‎【分析】由不等式的相关性质,对四个选项逐一判断,由于a,b为非零实数,故可利用特例进行讨论得出正确选项 ‎【解答】解:A选项不正确,当a=1,b=﹣2时,不等式就不成立;‎ B选项不正确,因为a=1,b=﹣2时,不等式就不成立;‎ C选项不正确,因为a=1,b=﹣2时,不等式就不成立;‎ D选项正确,因为y=2x是一个增函数,故当a>b时一定有2a>2b,‎ 故选D.‎ ‎ ‎ ‎9.不等式≥0的解集是(  )‎ A.{x|≤x<2} B.{x|} C.{x|x>2或} D.{x|x<2}‎ ‎【考点】其他不等式的解法.‎ ‎【分析】原不等式等价为(3x﹣1)(2﹣x)≥0,且2﹣x≠0,运用二次不等式的解法,即可得到解集.‎ ‎【解答】解:不等式≥0,‎ 等价为(3x﹣1)(2﹣x)≥0,且2﹣x≠0,‎ 解得≤x<2.‎ 即解集为{x|}.‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ ‎10.(文)已知数列{an}的前n项和Sn=2n(n+1)则a5的值为(  )‎ A.80 B.40 C.20 D.10‎ ‎【考点】等差数列的通项公式.‎ ‎【分析】因为Sn表示数列的前n项的和,所以a5表示数列前5项的和减去数列前4项的和,进而可得到答案.‎ ‎【解答】解:由题意可得:a5=S5﹣S4,‎ 因为Sn=2n(n+1),‎ 所以S5=10(5+1)=60,S4=8(4+1)=40,‎ 所以a5=20.‎ 故选C.‎ ‎ ‎ ‎11.设x、y满足约束条件,则z=2x﹣3y的最小值是(  )‎ A.﹣7 B.﹣6 C.﹣5 D.﹣3‎ ‎【考点】简单线性规划.‎ ‎【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,求出最优解即可求最小值.‎ ‎【解答】解:由z=2x﹣3y得y=,‎ 作出不等式组对应的平面区域如图(阴影部分ABC):‎ 平移直线y=,由图象可知当直线y=,过点A时,直线y=截距最大,此时z最小,‎ 由得,即A(3,4),‎ 代入目标函数z=2x﹣3y,‎ 得z=2×3﹣3×4=6﹣12=﹣6.‎ ‎∴目标函数z=2x﹣3y的最小值是﹣6.‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ ‎12.函数的值域是(  )‎ A.[﹣,] B.[﹣,] C.[] D.[]‎ ‎【考点】函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换;函数的值域.‎ ‎【分析】先根据二倍角公式进行化简,再由两角和与差的正弦公式化为y═Asin(ωx+ρ)+b的形式,进而根据正弦函数的性质可得到答案.‎ ‎【解答】解:,‎ 故选C.‎ ‎ ‎ 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共30分.把答案填在题中横线上.‎ ‎13.关于x的不等式ax2+bx+2>0的解集是{x|﹣<x<},则a+b= ﹣14 .‎ ‎【考点】一元二次不等式的应用.‎ ‎【分析】利用不等式的解集与方程解的关系,结合韦达定理,确定a,b的值,即可得出结论.‎ ‎【解答】解:∵不等式ax2+bx+2>0的解集为{x|﹣},‎ ‎∴﹣和为方程ax2+bx+2=0的两个实根,且a<0,‎ 由韦达定理可得,‎ 解得a=﹣12,b=﹣2,‎ ‎∴a+b=﹣14.‎ 故答案为:﹣14.‎ ‎ ‎ ‎14.若0<α<<β<π,且cos β=﹣,sin(α+β)=,则cos α=  .‎ ‎【考点】两角和与差的正弦函数.‎ ‎【分析】由条件,运用同角平方关系可得sinβ,cos(α+β),再由cosα=cos[(α+β)﹣β],运用两角差余弦公式,计算即可.