【数学】2019届文科一轮复习人教A版5-3等比数列及其前n项和教案 8页

第三节 等比数列及其前 n 项和 [考纲传真] (教师用书独具)1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式 与前 n 项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用等比数列 的有关知识解决相应的问题.4.了解等比数列与指数函数的关系． (对应学生用书第 71 页) [基础知识填充] 1．等比数列的有关概念 (1)定义：如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常 数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比， 通常用字母 q 表示，定义的表达式为an＋1 an ＝q(n∈N*，q 为非零常数)． (2)等比中项：如果 a，G，b 成等比数列，那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项．即 G 是 a 与 b 的等比中项⇒a，G，b 成等比数列⇒G2＝aB． 2．等比数列的通项公式与前 n 项和公式 (1)通项公式：an＝a1qn－1. (2)前 n 项和公式： Sn＝ na1q＝1， a11－qn 1－q ＝a1－anq 1－q q≠1. 3．等比数列的常用性质 (1)通项公式的推广：an＝am·qn－m(n，m∈N*)． (2)若 m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，则 am·an＝ap·aq＝a2k. (3)若数列{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}， 1 an ，{a2n}，{an·bn}， an bn (λ≠0)仍然是等比数列． (4)在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即 an，an＋k， an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为 qk. (5)当 q≠－1 时，数列 Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等比数列． [知识拓展] 1．“G2＝ab”是“a，G，b 成等比数列”的必要不充分条件． 2．若 q≠0，q≠1，则 Sn＝k－kqn(k≠0)是数列{an}成等比数列的充要条件，此时 k＝ a1 1－q. [基本能力自测] 1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)满足 an＋1＝qan(n∈N*，q 为常数)的数列{an}为等比数列．( ) (2)G 为 a，b 的等比中项⇔G2＝aB．( ) (3)若{an}为等比数列，bn＝a2n－1＋a2n，则数列{bn}也是等比数列．( ) (4)数列{an}的通项公式是 an＝an，则其前 n 项和为 Sn＝a1－an 1－a .( ) [答案] (1)× (2)× (3)× (4)× 2．(2018·广州模拟)已知等比数列{an}的公比为－1 2 ，则a1＋a3＋a5 a2＋a4＋a6 的值是( ) A．－2 B．－1 2 C．1 2 D．2 A [a1＋a3＋a5 a2＋a4＋a6 ＝ a1＋a3＋a5 －1 2 a1＋a3＋a5 ＝－2.] 3．(2017·东北三省四市一联)等比数列{an}中，an>0，a1＋a2＝6，a3＝8，则 a6＝ ( ) 【导学号：79170168】 A．64 B．128 C．256 D．512 A [设等比数列的首项为 a1，公比为 q， 则由 a1＋a2＝a1＋a1q＝6， a3＝a1q2＝8， 解得 a1＝2， q＝2 或 a1＝18， q＝－2 3 (舍去)， 所以 a6＝a1q5＝64，故选 A．] 4．(教材改编)在 9 与 243 中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则 这两个数为__________． 27,81 [设该数列的公比为 q，由题意知， 243＝9×q3，q3＝27，∴q＝3. ∴插入的两个数分别为 9×3＝27,27×3＝81.] 