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  • 2021-06-11 发布

2018届二轮复习(文) 解析几何专题六第2讲学案(全国通用)

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第2讲 椭圆、双曲线、抛物线 ‎1.以选择题、填空题形式考查圆锥曲线的方程、几何性质(特别是离心率).‎ ‎2.以解答题形式考查直线与圆锥曲线的位置关系(弦长、中点等).‎ 热点一 圆锥曲线的定义与标准方程 ‎1.圆锥曲线的定义 ‎(1)椭圆:|PF1|+|PF2|=2a(2a>|F1F2|).‎ ‎(2)双曲线:||PF1|-|PF2||=2a(2a<|F1F2|).‎ ‎(3)抛物线:|PF|=|PM|,点F不在直线l上,PM⊥l于M.‎ ‎2.求解圆锥曲线标准方程“先定型,后计算”‎ 所谓“定型”,就是确定曲线焦点所在的坐标轴的位置;所谓“计算”,就是指利用待定系数法求出方程中的a2,b2,p的值.‎ 例1 (1)(2017·湛江模拟)已知双曲线-=1(a>0)的一个焦点与抛物线y2=8x的焦点重合,则a等于(  )‎ A.1 B.2‎ C. D. 答案 A 解析 抛物线y2=8x的焦点为F,在双曲线-=1(a>0)中, c=2,c2=4,b2=3,所以a2=c2-b2=4-3=1, 所以a=1,故选A.‎ ‎(2)如图,过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于点A,B,交其准线于点C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,则此抛物线方程为(  )‎ A.y2=9x B.y2=6x C.y2=3x D.y2=x 答案 C 解析 如图分别过点A,B作准线的垂线,分别交准线于点E,D ‎,设=a,则由已知得=2a,由抛物线定义,得=a,故∠BCD=30°,在Rt△ACE中, ∵=|AF|=3,‎ =3+3a,∴2=,即3+3a=6,从而得a=1,=3a=3.‎ ‎∴p===,‎ 因此抛物线方程为y2=3x,故选C.‎ 思维升华 (1)准确把握圆锥曲线的定义和标准方程及其简单几何性质,注意当焦点在不同坐标轴上时,椭圆、双曲线、抛物线方程的不同表示形式.‎ ‎(2)求圆锥曲线方程的基本方法就是待定系数法,可结合草图确定.‎ 跟踪演练1 (1)(2017届沈阳市东北育才学校模拟)已知双曲线与椭圆+=1的焦点相同,且它们的离心率的乘积等于,则此双曲线的方程为(  )‎ A.-=1 B.-=1‎ C.-=1 D.-=1‎ 答案 B 解析 由题意得c=4,×=⇒a=2,∴b2=12.又双曲线的焦点在y轴上,∴双曲线的方程为-=1,故选B.‎ ‎(2)△ABC的两个顶点为A(-4,0),B(4,0),△ABC的周长为18,则C点轨迹方程为(  )‎ A.+=1(y≠0) B.+=1(y≠0)‎ C.+=1(y≠0) D.+=1(y≠0)‎ 答案 D 解析 ∵△ABC的两顶点A(-4,0),B(4,0),周长为18,∴|AB|=8,|BC|+|AC|=10.∵10>8,∴点C到两个定点的距离之和等于定值,满足椭圆的定义,∴点C的轨迹是以A,B为焦点的椭圆.∴2a=10,2c=8,即a=5,c=4,∴b=3.∴C点的轨迹方程为+=1(y≠0).故选D.‎ 热点二 圆锥曲线的几何性质 ‎1.椭圆、双曲线中a,b,c之间的关系 ‎(1)在椭圆中:a2=b2+c2,离心率为e== .