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  • 2021-06-11 发布

陕西省渭南市韩城市司马迁中学2020届高三下学期冲刺考试数学(理)试卷

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陕西省渭南市韩城市司马迁中学2020届高三下学期冲刺考试数学(理)试卷 一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合,,则 A. B. C. D. ‎ ‎2.若复数满足,其中为虚数单位,则 A. B. C. D. ‎ ‎3.已知,命题:,:,则是的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 ‎ C.充分且必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎ ‎4.函数的部分图像可能是 ‎5.已知双曲线(,)与椭圆有共同焦 点,且双曲线的一条渐近线方程为,则该双曲线的方程为 A. B. C. D. ‎ ‎6.执行如图所示的程序框图,则输出的值为 A. B. C. D. ‎ ‎7.已知为正方形,其内切圆与各边分别切于,,,‎ ‎,连接,,,.现向正方形内随机抛 掷一枚豆子,记事件:豆子落在圆内,事件:豆子落在四边 形外,则 A. B. C. D. ‎ ‎8.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是 某四面体的三视图,则该四面体的体积为 A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎9.将函数图象上各点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,然后向左平移个单位长度,得到图象,若关于的方程在上有两个不相等的实根,则实数的取值范围是 A. B. C. D. ‎ ‎10.若函数,分别是定义在上的偶函数,奇函数,且满足,则 A. B.‎ C. D. ‎ ‎11.已知,分别为椭圆的左、右焦点,点是椭圆上位于第一象限内的点,延长交椭圆于点,若,且,则椭圆的离心率为 A. B. C. D. ‎ ‎12.已知函数,则的零点个数可能为 ‎ ‎ A.个 B.个或个 C.个或个或个 D.个或个 二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)‎ ‎13.已知的展开式各项系数之和为256,则展开式中含项的系数为 .‎ ‎14.设等差数列的前项和为,若,,则公差 .‎ ‎15.在中,,其面积为3,设点在内,且满足,则 .‎ ‎16.已知正三棱锥的所有顶点都在球的球面上,棱锥的底面是边长为的正三角形,侧棱长为,则球的表面积为 .‎ 三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ‎ ‎17.(满分12分)‎ 在中,内角、、的对边分别为、、,且.‎ ‎(1)求角的大小;‎ ‎(2)若,的面积为,求的值.‎ ‎18.(满分12分)2022年北京冬奥会的申办成功与“3亿人上冰雪”口号的提出,将冰雪这个冷项目迅速炒“热”.北京某综合大学计划在一年级开设冰球课程,为了解学生对冰球运动的兴趣,随机从该校一年级学生中抽取了100人进行调查,其中女生中对冰球运动有兴趣的占,而男生有10人表示对冰球运动没有兴趣.‎ ‎(1)完成下列列联表,并回答能否有的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”?‎ 有兴趣 没兴趣 合计 男 ‎55‎ 女 合计 ‎(2)若将频率视为概率,现再从该校一年级全体学生中,采用随机抽样的方法每次抽取1名学生,抽取5次,记被抽取的5名学生中对冰球有兴趣的人数为,若每次抽取的结果是相互独立的,求的分布列,期望和方差.‎ 附表:‎ ‎0.150‎ ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎19.(满分12分)‎ 如图,在四棱锥中,底面为矩形,平面平面,.