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- 2021-06-11 发布
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陕西省渭南市韩城市司马迁中学2020届高三下学期冲刺考试数学(理)试卷
一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合,,则
A. B. C. D.
2.若复数满足,其中为虚数单位,则
A. B. C. D.
3.已知,命题:,:,则是的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分且必要条件 D.既不充分也不必要条件
4.函数的部分图像可能是
5.已知双曲线(,)与椭圆有共同焦
点,且双曲线的一条渐近线方程为,则该双曲线的方程为
A. B. C. D.
6.执行如图所示的程序框图,则输出的值为
A. B. C. D.
7.已知为正方形,其内切圆与各边分别切于,,,
,连接,,,.现向正方形内随机抛
掷一枚豆子,记事件:豆子落在圆内,事件:豆子落在四边
形外,则
A. B. C. D.
8.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是
某四面体的三视图,则该四面体的体积为
A.
B.
C.
D.
9.将函数图象上各点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,然后向左平移个单位长度,得到图象,若关于的方程在上有两个不相等的实根,则实数的取值范围是
A. B. C. D.
10.若函数,分别是定义在上的偶函数,奇函数,且满足,则
A. B.
C. D.
11.已知,分别为椭圆的左、右焦点,点是椭圆上位于第一象限内的点,延长交椭圆于点,若,且,则椭圆的离心率为
A. B. C. D.
12.已知函数,则的零点个数可能为
A.个 B.个或个 C.个或个或个 D.个或个
二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)
13.已知的展开式各项系数之和为256,则展开式中含项的系数为 .
14.设等差数列的前项和为,若,,则公差 .
15.在中,,其面积为3,设点在内,且满足,则 .
16.已知正三棱锥的所有顶点都在球的球面上,棱锥的底面是边长为的正三角形,侧棱长为,则球的表面积为 .
三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(满分12分)
在中,内角、、的对边分别为、、,且.
(1)求角的大小;
(2)若,的面积为,求的值.
18.(满分12分)2022年北京冬奥会的申办成功与“3亿人上冰雪”口号的提出,将冰雪这个冷项目迅速炒“热”.北京某综合大学计划在一年级开设冰球课程,为了解学生对冰球运动的兴趣,随机从该校一年级学生中抽取了100人进行调查,其中女生中对冰球运动有兴趣的占,而男生有10人表示对冰球运动没有兴趣.
(1)完成下列列联表,并回答能否有的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”?
有兴趣
没兴趣
合计
男
55
女
合计
(2)若将频率视为概率,现再从该校一年级全体学生中,采用随机抽样的方法每次抽取1名学生,抽取5次,记被抽取的5名学生中对冰球有兴趣的人数为,若每次抽取的结果是相互独立的,求的分布列,期望和方差.
附表:
0.150
0.100
0.050
0.025
0.010
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
19.(满分12分)
如图,在四棱锥中,底面为矩形,平面平面,.
(1)证明:平面平面;
(2)若,为棱的中点,,
,求二面角的余弦值.
20.(满分12分)
已知点,直线:,为平面上的动点,过点作直线的垂线,垂足为,且满足.
(1)求动点的轨迹的方程;
(2)过点作直线与轨迹交于,两点,为直线上一点,且满足,若的面积为,求直线的方程.
21.(满分12分) 设函数.
(1)求证:当时,;
(2)求证:对任意给定的正数,总存在,使得当时,恒有.
22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)
在平面直角坐标系中,曲线的方程为,直线的参数方程(为参数),若将曲线上的点的横坐标不变,纵坐标变为原来的
倍,得曲线.
(1)写出曲线的参数方程;
(2)设点,直线与曲线两个交点分别为,,求的值.
23.[选修4-5:不等式选讲](10分)
已知函数,为不等式的解集.
(1)求集合;
(2)若,,求证:.
答案
一、选择题BCAAD BCBCDDA
二、填空题13. 14. 15. 16.
三、解答题
17.解:(1)由已知及正弦定理得:,
,
(2)
又
所以,.
18.解:(1)根据已知数据得到如下列联表
有兴趣
没有兴趣
合计
男
45
10
55
女
30
15
45
合计
75
25
100
根据列联表中的数据,得到
所以有90%的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”。
(2)由列联表中数据可知,对冰球有兴趣的学生频率是,将频率视为概率,即从大一学生中抽取一名学生对冰球有兴趣的概率是,
由题意知,从而X的分布列为
X
0
1
2
3
4
5
,
.
19.(Ⅰ)证明:∵四边形ABCD是矩形,∴CD⊥BC.
∵平面PBC⊥平面ABCD,平面PBC∩平面ABCD=BC,CD平面ABCD,
∴CD⊥平面PBC,
∴CD⊥PB.
∵PB⊥PD,CD∩PD=D,CD、PD平面PCD,∴PB⊥平面PCD.
∵PB平面PAB,∴平面PAB⊥平面PCD.
(2)设BC中点为,连接,
,又面面,且面面,
所以面。
以为坐标原点,的方向为轴正方向,为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系.由(1)知PB⊥平面PCD,故PB⊥,设,
可得
所以由题得,解得.
所以
设是平面的法向量,则,即,
可取.
设是平面的法向量,则,即,
可取.
则,
所以二面角的余弦值为.
20.解:(1)设,则,
,,
,,即轨迹的方程为.
(II)法一:显然直线的斜率存在,设的方程为,
由,消去可得:,
设,,,
,,
即,
,即
,,即,
,
到直线的距离,
,解得,
直线的方程为或.
法2:(Ⅱ)设,AB的中点为
则
直线的方程为,
过点A,B分别作,因为为AB 的中点,
所以在中,
故是直角梯形的中位线,可得,从而
点到直线的距离为:
因为E点在直线上,所以有,从而
由解得
所以直线的方程为或.
21. 解析:(1)当时,等价于,
构造函数,.则,
记,,
当时,,在上单调递增;
当时,,在上单调递减.
于是,,即当时,,为上的增函数,所以,,即.
于是,当时,.
(2)由(1)可知,当时,.于是,.
所以,.解不等式,可得,
取.则对任意给定的正数,,当时,有,
即.
22解:(1)若将曲线上的点的纵坐标变为原来的,则曲线的直角坐标方程为
,
整理得,曲线的参数方程(为参数).
(2)将直线的参数方程化为标准形式为(为参数),
将参数方程带入得
整理得.
,,
.
23.解:(1)
当时,,由解得,;
当时,,恒成立,;
当时,由解得,
综上,的解集
(2)
由得
.