‎ ‎【解答】解:0<α<<β<π,cos β=﹣,‎ 可得sinβ===,‎ sin(α+β)=,且<α+β<,‎ 可得cos(α+β)=﹣‎ ‎=﹣=﹣,‎ 则cosα=cos[(α+β)﹣β]=cos(α+β)cosβ+sin(α+β)sinβ ‎=﹣×(﹣)+×=.‎ 故答案为:.‎ ‎ ‎ ‎15.已知x>3,则函数y=+x的最小值为 5 .‎ ‎【考点】函数的最值及其几何意义.‎ ‎【分析】根据基本不等式即可求出最小值.‎ ‎【解答】解:x>3,则函数y=+x=+x﹣3+3≥2+3=2+3=5,当且仅当x=4时取等号,‎ 故函数y=+x的最小值为5,‎ 故答案为:5.‎ ‎ ‎ ‎16.已知数列{an}的前n项和Sn=3+2n,则数列{an}的通项公式为  .‎ ‎【考点】数列的概念及简单表示法.‎ ‎【分析】当n=1时,直接由前n项和求首项,当n大于等于2时,由an=Sn﹣Sn﹣1求解.‎ ‎【解答】解:由Sn=3+2n,‎ 当n=1时,a1=S1=5.‎ 当n≥2时,.‎ 所以.‎ 故答案为.‎ ‎ ‎ 三.解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.‎ ‎17.等差数列{an}的前n项和记为Sn.已知a10=30,a20=50.‎ ‎(Ⅰ)求通项an;‎ ‎(Ⅱ)若Sn=242,求n.‎ ‎【考点】等差数列的通项公式;等差数列的前n项和.‎ ‎【分析】(1)利用等差数列的通项公式,根据a10和a20的值建立方程组,求得a1和d,则通项an可得.‎ ‎(2)把等差数列的求和公式代入Sn=242进而求得n.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)由an=a1+(n﹣1)d,a10=30,a20=50,得 方程组 解得a1=12,d=2.所以an=2n+10.‎ ‎(Ⅱ)由得 方程.‎ 解得n=11或n=﹣22(舍去).‎ ‎ ‎ ‎18.若不等式:kx2﹣2x+6k<0(k≠0)‎ ‎①若不等式解集是{x|x<﹣3或x>﹣2},试求k的值;‎ ‎②若不等式解集是R,求k的取值范围.‎ ‎【考点】一元二次不等式的应用.‎ ‎【分析】(1)由一元二次不等式的解法,由不等式的解集即可推出对应方程的根,再利用韦达定理即可得k的值;(2)由一元二次不等式的解法,或者说由二次函数的图象可知,此不等式的解集为R,当且仅当二次项系数小于零,判别式小于零,解不等式即可得k的范围 ‎【解答】解:①∵不等式kx2﹣2x+6k<0的解集是{x|x<﹣3或x>﹣2}‎ ‎∴方程kx2﹣2x+6k=0的两个根为﹣3,﹣2‎ ‎∴=﹣3+(﹣2)=﹣5,‎ ‎∴k=﹣‎ ‎②:①∵不等式kx2﹣2x+6k<0的解集是R ‎∴‎ 解得k<﹣‎ ‎ ‎ ‎19.已知函数f(x)=(sinx+cosx)2+cos2x ‎(1)求f(x)最小正周期;‎ ‎(2)求f(x)在区间[]上的最大值和最小值.‎ ‎【考点】三角函数的最值;三角函数的周期性及其求法.‎ ‎【分析】(1)由条件利用三角恒等变换求得f(x)的解析式,再利用正弦函数的周期性求得f(x)最小正周期.‎ ‎(2)由条件利用正弦函数的定义域和值域,求得f(x)在区间上的最大值和最小值.‎ ‎【解答】解:(1)∵函数f(x)=(sinx+cosx)2+cos2x=1+sin2x+cos2x=1+sin(2x+),‎ ‎∴它的最小正周期为=π.‎ ‎(2)在区间上,2x+∈[,],故当2x+=时,f(x)取得最小值为 1+×(﹣)=0,‎ 当2x+=时,f(x)取得最大值为 1+×1=1+.‎ ‎ ‎ ‎20.在△ABC中,已知2sinBcosA=sin(A+C).