‎ ‎(2)在双曲线中:c2=a2+b2,离心率为e==.‎ ‎2.双曲线-=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±x.注意离心率e与渐近线的斜率的关系.‎ 例2 (1)(2017·全国Ⅲ)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1,A2,且以线段A1A2为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切,则椭圆C的离心率为(  )‎ A. B. C. D. 答案 A 解析 由题意知,以A1A2为直径的圆的圆心坐标为(0,0),半径为a.又直线bx-ay+2ab=0与圆相切,‎ 所以圆心到直线的距离d==a,解得a=b,‎ 所以= .‎ 所以e=== = =.‎ 故选A.‎ ‎(2)(2017届百校大联考全国名校联盟联考)过双曲线E:-=1(a>0,b>0)的右顶点A作斜率为-1的直线,该直线与E的渐近线交于B,C两点,若+2=0,则双曲线E的渐近线方程为 (  )‎ A.y=±x B.y=±4x C.y=±x D.y=±2x 答案 D 解析 直线l:y=-x+a与渐近线l1:bx-ay=0交于点B,直线l:y=-x+a与渐近线l2:bx+ay=0交于点C,A.因为+2=0,所以=3,所以-a=3,‎ 所以b=2a.‎ 所以双曲线E的渐近线方程为y=±2x,故选D.‎ 思维升华 (1)明确圆锥曲线中a,b,c,e各量之间的关系是求解问题的关键.‎ ‎(2)在求解有关离心率的问题时,一般并不是直接求出c和a 的值,而是根据题目给出的椭圆或双曲线的几何特点,建立关于参数c,a,b的方程或不等式,通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围.‎ 跟踪演练2 (1)(2017届株洲一模)已知椭圆+=1(a>b>0),F1为左焦点,A为右顶点, B1,B2分别为上、下顶点,若F1,A,B1,B2四点在同一个圆上,则此椭圆的离心率为(  )‎ A. B. C. D. 答案 B 解析 由题设圆的半径r=,则b2+2=2,即a2-c2=ac⇒e2+e-1=0,解得e=,故选B.‎ ‎(2)已知双曲线C: -=1(a>0, b>0)的焦距为2c,直线l过点且与双曲线C的一条渐近线垂直,以双曲线C的右焦点为圆心,半焦距为半径的圆与直线l交于M, N两点,若=c,则双曲线C的渐近线方程为(  )‎ A.y=±x B.y=±x C.y=±2x D.y=±4x 答案 B 解析 由题意可设渐近线方程为y=x,则直线l的斜率kl=-,直线方程为y=-,‎ 整理可得ax+by-a2=0.‎ 焦点到直线的距离 d==,‎ 则弦长为2=2=c,‎ 整理可得c4-9a2c2+12a3c-4a4=0,‎ 即e4-9e2+12e-4=0,‎ 分解因式得=0.‎ 又双曲线的离心率e>1,则e==2,‎ 所以= = =,‎ 所以双曲线C的渐近线方程为y=±x.‎ 故选B.‎ 热点三 直线与圆锥曲线 判断直线与圆锥曲线公共点的个数或求交点问题有两种常用方法 ‎(1)代数法:联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于x,y的方程组,消去y(或x)得一元二次方程,此方程根的个数即为交点个数,方程组的解即为交点坐标.‎ ‎(2)几何法:画出直线与圆锥曲线的图象,根据图象判断公共点个数.‎ 例3 如图,已知P为椭圆E:+=1(a>b>0)上的点,且a2+b2=5.