2017-2018学年宁夏石嘴山市第三中学高二下学期期末考试数学（文）试题-解析版 17页

绝密★启用前 宁夏石嘴山市第三中学 2017-2018 学年高二下学期期末考试 数学（文）试题 评卷人 得分 一、单选题 1．已知集合 则 ( ) A． {0,1} B． {−1,0,1} C． {−2,0,1,2} D． {−1,0,1,2} 【答案】B 【解析】 【分析】 首先求得集合 A,然后结合交集的定义整理计算即可求得最终结果. 【详解】 求解绝对值不等式 可得： ， 结合交集的定义可知： {−1,0,1}. 本题选择 B 选项. 【点睛】 本题主要考查集合的表示方法，交集的定义等知识，意在考查学生的转化能力和计算求 解能力. 2．在复平面内，复数 对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【解析】 试题分析： ，故复数 对应的点位于第一象限 考点：复数的概念 3．已知函数 ，在下列区间中，包含 零点的区间是（ ） A． (0，1) B． (1，2) C． (2，4) D． (4，+ ) 【答案】C 【解析】 ( )2 −i i ( )2 1 2− = +i i i ( )2 −i i 因为 f(1)＝6－log21＝6>0，f(2)＝3－log22＝2>0，f(4)＝ －log24＝－ <0，所以函数 f(x) 的零点所在区间为(2,4)．选 C 4．已知函数 （ ） A． 偶函数，且在 R 上是增函数 B． 奇函数，且在 R 上是增函数 C． 偶函数，且在 R 上是减函数 D． 奇函数，且在 R 上是减函数 【答案】B 【解析】 【分析】 由题意结合函数的解析式分别考查函数的单调性和函数的奇偶性即可确定正确选项. 【详解】 函数的定义域为 ，关于坐标原点对称， 解析式 ，则 ，据此可知函数为奇函数， 且 ， 均为单调递增函数，故函数 是增函数， 综上可得： 是奇函数，且在 R 上是增函数. 本题选择 B 选项. 【点睛】 正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题：(1)定义域关于原点对称是函数 f(x)为奇函数或偶函数的必要非充分条件；(2)f(－x)＝－f(x)或 f(－x)＝f(x)是定义域上的 恒等式． 5．函数 导函数 图像如下图，则函数 的图像可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 结合导函数与原函数图象之间的关系排除错误选项即可确定正确选项. 【详解】 由导函数在 上的图象可知原函数在区间 上先单调递减，再单调递增，则选 项 AC 错误； 由导函数在 上的图象可知原函数在区间 上先单调递增，然后单调递减， 再单调递增，则选项 B 错误； 本题选择 D 选项. 【点睛】 本题主要考查原函数图象与导函数图象之间的关系，意在考查学生的转化能力和计算求 解能力. 6．若 ，则 ( ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 . 分子分母同时除以 ，即得： . 故选 D. 视频 7．执行下面的程序框图，如果输入的 a=4，b=6，那么输出的 n=（ ） A． 3 B． 4 C． 5 D． 6 【答案】B 【解析】 试题分析：模拟执行程序, 可得 ,执行循环体, , 不满足条件 ,执行循环体, , 不满足条件 ,执行循环体, , 不满足条件 ,执行循环体, ,不 满足条件 ,退出循环, 输出 的值为 ,故选 B. 考点：1、程序框图；2、循环结构. 视频 8．函数 f(x)= sin(x+ )+cos(x− )的最大值为 A． B． 1 C． D． 【答案】A 【解析】由诱导公式可得 ， 则 , 函数 的最大值为 . 所以选 A. 【名师点睛】三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通 1 5 3 π 6 π 6 5 3 5 1 5 π π π πcos cos sin6 2 3 3x x x       − = − + = +             ( ) 1 π π 6 πsin sin sin5 3 3 5 3f x x x x     = + + + = +           ( )f x 6 5 过变换把函数化为 的形式，再借助三角函数的图像研究性质， 解题时注意观察角、函数名、结构等特征． 9．函数 的最小正周期为 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】分析:将函数 进行化简即可 详解：由已知得 的最小正周期 故选 C. 点睛：本题主要考查三角函数的化简和最小正周期公式，属于中档题 10．