‎ ‎(1)证明:平面平面;‎ ‎(2)若,为棱的中点,,‎ ‎,求二面角的余弦值.‎ ‎20.(满分12分)‎ 已知点,直线:,为平面上的动点,过点作直线的垂线,垂足为,且满足.‎ ‎(1)求动点的轨迹的方程;‎ ‎(2)过点作直线与轨迹交于,两点,为直线上一点,且满足,若的面积为,求直线的方程.‎ ‎21.(满分12分) 设函数.‎ ‎(1)求证:当时,;‎ ‎(2)求证:对任意给定的正数,总存在,使得当时,恒有.‎ ‎22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)‎ 在平面直角坐标系中,曲线的方程为,直线的参数方程(为参数),若将曲线上的点的横坐标不变,纵坐标变为原来的 倍,得曲线.‎ ‎(1)写出曲线的参数方程;‎ ‎(2)设点,直线与曲线两个交点分别为,,求的值.‎ ‎23.[选修4-5:不等式选讲](10分)‎ 已知函数,为不等式的解集.‎ ‎(1)求集合;‎ ‎(2)若,,求证:.‎ ‎答案 一、选择题BCAAD BCBCDDA ‎ 二、填空题13. 14. 15. 16. ‎ 三、解答题 ‎17.解:(1)由已知及正弦定理得:,‎ ‎,‎ ‎ ‎ ‎(2) ‎ 又 所以,. ‎ ‎18.解:(1)根据已知数据得到如下列联表 有兴趣 没有兴趣 合计 男 ‎45‎ ‎10‎ ‎55‎ 女 ‎30‎ ‎15‎ ‎45‎ 合计 ‎75‎ ‎25‎ ‎100‎ 根据列联表中的数据,得到 所以有90%的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”。‎ ‎(2)由列联表中数据可知,对冰球有兴趣的学生频率是,将频率视为概率,即从大一学生中抽取一名学生对冰球有兴趣的概率是,‎ 由题意知,从而X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎, ‎ ‎.‎ ‎19.(Ⅰ)证明:∵四边形ABCD是矩形,∴CD⊥BC.‎ ‎∵平面PBC⊥平面ABCD,平面PBC∩平面ABCD=BC,CD平面ABCD,‎ ‎∴CD⊥平面PBC, ‎ ‎∴CD⊥PB. ‎ ‎∵PB⊥PD,CD∩PD=D,CD、PD平面PCD,∴PB⊥平面PCD. ‎ ‎∵PB平面PAB,∴平面PAB⊥平面PCD. ‎ ‎(2)设BC中点为,连接,‎ ‎,又面面,且面面,‎ 所以面。 ‎ 以为坐标原点,的方向为轴正方向,为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系.由(1)知PB⊥平面PCD,故PB⊥,设,‎ 可得 ‎ 所以由题得,解得. ‎ 所以 设是平面的法向量,则,即,‎ 可取.‎ 设是平面的法向量,则,即,‎ 可取. ‎ 则, ‎ 所以二面角的余弦值为. ‎ ‎20.解:(1)设,则,‎ ‎,, ‎ ‎,,即轨迹的方程为. ‎ ‎(II)法一:显然直线的斜率存在,设的方程为,‎ 由,消去可得:,‎ 设,,,‎ ‎,,‎ 即,‎ ‎,即 ‎,,即, ‎ ‎,‎ 到直线的距离,‎ ‎,解得,‎ 直线的方程为或. ‎ ‎ 法2:(Ⅱ)设,AB的中点为 则 直线的方程为,‎ 过点A,B分别作,因为为AB 的中点,‎ 所以在中,‎ 故是直角梯形的中位线,可得,从而 点到直线的距离为:‎ 因为E点在直线上,所以有,从而 ‎ 由解得 所以直线的方程为或. ‎ ‎21. 解析:(1)当时,等价于,‎ 构造函数,.则, ‎ 记,,‎ 当时,,在上单调递增;‎ 当时,,在上单调递减.‎ 于是,,即当时,,为上的增函数,所以,,即.‎ 于是,当时,. ‎ ‎(2)由(1)可知,当时,.于是,. ‎ 所以,.解不等式,可得,‎ 取.则对任意给定的正数,,当时,有,‎ 即.‎ ‎22解:(1)若将曲线上的点的纵坐标变为原来的,则曲线的直角坐标方程为 ‎,‎ 整理得,曲线的参数方程(为参数).‎ ‎(2)将直线的参数方程化为标准形式为(为参数), ‎ ‎ 将参数方程带入得 ‎ 整理得.‎ ‎,,‎ ‎.‎ ‎23.解:(1)‎ 当时,,由解得,;‎ 当时,,恒成立,;‎ 当时,由解得,‎ 综上,的解集 ‎(2)‎ 由得 ‎.‎

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