过点P的动直线与圆F:x2+y2=a2+1相交于A,B两点,过点P作直线AB的垂线与椭圆E相交于点Q.‎ ‎(1)求椭圆E的离心率;‎ ‎(2)若|AB|=2,求|PQ|.‎ 解 (1)依题意知,+=1,a2+b2=5,a>b>0,‎ 解得a2=3,b2=2,‎ 所以椭圆E的离心率e= = =.‎ ‎(2)依题意知圆F的圆心为原点,半径r=2,=2,‎ 所以原点到直线AB的距离为 d== =1,‎ 因为点P的坐标为,所以直线AB的斜率存在,设为k.‎ 所以直线AB的方程为y-1=k,‎ 即kx-y-k+1=0,‎ 所以d==1,解得k=0或k=2.‎ ‎①当k=0时,此时直线PQ的方程为x=,‎ 所以的值为点P的纵坐标的两倍,‎ 即=2×1=2;‎ ‎②当k=2时,直线PQ的方程为 y-1=-,‎ 将它代入椭圆E的方程+=1,‎ 消去y并整理,得34x2-10x-21=0,‎ 设Q点坐标为,所以+x1=,‎ 解得x1=-,‎ 所以= =.‎ 思维升华 解决直线与圆锥曲线问题的通法是联立方程,利用根与系数的关系,设而不求思想,弦长公式等简化计算;涉及中点弦问题时,也可用“点差法”求解.‎ 跟踪演练3 (2017届百校大联考全国名校联盟联考)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P在椭圆C上, =,过点F1的直线l与椭圆C分别交于M,N两点.‎ ‎(1)求椭圆C的方程及离心率;‎ ‎(2)若△OMN的面积为,O为坐标原点,求直线l的方程.‎ 解 (1)由题意得 解得a=,b=,c=1,‎ 故所求椭圆的方程为+=1,离心率为e==.‎ ‎(2)当直线MN与x轴垂直时, =,‎ 此时S△MON=不符合题意,舍去;‎ 当直线MN与x轴不垂直时,‎ 设直线MN的方程为y=k,‎ 由 ‎ 消去y得x2+6k2x+3k2-6=0.‎ 设M,N,‎ 则x1+x2=,x1x2=,‎ 所以= ‎= ‎==,‎ 原点O到直线MN的距离为d=,‎ 所以三角形的面积S△OMN=d ‎=××,‎ 由S△OMN=,得k2=3,故k=±,‎ 所以直线l的方程为y=或y=-.‎ 真题体验 ‎1.(2017·全国Ⅱ改编)若双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一条渐近线被圆(x-2)2+y2=4所截得的弦长为2,则双曲线C的离心率为________.‎ 答案 2‎ 解析 设双曲线的一条渐近线方程为y=x,‎ 圆的圆心为(2,0),半径为2,‎ 由弦长为2,得圆心到渐近线的距离为=.‎ 由点到直线的距离公式,得=,‎ 解得b2=3a2.‎ 所以双曲线C的离心率e====2.‎ ‎2.(2017·全国Ⅱ改编)过抛物线C:y2=4x的焦点F,且斜率为的直线交C于点M(M在x轴上方),l为C的准线,点N在l上且MN⊥l,则M到直线NF的距离为________.‎ 答案 2 解析 抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),准线方程为x ‎=-1.由直线方程的点斜式可得直线MF的方程为y=(x-1).‎ 联立方程组 解得或 ‎∵点M在x轴的上方,∴M(3,2).‎ ‎∵MN⊥l,∴N(-1,2).‎ ‎∴|NF|==4,‎ ‎|MF|=|MN|=3-(-1)=4.‎ ‎∴△MNF是边长为4的等边三角形.‎ ‎∴点M到直线NF的距离为2.‎ ‎3.(2017·全国Ⅲ)双曲线-=1(a>0)的一条渐近线方程为y=x,则a=________.