江苏省百校联考2020届高三第四次试卷数学试题含附加题（255C） 12页

‎2020届江苏省百校联考高三年级第四次试卷 数学试题 第I卷（必做题，共160分）‎ 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）‎ ‎1．已知集合A＝{2，5}，B＝{3，5}，则AB＝ ．‎ ‎2．已知复数z满足（i为虚数单位），则复数z的实部为 ．‎ ‎3．A，B，C三所学校举行高三联考，三所学校参加联考的人数分别为160，240，400，为了调查联考数学学科的成绩，现采用分层抽样的方法在这三所学校中抽取样本，若在B学校抽取的数学成绩的份数为30，则抽取的样本容量为 ．‎ ‎4．根据如图所示的伪代码，若输入的x的值为2，则输出的y的值 为 ．‎ ‎5．某同学周末通过抛硬币的方式决定出去看电影还是在家学习，抛 一枚硬币两次，若两次都是正面朝上，就在家学习，否则出去看 电影，则该同学在家学习的概率为 ．‎ ‎6．已知数列满足，且恒成立，则 的值为 ． 第4题 ‎7．已知函数(A＞0，＞0，＜)的部分图象如图所示，则的值为 ．‎ ‎ 第11题 第12题 ‎ 第7题 ‎8．在平面直角坐标系xOy中，双曲线(a＞0，b＞0)的焦距为2c，若过右焦点且与x轴垂直的直线与两条渐近线围成的三角形面积为c2，则双曲线的离心率为 ．‎ ‎9．已知m，n为正实数，且m＋n＝mn，则m＋2n的最小值为 ．‎ ‎10．已知函数，则不等式的解集为 ．‎ ‎11．如图，在一个倒置的高为2的圆锥形容器中，装有深度为h的水，‎ 再放入一 个半径为1的不锈钢制的实心半球后，半球的大圆面、水面均与容器口相平，则h的值为 ．‎ ‎12．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝BC＝2，AD＝4，E，F分别是BC，CD的中点，若，则的值为 ．‎ ‎13．函数满足，当x[﹣2，2)时，，若函数在[0，2020)上有1515个零点，则实数a的范围为 ．‎ ‎14．已知圆O：，直线l与圆O交于P，Q两点，A(2，2)，若AP2＋AQ2＝40，则弦PQ的长度的最大值为 ．‎ 二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）‎ ‎15．（本小题满分14分）‎ 如图，已知在三棱锥P—ABC中，PA⊥平面ABC，E，F，G分别为AC，PA，PB的中点，且AC＝2BE．‎ ‎（1）求证：PB⊥BC；‎ ‎（2）设平面EFG与BC交于点H，求证：H为BC的中点．‎ ‎16．（本小题满分14分）‎ 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若＝(a，b﹣c)，＝(sinA﹣sinB，sinB＋sinC)，＝(1，2)，且⊥．‎ ‎（1）求角C的值；‎ ‎（2）求的最大值．‎ ‎17．（本小题满分14分）‎ 已知椭圆C：(a＞b＞0)的左顶点为A，左右焦点分别为F1，F2，离心率为，P是椭圆上的一个动点（不与左，右顶点重合），且△PF1F2的周长为6，点P关于原点的对称点为Q，直线AP，QF2交于点M．‎ ‎（1）求椭圆方程；‎ ‎（2）若直线PF2与椭圆交于另一点N，且，求点P的坐标．‎ ‎18．（本小题满分16分）‎ 管道清洁棒是通过在管道内释放清洁剂来清洁管道内壁的工具，现欲用清洁棒清洁一个如图1所示的圆管直角弯头的内壁，其纵截面如图2所示，一根长度为L crn的清洁棒在弯头内恰好处于AB位置（图中给出的数据是圆管内壁直径大小，(0，)）．‎ ‎（1）请用角表示清洁棒的长L；‎ ‎（2）若想让清洁棒通过该弯头，清洁下一段圆管，求能通过该弯头的清洁棒的最大长度．‎ ‎19．（本小题满分16分）‎ 已知等差数列和等比数列的各项均为整数，它们的前n项和分别为，，且，，．‎ ‎（1）求数列，的通项公式；‎ ‎（2）求；‎ ‎（3）是否存在正整数m，使得恰好是数列或中的项？若存在，求出所有满足条件的m的值；若不存在，说明理由．‎ ‎20．（本小题满分16分）‎ 已知函数，(R)（e是自然对数的底数，e≈2.718…）．‎ ‎（1）求函数的图像在x＝1处的切线方程；‎ ‎（2）若函数在区间[4，5]上单调递增，求实数a的取值范围；‎ ‎（3）若函数在区间(0，)上有两个极值点，(＜)，且恒成立，求满足条件的m的最小值（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）．‎ 第II卷（附加题，共40分）‎ ‎21．【选做题】本题包括A，B，C三小题，请选定其中两题作答，每小题10分共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ A．选修4—2：矩阵与变换 已知矩阵M＝(a，bR)不存在逆矩阵，且非零特征值对应的一个特征向量＝，求a，b的值．‎ B．选修4—4：坐标系与参数方程 以平面直角坐标系xOy的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且在两种坐标系中取相同的长度单位，建立极坐标系，已知曲线C1：，曲线C2：（为参数），求曲线C1，C2交点的直角坐标．‎ C．选修4—5：不等式选讲 已知凸n边形A1A2A3…An的面积为1，边长AiAi＋1＝(i＝1，2，…，n﹣1)，AnA1＝，其内部一点P到边AiAi＋1＝(i＝1，2，…，n﹣1)的距离分别为d1，d2，d3，…，dn．求证：．‎ ‎【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎22．（本小题满分10分）‎ 如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是直角梯形，且AD// BC，AB⊥BC，AB＝BC＝2AD＝2，侧面PAB为等边三角形，且平面PAB⊥平面ABCD．‎ ‎（1）求平面PAB与平面PDC所成的锐二面角的大小；‎ ‎（2）若(0≤≤1)，且直线BQ与平面PDC所成角为，求的值．‎ ‎23．（本小题满分10分）‎ 如图，正方形AGIC是某城市的一个区域的示意图，阴影部分为街道，各相邻的两红绿灯之间的距离相等，A~I处为红绿灯路口，红绿灯统一设置如下：先直行绿灯30秒，再左转绿灯30秒，然后是红灯1分钟，右转不受红绿灯影响，这样独立的循环运行．小明上学需沿街道从I处骑行到A处（不考虑A，I处的红绿灯），出发时的两条路线(I→F，I→H)等可能选择，且总是走最近路线．‎ ‎（1）请问小明上学的路线有多少种不同可能？‎ ‎（2）在保证通过红绿灯路口用时最短的前提下，小明优先直行，求小明骑行途中恰好经过E处，且全程不等红绿灯的概率；‎ ‎（3）请你根据每条可能的路线中等红绿灯的次数的均值，为小明设计一条最佳的上学路线，且应尽量避开哪条路线？‎ ‎ 备用图 参考答案