【数学】2018届一轮复习人教A版 正弦定理和余弦定理 学案 7页

第6讲　正弦定理和余弦定理 最新考纲　掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.‎ 知 识 梳 理 ‎1.正、余弦定理 在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则 定理 正弦定理 余弦定理 公式 ＝＝＝2R a2＝b2＋c2－2bccos__A；‎ b2＝c2＋a2－2cacos__B；‎ c2＝a2＋b2－2abcos__C 常见变形 ‎(1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin__B，c＝2Rsin__C；‎ ‎(2)sin A＝，sin B＝，sin C＝；‎ ‎(3)a∶b∶c＝sin__A∶sin__B∶sin__C；‎ ‎(4)asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A cos A＝；‎ cos B＝；‎ cos C＝ ‎2.S△ABC＝absin C＝bcsin A＝acsin B＝＝(a＋b＋c)·r(r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R，r. ‎ ‎3.在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：‎ A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 a＝bsin A bsin Ab a≤b 解的个数 一解 两解 一解 一解 无解 诊 断 自 测 ‎1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)‎ ‎(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比.(　　)‎ ‎(2)在△ABC中，若sin A>sin B，则A>B.(　　)‎ ‎(3)在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素.(　　)‎ ‎(4)当b2＋c2－a2>0时，△ABC为锐角三角形；当b2＋c2－a2＝0时，△ABC为直角三角形；当b2＋c2－a2<0时，△ABC为钝角三角形.(　　)‎ ‎(5)在三角形中，已知两边和一角就能求三角形的面积.(　　)‎ 解析　(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角的正弦值之比.‎ ‎(3)已知三角时，不可求三边.‎ ‎(4)当b2＋c2－a2>0时，三角形ABC不一定为锐角三角形.‎ 答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)×　(5)√‎ ‎2.(2016·全国Ⅰ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a＝，c＝2，cos A＝，则b＝(　　)‎ A. B. C.2 D.3‎ 解析　由余弦定理，得5＝b2＋22－2×b×2×，解得b＝3，故选D.‎ 答案　D ‎3.(2017·湖州预测)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若＝，则cos B＝(　　)‎ A.－ B. C.－ D. 解析　由正弦定理知＝＝1，即tan B＝，由B∈(0，π)，所以B＝，所以cos B＝cos＝，故选B.‎ 答案　B ‎4.在△ABC中，A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积为，则BC的长为(　　)‎ A. B. C.2 D.2‎ 解析　因为S＝×AB×ACsin A＝×2×AC＝，所以AC＝1，‎ 所以BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos 60°＝3，‎ 所以BC＝.‎ 答案　B ‎5.(必修5P10B2改编)在△ABC中，acos A＝bcos B，则这个三角形的形状为________.‎ 解析　由正弦定理，得sin Acos A＝sin Bcos B，‎ 即sin ‎2A＝sin 2B，所以‎2A＝2B或‎2A＝π－2B，‎ 即A＝B或A＋B＝，‎ 所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形.‎ 答案　等腰三角形或直角三角形 ‎6.(2017·绍兴调研)已知钝角△ABC的面积为，AB＝1，BC＝，则角B＝________，AC＝________.‎ 解析　∵钝角△ABC的面积为，AB＝1，BC＝，‎ ‎∴＝×1××sin B，解得sin B＝，∴B＝或，‎ ‎∵当B＝时，由余弦定理可得 AC＝ ‎＝＝1，‎ 此时，AB2＋AC2＝BC2，可得A＝，此△ABC为直角三角形，与已知矛盾，舍去.‎ ‎∴B＝，由余弦定理可得AC＝ ‎＝＝.‎ 答案　　 考点一　利用正、余弦定理解三角形 ‎【例1】 (1)在△ABC中，已知a＝2，b＝，A＝45°，则满足条件的三角形有(　　)‎ A.1个 B.2个 C.0个 D.无法确定 ‎(2)在△ABC中，已知sin A∶sin B＝∶1，c2＝b2＋bc，则三内角A，B，C的度数依次是________.‎ ‎(3)(2015·广东卷)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝，sin B＝，C＝，则b＝________.‎ 解析　(1)∵bsin A＝×＝，∴bsin A0，∴sin A＝1，即A＝.‎ 答案　B ‎【迁移探究1】 将本例条件变为“若2sin Acos B＝sin C”，那么△ABC一定是(　　)‎ A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形 解析　法一　由已知得2sin Acos B＝sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B，即sin(A－B)＝0，因为－π0)，由余弦定理可得 cos C＝＝＝－<0，‎ 又∵C∈(0，π)，∴C∈，∴△ABC为钝角三角形.‎ 答案　C ‎【迁移探究3】 将本例条件变为“若a2＋b2－c2＝ab，且2cos Asin B＝sin C”，试确定△ABC的形状.‎ 解　法一　利用边的关系来判断：‎ 由正弦定理得＝，‎ 由2cos Asin B＝sin C，有cos A＝＝.‎ 又由余弦定理得cos A＝，‎ ‎∴＝，‎ 即c2＝b2＋c2－a2，所以a2＝b2，所以a＝b.‎ 又∵a2＋b2－c2＝ab.∴2b2－c2＝b2，所以b2＝c2，‎ ‎∴b＝c，∴a＝b＝c.∴△ABC为等边三角形.‎ 法二　利用角的关系来判断：‎ ‎∵A＋B＋C＝180°，∴sin C＝sin(A＋B)，‎ 又∵2cos Asin B＝sin C，‎ ‎∴2cos Asin B＝sin Acos B＋cos Asin B，‎ ‎∴sin(A－B)＝0，‎ 又∵A与B均为△ABC的内角，所以A＝B.‎ 又由a2＋b2－c2＝ab，‎ 由余弦定理，得cos C＝＝＝，‎ 又0°