‎ 答案 5‎ 解析 ∵双曲线的标准方程为-=1(a>0),‎ ‎∴双曲线的渐近线方程为y=±x.‎ 又双曲线的一条渐近线方程为y=x,∴a=5.‎ ‎4.(2017·山东)在平面直角坐标系xOy中,双曲线-=1(a>0,b>0)的右支与焦点为F的抛物线x2=2py (p>0)交于A,B两点,若|AF|+|BF|=4|OF|,则该双曲线的渐近线方程为________.‎ 答案 y=±x 解析 设A(x1,y1),B(x2,y2),‎ 由得a2y2-2pb2y+a2b2=0,‎ ‎∴y1+y2=.‎ 又∵|AF|+|BF|=4|OF|,‎ ‎∴y1++y2+=4×,即y1+y2=p,‎ ‎∴=p,即=,∴=,‎ ‎∴双曲线的渐近线方程为y=±x.‎ 押题预测 ‎1.(2017届江西师范大学附属中学模拟)已知F1,F2是双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过F2作双曲线一条渐近线的垂线,垂足为点A,交另一条渐近线于点B,且=,则该双曲线的离心率为(  )‎ A. B. C. D.2‎ 押题依据 圆锥曲线的几何性质是圆锥曲线的灵魂,其中离心率、渐近线是高考命题的热点.‎ 答案 A 解析 由F2到渐近线y=x的距离为d==b,即=b,则=3b.‎ 在△AF2O中, =c,tan∠F2OA=, tan∠AOB==,化简可得a2=2b2,即c2=a2+b2=a2,即e==,故选A.‎ ‎2.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,且点在该椭圆上.‎ ‎(1)求椭圆C的方程;‎ ‎(2)过椭圆C的左焦点F1的直线l与椭圆C相交于A,B两点,若△AOB的面积为,求圆心在原点O且与直线l相切的圆的方程.‎ 押题依据 椭圆及其性质是历年高考的重点,直线与椭圆的位置关系中的弦长、中点等知识应给予充分关注.‎ 解 (1)由题意可得e==,‎ 又a2=b2+c2,‎ 所以b2=a2.‎ 因为椭圆C经过点,‎ 所以+=1,‎ 解得a=2,所以b2=3,‎ 故椭圆C的方程为+=1.‎ ‎(2)由(1)知F1(-1,0),设直线l的方程为x=ty-1,‎ 由消去x,得(4+3t2)y2-6ty-9=0,‎ 显然Δ>0恒成立,设A(x1,y1),B(x2,y2),‎ 则y1+y2=,y1y2=-,‎ 所以|y1-y2|= ‎==,‎ 所以S△AOB=·|F1O|·|y1-y2|==,‎ 化简得18t4-t2-17=0,‎ 即(18t2+17)(t2-1)=0,‎ 解得t=1,t=-(舍去).‎ 又圆O的半径r==,‎ 所以r=,故圆O的方程为x2+y2=.‎ A组 专题通关 ‎1.(2017·天津)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的右焦点为F,点A在双曲线的渐近线上,△OAF是边长为2的等边三角形(O为原点),则双曲线的方程为(  )‎ A.-=1 B.-=1‎ C.-y2=1 D.x2-=1‎ 答案 D 解析 根据题意画出草图如图所示 .‎ 由△AOF是边长为2的等边三角形,得∠AOF=60°,c=|OF|=2.‎ 又点A在双曲线的渐近线y=x上,∴=tan 60°=.‎ 又a2+b2=4,∴a=1,b=,‎ ‎∴双曲线的方程为x2-=1.‎ 故选D.‎ ‎2.(2017届汕头模拟)若椭圆+=1上一点P与椭圆的两个焦点F1,F2的连线互相垂直,则△PF1F2的面积为(  )‎ A.36 B.16‎ C.20 D.24‎ 答案 B 解析 设=n,则m2+n2=4=80,即2-2mn=80.