难点10 解析几何中的定值、定点和定线问题（测试卷）-2017年高考数学二轮复习精品资料（新课标版） 13页

www.ks5u.com 难点十 难点突破强化训练 ‎（一）选择题（12*5=60分）‎ ‎1．【云南大理2017届高三第一次统测】已知双曲线与不过原点且不平行于坐标轴的直线相交于两点，线段的中点为，设直线的斜率为，直线的斜率为，则（ ）‎ A． B． C．2 D．-2‎ ‎【答案】A ‎2．【四川省2017年普通高考适应性测试】如图，为椭圆的长轴的左、右端点，为坐标原点，为椭圆上不同于的三点，直线，围成一个平行四边形，则（ ）‎ A．5 B． C.9 D．14‎ ‎【答案】D ‎【解析】设，斜率为，则斜率为，且 ‎，所以，同理，因此 ‎，选D.‎ ‎3．【2017届四川双流中学高三必得分训练8】．已知椭圆和双曲线有公共焦点，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎4．【2017届江西吉安一中高三周考12.11】已知双曲线的左、右焦点分别为，双曲线的离心率为，若双曲线上一点使，则的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】双曲线的左、右焦点分别为，可得，在中，由正弦定理得，又结合这两个条件得，由余弦定理可得,故选B．‎ ‎5．【2017届河南新乡一中高三周考12.18】若，满足，则直线过定点（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】，,当时,，‎ ‎,故直线过定点.故选B.‎ ‎6．【2017届福建闽侯县三中高三上期中】已知是双曲线上任意一点，过点分别作双曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为，则的值是（ ）‎ A． B． C． D．不能确定 ‎【答案】A ‎【解析】设则，即，由双曲线的渐近线方程为，则由，解得交点，由解得交点，，则，故选A.‎ ‎7．已知直线与双曲线交于，两点，为双曲线上不同于，的点，当直线，的斜率，存在时， ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】联立得,设因为为双曲线上不同于的点,设且满足,,,‎ ‎,故填.‎ ‎8．【2017届河南南阳一中高三上学期月考四】如图，已知点是离心率为的椭圆：上的一点，斜率为的直线交椭圆于、两点，且、、三点互不重合．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）求证：直线，的斜率之和为定值．‎ ‎【解析】（1）由题意，可得，代入得，又，解得，‎ ‎，，所以椭圆的方程为． ‎ ‎（2）证明：设直线的方程为，又， ，三点不重合，∴，设，，由得，所以，解得，‎ ‎，① ，② 设直线，的斜率分别为，，‎ 则（），‎ 分别将①②式代入（），得，所以，即直线，的斜率之和为定值．‎ ‎ 9．【2017届湖南湘中名校教改联合体高三12月联考】已知经过抛物线：焦点的直线：与抛物线交于、两点，若存在一定点，使得无论怎样运动，总有直线的斜率与的斜率互为相反数．‎ ‎（1）求与的值；‎ ‎（2）对于椭圆：，经过它左焦点的直线与椭圆交于、两点，是否存在定点，使得无论怎样运动，都有？若存在，求出 坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎（2）直线垂直于轴时，、两点关于轴对称，，要使，则必在轴上，设点，直线不垂直于轴时，设：，设，．‎ ‎：代入得．，，，直线的斜率与的斜率互为相反数．即，，以上每步可逆，存在定点，使得． ‎ ‎10. 【2017届江苏徐州丰县民族中学高三上学期调考二】如图所示，已知圆的圆心在直线上，且该圆存在两点关于直线对称，又圆与直线：相切，过点的动直线与圆相交于，两点，是的中点，直线与相交于点．‎ ‎（1）求圆的方程；‎ ‎（2）当时，求直线的方程；‎ ‎（3）是否为定值？如果是，求出其定值；如果不是，请说明理由．‎ ‎【解析】（1）由圆存在两点关于直线对称知圆心在直线上．由得，设圆的半径为，因为圆与直线：相切，所以，所以圆方程为．‎ ‎（3）∵，∴，∴，‎ 当直线与轴垂直时，得，则，又，∴，当直线的斜率存在时，设直线的方程为，‎ 由解得，∴，∴ ，综上所述，为定值．‎ ‎ 11．【2017届四川成都七中届高三第14周考试】已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆上的点到焦点的距离的最小值为，其离心率是方程的根.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）若椭圆长轴的左右端点分别为，设直线与轴交于点，动点是直线上异于点的任意一点，直线，与椭圆交于两点，问直线是否恒过定点？若是，求出定点；若不是，请说明理由.‎ ‎【解析】（1）设椭圆的方程为，则依题意得，又离心率是方程的根，所以，，，∴.∴椭圆的标准方程为.‎ ‎（2）由（1）知椭圆的标准方程为，∴，，设动点，，，则，，∴直线的方程为，直线的方程为，由消去得 ‎，∴，∴，，∴.由消去得，∴，∴，，∴.∴，∴直线的方程为，∴ ，∴直线过定点，当时，，；当时，，.此时直线也恒过定点.综上可知，直线恒过定点，且定点坐标为.‎ ‎12．【安徽省“皖南八校”2017届高三第二次联考】如图，点，分别为椭圆的左右顶点，为椭圆上非顶点的三点，直线的斜率分别为，且，，.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）判断的面积是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由.‎ ‎【解析】（Ⅰ），椭圆.‎ ‎（Ⅱ）设直线的方程为，，，，，，‎ ‎，，，‎ ‎，，.的面积为定值1.‎ ‎13. 【2017届三省高三上学期百校大联考数学】已知抛物线，直线与交于，两点，且，其中为坐标原点.‎ ‎（1）求抛物线的方程；‎ ‎（2）已知点的坐标为（-3,0），记直线、的斜率分别为，，证明：为定值.‎ ‎【解析】（1）设，，联立方程组，消元得，所以，. 又，所以，从而. ‎ ‎（2）因为，，所以，， ‎ 因此，又，， ‎ 所以 ，即为定值.‎ ‎14．【2017届辽宁庄河市高级中学高三9月月考】已知抛物线：（）与椭圆：相交所得的弦长为．‎ ‎（Ⅰ）求抛物线的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）设，是上异于原点的两个不同点，直线和的倾斜角分别为和，当， 变化且为定值（）时，证明：直线恒过定点，并求出该定点的坐标．‎ ‎（Ⅱ）设点，，由题意得（否则，不满足），且，，设直线，的方程分别为，， 联立，解得，，联立，解得，； 则由两点式得，‎ 直线的方程为．‎ 化简得．①‎ 因为，由，得，得，②‎ 将②代入①，化简得，得．得，得，得，‎ 即．令，不管取何值，都有．所以直线恒过定点． ‎ ‎15．【2017届河南名校学术联盟联考】设椭圆的离心率，圆与直线相切，为坐标原点．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）过点任作一直线交椭圆于两点，记，若在线段上取一点,使得，试判断当直线运动时，点是否在某一定直一上运动？若是，请求出该定直线的方程；若不是，请说明理由．‎ ‎【解析】（1）由，∴，∴，又，解得，所以椭圆的方程为．‎ ‎（2）直线的斜率必存在，设其直线方程为，并设，，联立方程，消去得，则 ‎，，，由，得，故．设点的坐标为，则由，得，‎ 解得，又，，从而，故点在定直线上．‎ ‎ ‎ ‎ ‎