5．(2018·长春模拟)在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，Sn 为{an}的前 n 项和．若 Sn＝126，则 n＝__________. 6 [∵a1＝2，an＋1＝2an， ∴数列{an}是首项为 2，公比为 2 的等比数列． 又∵Sn＝126，∴21－2n 1－2 ＝126，解得 n＝6.] (对应学生用书第 72 页) 等比数列的基本运算 (1)(2018·合肥模拟)已知 Sn 是各项为正数的等比数列{an}的前 n 项和，a2·a4 ＝16，S3＝7，则 a8＝( ) A．32 B．64 C．128 D．256 (2)已知数列{an}是递增的等比数列，a1＋a4＝9，a2a3＝8，则数列{an}的前 n 项和等于__________． (1)C (2)2n－1 [(1)∵{an}为等比数列，a2·a4＝16，∴a3＝4.∵a3＝a1q2＝4， S3＝7，∴S2＝a11－q2 1－q ＝3，∴ 4 q2(1－q2)＝3(1－q)，即 3q2－4q－4＝0， ∴q＝－2 3 或 q＝2.∵an>0，∴q＝2，则 a1＝1，∴a8＝27＝128. (2)设等比数列的公比为 q，则有 a1＋a1q3＝9， a21·q3＝8， 解得 a1＝1， q＝2 或 a1＝8， q＝1 2. 又{an}为递增数列，∴ a1＝1， q＝2， ∴Sn＝1－2n 1－2 ＝2n－1.] [规律方法] 1.等比数列的通项公式与前 n 项和公式共涉及五个量 a1，n，q， an，Sn，一般可以“知三求二”，体现了方程思想的应用． 2．在使用等比数列的前 n 项和公式时，应根据公比 q 的情况进行分类讨论， 在运算过程中，应善于运用整体代换思想简化运算． [变式训练 1] (1)在等比数列{an}中，a3＝7，前 3 项和 S3＝21，则公比 q 的值为 ( ) A．1 B．－1 2 C．1 或－1 2 D．－1 或1 2 (2)设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 27a3－a6＝0，则S6 S3 ＝________. 【导学号：79170169】 (1)C (2)28 [(1)根据已知条件得 a1q2＝7， ① a1＋a1q＋a1q2＝21， ② ②÷①得1＋q＋q2 q2 ＝3. 整理得 2q2－q－1＝0， 解得 q＝1 或 q＝－1 2. (2)由题可知{an}为等比数列，设首项为 a1，公比为 q，所以 a3＝a1q2，a6＝a1q5， 所以 27a1q2＝a1q5，所以 q＝3，由 Sn＝a11－qn 1－q ，得 S6＝a11－36 1－3 ，S3＝a11－33 1－3 ， 所以S6 S3 ＝a11－36 1－3 · 1－3 a11－33 ＝28.] 等比数列的判定与证明 (2016·全国卷Ⅲ)已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝1＋λan，其中 λ≠0. (1)证明{an}是等比数列，并求其通项公式； (2)若 S5＝31 32 ，求λ. [解] (1)证明：由题意得 a1＝S1＝1＋λa1， 2 分 故λ≠1，a1＝ 1 1－λ ，故 a1≠0. 3 分 由 Sn＝1＋λan，Sn＋1＝1＋λan＋1 得 an＋1＝λan＋1－λan， 即 an＋1(λ－1)＝λan. 5 分 由 a1≠0，λ≠0 得 an≠0，所以an＋1 an ＝ λ λ－1. 因此{an}是首项为 1 1－λ ，公比为 λ λ－1 的等比数列， 于是 an＝ 1 1－λ λ λ－1 n－1. 7 分 (2)由(1)得 Sn＝1－ λ λ－1 n. 9 分 由 S5＝31 32 得 1－ λ λ－1 5＝31 32 ，即 λ λ－1 5＝ 1 32. 10 分 解得λ＝－1.1 2 分 [规律方法] 等比数列的判定方法 (1)定义法：若an＋1 an ＝q(q 为非零常数，n∈N*)，则{an}是等比数列． (2)等比中项法：若数列{an}中，an≠0，且 a2n＋1＝an·an＋2(n∈N*)，则数列{an} 是等比数列． (3)通项公式法：若数列通项公式可写成 an＝c·qn(c，q 均是不为 0 的常数，n ∈N*)，则{an}是等比数列． 