又m+n=2×6=12,∴mn=32,S△PF1F2=mn=16,故选B.‎ ‎3. (2017届常德一模)已知抛物线C: y2=4x的焦点为F,过F的直线l交抛物线C于A,B两点,弦AB的中点M到抛物线C的准线的距离为5,则直线l的斜率为(  )‎ A.± B.±1‎ C.± D.± 答案 C 解析 由题意知直线l的斜率存在且不为零,设直线l的方程为y=k,点A,B,‎ 线段AB的中点为M.‎ 由得k2x2-x+k2=0,‎ 所以x1+x2=.‎ 又因为弦AB的中点M到抛物线C的准线的距离为5,所以+=+1=5,‎ 所以x1+x2==8,解得k2=,‎ 所以k=±,故选C.‎ ‎4.(2017·河南省豫北重点中学联考)如图, F1,F2是双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过F2的直线与双曲线C交于A,B两点,若∶|BF1|∶|AF1|=3∶4∶5,则双曲线的离心率为(  )‎ A. B.3‎ C. D.2‎ 答案 A 解析 设=3x,=5x,所以△ABF1是直角三角形.因为=2a,所以+2a=4x+2a, =x+2a.又=2a,即5x-x-2a=2a,解得x=a,又2+2=4c2,即2+2=4c2,即2+2=4c2,解得=13,即e=,故选A.‎ ‎5.(2017·全国Ⅱ)已知F是抛物线C:y2=8x的焦点,M是C上一点,FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点,则|FN|=________.‎ 答案 6‎ 解析 如图,不妨设点M位于第一象限内,抛物线C的准线交x轴于点A,过点M作准线的垂线,垂足为点B,交y轴于点P,‎ ‎∴PM∥OF.‎ 由题意知,F(2,0),‎ ‎|FO|=|AO|=2.‎ ‎∵点M为FN的中点,PM∥OF,‎ ‎∴|MP|=|FO|=1.‎ 又|BP|=|AO|=2,‎ ‎∴|MB|=|MP|+|BP|=3.‎ 由抛物线的定义知|MF|=|MB|=3,‎ 故|FN|=2|MF|=6.‎ ‎6.(2017届浙江省嘉兴市第一中学适应性考试)若双曲线-=1(a>0,b>0)的右焦点到渐近线的距离等于焦距的倍,则双曲线的离心率为________,如果双曲线上存在一点P到双曲线的左、右焦点的距离之差为4,则双曲线的虚轴长为________.‎ 答案 2 4 解析 由右焦点到渐近线的距离等于焦距的倍可知,双曲线的渐近线y=x的倾斜角为,即=,所以e===2.因为a=2,从而b=a=2,‎ 所以虚轴长为4.‎ ‎7.(2017·泉州质检)椭圆C:+y2=1(a>1)的离心率为, F1,F2是C的两个焦点,过F1的直线l与C交于A,B两点,则的最大值为______.‎ 答案 7‎ 解析 因为离心率为,所以=⇒a=2,‎ 由椭圆定义得++=4a=8,‎ 即+=8-.‎ 而由焦点弦性质知,当AB⊥x轴时,取最小值2×=1,因此的最大值为8-1=7.‎ ‎8.一动圆与圆O1:(x+3)2+y2=1外切,与圆O2:(x-3)2+y2=81内切,则动圆圆心的轨迹方程为________________.‎ 答案 +=1‎ 解析 两定圆的圆心和半径分别是O1(-3,0),r1=1;‎ O2(3,0),r2=9.‎ 设动圆圆心为M(x,y),半径为R,则由题设条件,‎ 可得|MO1|=R+1,|O2M|=9-R.‎ ‎∴|MO1|+|MO2|=10>|O1O2|=6.