若函数 在区间[0,1]上的最大值是 M,最小值是 m,则 的值（ ） A． 与 a 有关，且与 b 有关 B． 与 a 有关，但与 b 无关 C． 与 a 无关，且与 b 无关 D． 与 a 无关，但与 b 有关 【答案】B 【解析】 因为最值在 中取，所以最值之差一定与 无关，选 B． 【名师点睛】对于二次函数的最值或值域问题，通常先判断函数图象对称轴与所给自变 量闭区间的关系，结合图象，当函数图象开口向上时，若对称轴在区间的左边，则函数 在所给区间内单调递增；若对称轴在区间的右边，则函数在所给区间内单调递减；若对 称轴在区间内，则函数图象顶点的纵坐标为最小值，区间端点距离对称轴较远的一端取 得函数的最大值． 11．下列说法正确的是 (　 　) A． 函数 的图象的一条对称轴是直线 ( )siny A x Bω ϕ= + + B． 若命题 ：“存在 ”，则命题 p 的否定为：“对任意 ” C． D． “ ”是“直线 与直线 互相垂直”的充要条件 【答案】B 【解析】 【分析】 由题意逐一考查所给的命题的真假即可. 【详解】 逐一考查所给命题的真假： 当 时， ，函数在 处无法取得最值，则 不是函数的对称轴，选项 A 说法错误； 特称命题的否定为全称命题，则若命题 p：“存在 ”，则命题 p 的否定为： “对任意 ”，选项 B 说法正确； 当 时， ，选项 C 说法错误； 当 时，直线 与直线 互相垂直，选项 D 说法错误； 本题选择 B 选项. 【点睛】 当命题真假容易判断时，直接判断命题的真假即可.否则，可利用以下结论进行判断：① 一个命题的否定与原命题肯定一真一假;②原命题与其逆否命题同真假. 12．在平面直角坐标系中， 是圆 上的四段弧（如图），点 P 在其中 一段上，角 以 O￿为始边，OP 为终边，若 ，则 P 所在的圆弧是( ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 将原问题转化为三角函数比较大小的问题，然后在同一个直角坐标系中绘制三角函数的 图象即可确定正确的选项. 【详解】 题中的问题等价于在区间 上确定 的角 终边的范围， 在同一个直角坐标系中绘制函数 的函数图象如图所示， 观察可得，满足题意的 的取值范围是： ， 则其对应的 P 所在的圆弧是 . 本题选择 C 选项. 【点睛】 本题主要考查三角函数的定义，三角函数图象的应用等知识，意在考查学生的转化能力 和计算求解能力. 第 II 卷（非选择题） 请点击修改第 II 卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 13．函数 的图像可由函数 的图像至少向右平移________个单位长 度得到． 【答案】 【解析】 【分析】 首先整理函数的解析式，然后结合函数图象的平移变换结论即可求得最终结果. 【详解】 函数的解析式： ， 据此可知函数 的图像至少向右平移 个单位长度可得函数 的图像. 【点睛】 函数图象中左、右平移变换可记口诀为“左加右减”，但要注意加、减指的是自变量，作 图象平移时，要注意不要弄错平移的方向，必要时，取特殊点进行验证；平移变换只改 变图象的位置，不改变图象的形状． 14．在 中， ， ， ，则 ． 【答案】 【解析】由正弦定理，得 ，即 ，所以 ，所以 . 考点：正弦定理. 视频 15．函数 的值域为________． C∆ΑΒ 3a = 6b = 2 3 π∠Α = ∠Β = 4 π sin sin a b A B = 3 6 sin3 2 B = 2sin 2B = 4B π∠ = 【答案】 【解析】 试题分析：由 时， ，当 时， ，∴ 的值域 ． 考点：函数值域． 16．已知函数 ，若关于 的不等式 恒成立，则实数 的取值范围是 __________． 【答案】 【解析】∵函数 的定义域为 ， 恒成立，即 等 价 于 ， 令 ， 则 ， 令 ， 则 在 上恒成立，∴ 在 上单调递增， ，故 当 时， ，函数 单调递减；当 时， ，函数 单调递增，则 ，故 ，故答案为 . 评卷人 得分 三、解答题 17．已知函数 , . （1）如果点 是角 终边上一点,求 的值； （2）设 ,用“五点描点法”画出 的图像（ ）. 【答案】（1） ；（2） （ ）. 【解析】 【分析】 （1）由题意可知 , ,结合两角和差正余弦公式可得 . （2）由题意结合辅助角公式可得： （ ）,据此结合函数的定义域五点绘 图绘制函数的图象即可. 【详解】 （1）因为点 （ ）是角 终边上一点, 所以 , ,则： （ ） . （2） （ ）, 描点绘制函数图象如图所示： 【点睛】 本题主要考查两角和差正余弦公式，辅助角公式，三角函数图象的应用等知识，意在考 查学生的转化能力和计算求解能力. 18．