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- 2021-06-11 发布
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第二章 数列
2.1 数列的概念与简单表示法
第1课时 数列的概念与通项公式
双基达标 (限时20分钟)
1.下列说法中,正确的是 ( ).
A.数列1,3,5,7可表示为{1,3,5,7}
B.数列1,0,-1,-2与数列-2,-1,0,1是相同的数列
C.数列的第k项是1+
D.数列0,2,4,6,8,…,可表示为an=2n(n∈N*)
解析 A错,{1,3,5,7}是集合.B错,是两个不同的数列,顺序不同.C正确,ak==1+.D错,an=2(n-1)(n∈N*).
答案 C
2.已知数列,3,,,3,…,,…,则9是这个数列的 ( ).
A.第12项 B.第13项
C.第14项 D.第15项
解析 令an==9,解得n=14.
答案 C
3.在数列1,1,2,3,5,8,x,21,34,55中,x等于 ( ).
A.11 B.12 C.13 D.14
解析 从第三项起每一项都等于前连续两项的和,即an+an+1=an+2,所以x=5+8=13.
答案 C
4.600是数列1×2,2×3,3×4,4×5,…的第________项.
解析 an=n(n+1)=600=24×25,n=24.
答案 24
5.已知数列{an}满足a1>0,=(n∈N*),则数列{an}是________数列(填“递增”或“递减”).
解析 由已知a1>0,an+1=an(n∈N*),
得an>0(n∈N*).
又an+1-an=an-an=-an<0,
∴{an}是递减数列.
答案 递减
6.观察下面数列的特点,用适当的数填空,并写出每个数列的一个通项公式:
(1),,,( ),,,…
(2),( ),,,,…
(3)2,1,( ),,…
(4),,( ),,…
解 (1)根据观察:分母的最小公倍数为12,把各项都改写成以12为分母的分数,则
序号 1 2 3 4 5 6
↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓
数 ( )
于是括号内填,而分子恰为10减序号.
故括号内填,通项公式为an=.
(2)=,=,=,
=.
只要按上面形式把原数改写,便可发现各项与序号的对应关系:分子为序号加1的平方与1的和的算术平方根,分母为序号加1的平方与1的差.
故括号内填,通项公式为an=.
(3)因为2=,1=,=,所以数列缺少部分为,数列的通项公式为an=.
(4)先将原数列变形为1,2,( ),4,…,所以应填3,数列的通项公式为an=
n+.
综合提高 (限时25分钟)
7.下列命题:
①已知数列{an}中,an=(n∈N*),那么是这个数列的第10项,且最大项为第一项.
②数列,,2,,…的一个通项公式是an=.
③已知数列{an},an=kn-5,且a8=11,则a17=29.
④已知an+1=an+3,则数列{an}是递增数列.
其中正确命题的个数为 ( ).
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
解析 对于①,令an==⇒n=10,易知最大项为第一项.①正确.
对于②,数列,,2,,…变为,,,,…⇒,,,,…⇒an=,②正确;
对于③,an=kn-5,且a8=11⇒k=2⇒an=2n-5⇒a17=29.③正确;
对于④,由an+1-an=3>0,易知④正确.
答案 A
8.古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数,例如:
他们研究过图1中的1,3,6,10,…,由于这些数能够表示成三角形,将其称为三角形数;类似地,称图2中的1,4,9,16,…这样的数为正方形数.下列数中既是三角形数又是正方形数的是 ( ).
A.289 B.1 024 C.1 225 D.1 378
解析 由图形可得三角形数构成的数列通项an=(n+1),同理可得正方形数构成的数列通项bn=n2,而所给的选项中只有1 225满足a49==b35=352=1 225.故选C.
答案 C
9.数列,,,,…的一个通项公式是________.
解析 数列可写为:,,,,…,
分子满足:3=1+2,4=2+2,5=3+2,6=4+2,…,
分母满足:5=3×1+2,8=3×2+2,11=3×3+2,14=3×4+2,…,
故通项公式为an=.
答案 an=
10.如图1是第七届国际数学教育大会(简称ICME-7)的会徽图案,会徽的主体图案是由如图2的一连串直角三角形演化而成的,其中OA1=A1A2=A2A3=…=A7A8=1,如果把图2中的直角三角形继续作下去,记OA1,OA2,…,OAn,…的长度构成数列{an},则此数列的通项公式为an=________.
解析 ∵OA1=1,OA2=,OA3=,…,OAn=,…,
∴a1=1,a2=,a3=,…,an=.
答案
11.已知数列.
(1)求这个数列的第10项;
(2)是不是该数列中的项,为什么?
(3)求证:数列中的各项都在区间(0,1)内;
(4)在区间内有无数列中的项?若有,有几项?若没有,说明理由.
(1)解 设f(n)===.
令n=10,得第10项a10=f(10)=.
(2)解 令=,得9n=300.
此方程无正整数解,所以不是该数列中的项.
(3)证明 ∵an===1-,
又n∈N*,∴0<<1,∴0<an<1.
∴数列中的各项都在区间(0,1)内.
(4)解 令<an=<,
∴∴
∴<n<.
∴当且仅当n=2时,上式成立,故区间上有数列中的项,且只有一项为a2=.
12.(创新拓展)已知{an}的通项公式为an=3n+1,是否存在m,k∈N*,满足am+am+1=ak?如果存在,求出m,k的值;如果不存在,说明理由.
解 由am+am+1=ak,得6m+5=3k+1,
整理后,可得k-2m=,
∵m,k∈N*,∴k-2m为整数,
∴不存在m,k∈N*使等式成立.