说明：前两种方法是证明等比数列的常用方法，后者常用于选择题、填空题中 的判定． [变式训练 2] 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，数列{bn}中，b1＝a1，bn＝an－ an－1(n≥2)，且 an＋Sn＝n. (1)设 cn＝an－1，求证：{cn}是等比数列； (2)求数列{bn}的通项公式． [解] (1)证明：∵an＋Sn＝n， ① ∴an＋1＋Sn＋1＝n＋1， ② ②－①得 an＋1－an＋an＋1＝1，即 2an＋1＝an＋1， ∴2(an＋1－1)＝an－1，即 2cn＋1＝cn. 3 分 由 a1＋S1＝1 得 a1＝1 2 ，∴c1＝a1－1＝－1 2 ， 从而 cn≠0，∴cn＋1 cn ＝1 2. ∴数列{cn}是以－1 2 为首项，1 2 为公比的等比数列. 6 分 (2)由(1)知 cn＝－1 2 × 1 2 n－1＝－ 1 2 n， 7 分 又 cn＝an－1，∴an＝cn＋1＝1－ 1 2 n， 9 分 ∴当 n≥2 时， bn＝an－an－1＝1－ 1 2 n－ 1－ 1 2 n－1 ＝ 1 2 n. 又 b1＝a1＝1 2 ，适合上式，故 bn＝ 1 2 n. 12 分 等比数列的性质及应用 (1)(2016·安徽六安一中综合训练)在各项均为正数的等比数列{an}中，若 am＋1·am－1＝2am(m≥2)，数列{an}的前 n 项积为 Tn，若 T2m－1＝512，则 m 的值为( ) A．4 B．5 C．6 D．7 (2)设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，若S6 S3 ＝3，则S9 S6 ＝( )【导学号：79170170】 A．2 B．7 3 C．8 3 D．3 (1)B (2)B [(1)由等比数列的性质可知 am＋1·am－1＝a2m＝2am(m≥2)，所以 am ＝2，即数列{an}为常数列，an＝2，所以 T2m－1＝22m－1＝512＝29，即 2m－1＝9， 所以 m＝5，故选 B． (2)法一：由等比数列的性质及题意，得 S3，S6－S3，S9－S6 仍成等比数列，由 已知得 S6＝3S3，∴S6－S3 S3 ＝S9－S6 S6－S3 ，即 S9－S6＝4S3，S9＝7S3，∴S9 S6 ＝7 3. 法二：S6 S3 ＝1＋a4＋a5＋a6 a1＋a2＋a3 ＝1＋q3＝3，所以 q3＝2. 则S9 S6 ＝1－q9 1－q6 ＝1－23 1－22 ＝7 3.] [规律方法] 1.在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用 性质，特别是性质“若 m＋n＝p＋q，则 am·an＝ap·aq”，可以减少运算量，提 高解题速度． 2．等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形；二是等比中项的变 形，三是前 n 项和公式的变形．根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特 征即可找出解决问题的突破口． [变式训练 3] (1)(2017·合肥三次质检)在正项等比数列{an}中，a1 008·a1 009＝ 1 100 ， 则 lg a1＋lg a2＋…＋lg a2 016＝( ) A．2 015 B．2 016 C．－2 015 D．－2 016 (2)(2018·湖北六校联考)在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an，则 Sn＝a21－a22＋a23－ a24＋…＋a22n－1－a 22n等于( ) A．1 3(2n－1) B．1 5(1－24n) C．1 3(4n－1) D．1 3(1－2n) (1)D (2)B [(1)lg a1＋lg a2＋…＋lg a2 016＝lg a1a2…a2 016＝lg(a1 008·a1 009)1 008 ＝lg 1 100 1 008＝lg(10－2)1 008＝－2 016，故选 D． (2)在数列{an}中，由 a1＝1，an＋1＝2an，可得 an＝2n－1， 则 Sn＝a21－a22＋a23－a24＋…＋a22n－1－a22n ＝1－4＋16－64＋…＋42n－2－42n－1 ＝1－－42n 1－－4 ＝1 5(1－42n)＝1 5(1－24n)．]