已知函数 . （1）当 a=2 时，求不等式 的解集； （2）设函数 .当 时， ，求 的取值范围. 【答案】（1） ；（2） ． 【解析】 试题分析：（1）当 时 ；（2）由 等价于 ，解之得 . 试题解析： （1）当 时， . 解不等式 ，得 . 因此， 的解集为 . （2）当 时， ， 当 时等号成立， 所以当 时， 等价于 . ① 当 时，①等价于 ，无解. 当 时，①等价于 ，解得 . 所以 的取值范围是 . 考点：不等式选讲. 视频 19．在平面直角坐标系 中，圆的参数方程为 ，直线 过点 且倾斜角为 ，并与圆交于 两点． （1）求 的取值范围； （2）求 的轨迹的参数方程． 【答案】（1） ；（2） （ 为参数， ） 【解析】 【分析】 （1）当 时满足题意，否则，圆心到直线的距离小于半径时满足题意，据此讨论计 算可得 的取值范围是 ； （2）由题意结合直线参数方程的几何意义和中点公式可得 中点 的轨迹的参数方程 为 （ 为参数， ） 【详解】 （1） 的直角坐标方程为 ． 当 时， 与 交于两点． 当 时，记 ，则 的方程为 ． 与 交于两点当且仅当 ， 解得 或 ，即 或 ． 综上， 的取值范围是 ． （2） 的参数方程为 为参数， ． 设 ， ， 对 应 的 参 数 分 别 为 ， ， ， 则 ， 且 ， 满 足 ． 于是 ， ．又点 的坐标 满足 所以点 的轨迹的参数方程是 为参数， ． 【点睛】 本题主要考查直线参数方程的几何意义，直线与圆的位置关系等知识，意在考查学生的 转化能力和计算求解能力. 20．已知函数 . （1）求曲线 在点（0,f(0)）处的切线方程； （2）求函数 在区间[0， ]上的最大值和最小值. 【答案】（1） （2）最大值为 最小值为 . 【解析】 【分析】 （1）由题意可得 ,则 ， ，切线方程为 . （2）令 ，解得 .据此计算极值点处的函数值和区间端点处的函数值可得函数 的最大值为 ，最小值为 . 【详解】 （1）因为 ，所以 , . 又因为 ，所以曲线 在点 处的切线方程为 . （2）令 ，解得 . 又 故求函数 在区间[0， ]上的最大值为 和最小值 . 【点睛】 在解决类似的问题时，首先要注意区分函数最值与极值的区别．求解函数的最值时，要 先求函数 y＝f(x)在[a，b]内所有使 f′(x)＝0 的点，再计算函数 y＝f(x)在区间内所有使 f′(x) ＝0 的点和区间端点处的函数值，最后比较即得． 21．已知函数 ， . （1）求 的单调递增区间； （2）设△ABC 为锐角三角形，角 A 所对边 ，角 B 所对边 ，若 ，求△ABC 的面积. 【答案】（1） ;（2） 【解析】试题分析：（1）由二倍角的余弦公式和余弦函数的递增区间，解不等式可得 所求增区间；（2）由 ，解得 A，再由余弦定理解方程可得 c，再由三角形的面积 公式，计算即可得到所求值． 试题解析：（1）函数 由 ，解得 时， ，可得 的增区间为 （2）设△ABC 为锐角三角形， 角 A 所对边 ，角 B 所对边 b=5， 若 ，即有 解得 ，即 由余弦定理可得 a2=b2+c2﹣2bccosA， 化为 c2﹣5c+6=0， 解得 c=2 或 3， 若 c=2，则 即有 B 为钝角，c=2 不成立， 则 c=3， △ABC 的面积为 22．设函数 ， ． （1）求 的单调区间和极值； （2）证明：若 存在零点，则 在区间 上仅有一个零点． 【答案】（1）单调递减区间是 ，单调递增区间是 ；极小值 ； （2）证明详见解析. 【解析】 试题分析：本题主要考查导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的 极值和最值、函数零点问题等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能 力、计算能力.（Ⅰ）先对 求导，令 解出 ，将函数的定义域断开，列表，分析 函数的单调性，所以由表格知当 时，函数取得极小值，同时也是最小值；（Ⅱ） 利用第一问的表，知 为函数的最小值，如果函数有零点，只需最小值 ， 从而解出 ，下面再分情况分析函数有几个零点. 试题解析：（Ⅰ）由 ，（ ）得 . 由 解得 . 与 在区间 上的情况如下： 所以， 的单调递减区间是 ，单调递增区间是 ； 在 处取得极小值 . （Ⅱ）由（Ⅰ）知， 在区间 上的最小值为 . 因为 存在零点，所以 ，从而 . 当 时， 在区间 上单调递减，且 ， 所以 是 在区间 上的唯一零点. 当 时， 在区间 上单调递减，且 ， ， 所以 在区间 上仅有一个零点. 综上可知，若 存在零点，则 在区间 上仅有一个零点. 考点：导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的极值、函数零点问 题. 视频