‎ 由椭圆的定义知,点M在以O1,O2为焦点的椭圆上,‎ 且2a=10,2c=6,∴b2=16.‎ ‎∴动圆圆心的轨迹方程为+=1.‎ ‎9.(2017届唐山模拟)已知椭圆Γ:+=1(a>b>0)经过点M,且离心率为.‎ ‎(1)求椭圆Γ的方程;‎ ‎(2)设点M在x轴上的射影为点N,过点N的直线l与椭圆Γ相交于A, B两点,且+3=0,求直线l的方程.‎ 解 (1)由已知可得+=1, =,‎ 解得a=2, b=1,‎ 所以椭圆Γ的方程为+y2=1.‎ ‎(2)由已知N的坐标为,‎ 当直线l斜率为0时,直线l为x轴,易知+3=0不成立.‎ 当直线l斜率不为0时,设直线l的方程为x=my+,‎ 代入+y2=1,整理得y2+2my-1=0,‎ 设A, B,则 y1+y2=, ①‎ y1y2=, ②‎ 由+3=0,得y2=-3y1, ③‎ 由①②③解得m=±.‎ 所以直线l的方程为x=±y+,‎ 即y=±.‎ ‎10.如图所示,抛物线y2=4x的焦点为F,动点T(-1,m),过F作TF的垂线交抛物线于P,Q两点,弦PQ的中点为N.‎ ‎(1)证明:线段NT平行于x轴(或在x轴上);‎ ‎(2)若m>0且|NF|=|TF|,求m的值及点N的坐标.‎ ‎(1)证明 易知抛物线的焦点为F(1,0),准线方程为x=-1,动点T(-1,m)在准线上,则kTF=-.‎ 当m=0时,T为抛物线准线与x轴的交点,这时PQ为抛物线的通径,点N与焦点F重合,显然线段NT在x轴上.‎ 当m≠0时,由条件知kPQ=,‎ 所以直线PQ的方程为y=(x-1),‎ 联立 得x2-(2+m2)x+1=0,‎ Δ=[-(2+m2)]2-4=m2(4+m2)>0,‎ 设P(x1,y1),Q(x2,y2),‎ 可知x1+x2=2+m2,y1+y2=(x1+x2-2)=2m.‎ 所以弦PQ的中点N,又T(-1,m),‎ 所以kNT=0,则NT平行于x轴.‎ 综上可知,线段NT平行于x轴(或在x轴上).‎ ‎(2)解 已知|NF|=|TF|,‎ 在△TFN中,tan∠NTF==1⇒∠NTF=45°,‎ 设A是准线与x轴的交点,则△TFA是等腰直角三角形,所以|TA|=|AF|=2,‎ 又动点T(-1,m),其中m>0,则m=2.‎ 因为∠NTF=45°,所以kPQ=tan 45°=1,‎ 又焦点F(1,0),可得直线PQ的方程为y=x-1.‎ 由m=2,得T(-1,2),由(1)知线段NT平行于x轴,‎ 设N(x0,y0),则y0=2,代入y=x-1,得x0=3,‎ 所以N(3,2).‎ B组 能力提高 ‎11.(2017·长沙市长郡中学模拟)2000多年前,古希腊大数学家阿波罗尼奥斯(Apollonius)发现:平面截圆锥的截口曲线是圆锥曲线.已知圆锥的高为PH, AB为地面直径,顶角为2θ,那么不过顶点P的平面与PH夹角>a>θ时,截口曲线为椭圆;与PH夹角a=θ时,截口曲线为抛物线;与PH夹角θ>a>0时,截口曲线为双曲线.如图,底面内的直线AM⊥AB,过AM的平面截圆锥得到的曲线为椭圆,其中与PB的交点为C,可知AC为长轴.那么当C在线段PB上运动时,截口曲线的短轴端点的轨迹为(  )‎ A.圆的部分 B.椭圆的部分 C.双曲线的部分 D.抛物线的部分 答案 D 解析 如图,因为对于给定的椭圆来说,短轴的端点Q到焦点F的距离等于半长轴a,但短轴的端点Q到直线AM的距离也是a,即说明短轴的端点Q到定点F的距离等于到定直线AM的距离,所以由抛物线的定义可知,短轴的端点的轨迹是抛物线的一部分,故选D.‎ ‎12.