‎ ‎(1)求角A;‎ ‎(2)若BC=2,△ABC的面积是,求AB.‎ ‎【考点】余弦定理;正弦定理.‎ ‎【分析】(1)根据三角形内角和定理与正弦定理,即可求出A的值; ‎ ‎(2)利用余弦定理和三角形的面积公式,列出方程组即可求出AB的值.‎ ‎【解答】解:(1)由A+B+C=π,得sin(A+C)=sinB; ‎ 所以2sinBcosA=sin(A+C)=sinB,‎ 解得cosA=,‎ 又因为A∈(0,π),‎ 所以; ‎ ‎(2)由余弦定理,得 BC2=AB2+AC2﹣2AB•ACcosA=22,①‎ 因为△ABC的面积为 S△ABC=,‎ 所以AB•AC=4,②‎ 由①、②组成方程组,解得AB=BC=2.‎ ‎ ‎ ‎21.某工厂家具车间造A、B型两类桌子,每张桌子需木工和漆工两道工序完成.已知木工做一张A、B型桌子分别需要1小时和2小时,漆工油漆一张A、B型桌子分别需要3小时和1小时;又知木工、漆工每天工作分别不得超过8小时和9小时,而工厂造一张A、B型桌子分别获利润2千元和3千元,试问工厂每天应生产A、B型桌子各多少张,才能获得利润最大?‎ ‎【考点】简单线性规划的应用.‎ ‎【分析】先设每天生产A型桌子x张,B型桌子y张,利润总额为z千元,根据题意抽象出x,y满足的条件,建立约束条件,作出可行域,再根据目标函数z═2x+3y,利用截距模型,平移直线找到最优解,即可.‎ ‎【解答】解:设每天生产A型桌子x张,B型桌子y张,利润总额为z千元,‎ 则 目标函数为:z=2x+3y 作出可行域:‎ 把直线l:2x+3y=0向右上方平移至l'的位置时,直线经过可行域上的点M,且与原点距离最大,此时z=2x+3y取最大值,‎ 解方程得M的坐标为(2,3).‎ 答:每天应生产A型桌子2张,B型桌子3张才能获得最大利润.‎ ‎ ‎ ‎22.已知数列{an}中,Sn是它的前n项和,并且S n+1=4an+2(n=1,2,…),a1=1‎ ‎(1)设bn=a n+1﹣2an (n=1,2,…),求证{bn}是等比数列;‎ ‎(2)设cn=(n=1,2,…),求证{cn}时等差数列;‎ ‎(3)求数列{an}的通项公式及前n项和公式.‎ ‎【考点】等差数列与等比数列的综合.‎ ‎【分析】(1)由Sn+1=4an+2得当n≥2时,Sn=4an﹣1+2,两式相减得an+1=4an﹣4an﹣1,结合bn=an+1﹣2an代入化简,‎ 并由条件求出b1,根据等比数列的定义即可证明;‎ ‎(2)由(1)和等比数列的通项公式得,即an+1﹣2an=3•2n﹣1,两边同除以2n+1化简后,由等差数列的定义证明结论;‎ ‎(3)由(2)和等差数列的通项公式求出cn,再由cn=求出an,再代入当n≥2时Sn=4an﹣1+2化简,最后验证n=1也成立.‎ ‎【解答】证明:(1)由题意得,Sn+1=4an+2,‎ 所以当n≥2时,Sn=4an﹣1+2,‎ 两式相减得,an+1=4an﹣4an﹣1,‎ 又bn=an+1﹣2an,‎ 所以===2,‎ 由a1=1,S2=4a1+2得,a2=5,‎ 所以b1=a2﹣2a1=3,‎ 则{bn}是公比为2、首项为3的等比数列;‎ ‎(2)由(1)得,,‎ 所以an+1﹣2an=3•2n﹣1,两边同除以2n+1,得=,‎ 又cn=,则c1==,‎ 所以{cn}是公差为、首项为的等差数列;‎ 解:(3)由(2)得,cn==,‎ 因为cn=,所以=(3n﹣1)•2n﹣2,‎ 因为Sn+1=4an+2,所以当n≥2时Sn=4an﹣1+2,‎ 则Sn=(3n﹣4)•2n﹣1+2,‎ 当n=1时,S1=1也适合上式,故Sn=(3n﹣4)•2n﹣1+2.‎ ‎ ‎

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