已知椭圆M:+=1(a>b>0)的一个焦点为F,离心率为,过点F的动直线交M于A, B两点,若x轴上的点P使得∠APO=∠BPO总成立(O为坐标原点),则t等于(  )‎ A.-2 B.2 C.- D. 答案 B 解析 在椭圆中c=1, e==,得a=,b=1,故椭圆的方程为+y2=1.设A, B,由题意可知,当直线斜率不存在时, t可以为任意实数;当直线斜率存在时,可设直线方程为y=k,联立方程组 得x2-4k2x+2k2-2=0,‎ ‎∴x1+x2=, x1x2=,‎ 使得∠APO=∠BPO总成立,即使得PF为∠APB的角平分线,‎ 即直线PA和PB的斜率之和为0,‎ 即+=0, ①‎ 由y1=k(x1-1), y2=k,‎ 代入①整理得2x1x2-+2t=0,‎ 由根与系数的关系,可得-+2t=0,‎ 化简可得t=2,故选B.‎ ‎13.(2017·武汉调研)已知直线MN过椭圆+y2=1的左焦点F,与椭圆交于M,N两点,直线PQ过原点O与MN平行,且与椭圆交于P,Q两点,则=________.‎ 答案 2 解析 方法一 特殊化,设MN⊥x轴,则===,2=4, ==2.‎ 方法二 由题意知F(-1,0),当直线MN的斜率不存在时,|MN|==,|PQ|=2b=2,则=2;当直线MN的斜率存在时,设直线MN的斜率为k,‎ 则MN方程为y=k(x+1),M(x1,y1),N(x2,y2),‎ 联立方程 整理得(2k2+1)x2+4k2x+2k2-2=0.‎ 由根与系数的关系,得 x1+x2=-,x1x2=,‎ 则|MN|=· ‎=.‎ 直线PQ的方程为y=kx,P(x3,y3),Q(x4,y4),‎ 则解得x2=,y2=,‎ 则|OP|2=x2+y2=,又|PQ|=2|OP|,‎ 所以|PQ|2=4|OP|2=,∴=2.‎ ‎14.(2017·天津)已知椭圆+=1(a>b>0)的左焦点为F(-c,0),右顶点为A,点E的坐标为(0,c),△EFA的面积为.‎ ‎(1)求椭圆的离心率;‎ ‎(2)设点Q在线段AE上,|FQ|=,延长线段FQ与椭圆交于点P,点M,N在x轴上,PM∥QN,且直线PM与直线QN间的距离为c,四边形PQNM的面积为3c.‎ ‎①求直线FP的斜率;‎ ‎②求椭圆的方程.‎ 解 (1)设椭圆的离心率为e.‎ 由已知可得(c+a)c=.‎ 又由b2=a2-c2,可得2c2+ac-a2=0,‎ 即2e2+e-1=0,解得e=-1或e=.‎ 又因为00),则直线FP的斜率为.‎ 由(1)知a=2c,可得直线AE的方程为+=1,‎ 即x+2y-2c=0.与直线FP的方程联立,‎ 可得x=,y=,‎ 即点Q的坐标为.‎ 由已知|FQ|=,‎ 有2+2=2,‎ 整理得3m2-4m=0,所以m=(m=0舍去),‎ 即直线FP的斜率为.‎ ‎②由a=2c,可得b=c,‎ 故椭圆方程可以表示为+=1.‎ 由①得直线FP的方程为3x-4y+3c=0,与椭圆方程联立得 消去y,整理得7x2+6cx-13c2=0,‎ 解得x=-(舍去)或x=c.因此可得点P,‎ 进而可得|FP|= =,‎ 所以|PQ|=|FP|-|FQ|=-=c.‎ 由已知,线段PQ的长即为PM与QN这两条平行直线间的距离,故直线PM和QN都垂直于直线FP.‎ 因为QN⊥FP,‎ 所以|QN|=|FQ|·tan∠QFN=×=,‎ 所以△FQN的面积为|FQ||QN|=.‎ 同理△FPM的面积等于.‎ 由四边形PQNM的面积为3c,得-=3c,‎ 整理得c2=2c.又由c>0,得c=2.‎ 所以椭圆的方程为+=1.‎

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