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- 2021-06-11 发布
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2017—2018学年度第一学期高二期中考试
理科数学
命题人：冯智颖 王彩凤 审题人：吴统胜 禤铭东
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.已知直线的方程为，则该直线的斜率为( ) .
2.圆的圆心到直线的距离为1，则（ ）.
3. 经过原点O 作圆的切线，切线长是 ( ).
4.已知点的坐标为，直线的方程为，则点关于的对称点的坐标为（ ）
. . . .
第8题图
5.下列命题中，表示两条不同的直线，、、表示三个不同的平面．
①若，，则； ②若，，则；
③若，，则； ④若，，，则．
正确的命题是（ ）
. ①③ . ②③ . ①④ . ②④
6. 已知正四面体中，是的中点，则异面直线所成角的余弦值为（ ）
7.两条平行直线与之间的距离为（ ）
8.如右上图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）
第9题图
9.如右图，圆锥的底面直径，母线长，点在母线长上，且，有一只蚂蚁沿圆锥的侧面从点到点，则这只蚂蚁爬行的最短距离是（ ）
10.平面截球的球面所得圆的半径为1，球心到平面的距离为，则球的表面积为（ ）
第11题图
11.如图，在正方体中，分别是、的中点，则图中阴影部分在平面上的投影为图中的（ ）
A. B. C. D.
12.直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（ ）
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13.如图，正方体中，，点分别为、的中点，则线段的长度等于____________．
第13题图 第14题图
14.如图所示，是三角形所在平面外一点，平面∥平面，分别交线段于′，若，则 ．
15.已知直线经过点，且与直线平行，则该直线方程为 ．
16.设 P点在圆 上移动，点满足条件，则 的最大值是 .
三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.)
17.（本小题满分10分）
如右图，四棱锥的底面是正方形，侧棱⊥底面是的中点．
（Ⅰ）求证：∥；
（Ⅱ）证明：．
18.（本小题满分12分）
已知关于的方程：．
（1）若方程表示圆，求的取值范围；
（2）若圆与圆外切，求的值；
19.（本小题满分12分）
如图，已知面垂直于圆柱底面，为底面直径，是底面圆周上异于的一点，． 求证：
（1）；
（2）求几何体的最大体积．
20.（本小题满分12分）
已知的三个顶点为，为的中点.求： []
(1)所在直线的方程；
(2)边上中线所在直线的方程；
(3)边上的垂直平分线的方程．
21.(本小题满分12分)
如图，在四棱锥中，，为的中点，为的中点，底面是菱形，对角线交于，，求证：
（1） 平面；
（2）求二面角的余弦值.
22.(本小题满分12分)
已知圆，直线．
（1）求证：对，直线l与圆总有两个不同的交点、；
（2）求弦的中点的轨迹方程，并说明其轨迹是什么曲线；
（3）是否存在实数，使得圆上有四点到直线l的距离为？若存在，求出的范围；若不存在，说明理由．
2017—2018学年度第一学期高二期中考试理科数学答案
命题人：冯智颖 王彩凤 审题人：吴统胜 禤铭东
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1.B 2.A 3.A 4.B 5.C 6.B
7.D 8.C 9.B 10.B 11.A 12.A
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13. 14. 9：49
15.y=2x 16.
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17. （本小题满分10分）
证明：（Ⅰ）连结AC交BD于O，连结OE，
因为四边形ABCD是正方形，所以O为AC中点．…… （1分）
又因为E是PA的中点，所以PC∥OE，…………………（3分）
因为PC⊄平面BDE，OE⊂平面BDE， …………………（4分）
所以PC∥平面BDE．………………………………………（5分）
（Ⅱ）因为四边形ABCD是正方形，所以BD⊥AC．……（6分）
因为PA⊥底面ABCD，且BD⊂平面ABCD， 所以PA⊥BD．…………………………（8分）
又AC∩PA=A，AC⊂平面PAC，PA⊂平面PAC，所以BD⊥平面PAC…………………（9分）
又CE⊂平面PAC， 所以BD⊥CE．……………………………………………………（10分）
18.（本小题满分12分）
解：（1）把方程C：x2+y2-2x-4y+m=0，配方得：（x-1）2+（y-2）
2=5-m， ……… （3分）
若方程C表示圆，则5-m＞0，解得m＜5； ……………………………………………（5分）
（2）把圆x2+y2-8x-12y+36=0化为标准方程得：（x-4）2+（y-6）2=16， ……… （7分）
得到圆心坐标（4，6），半径为4， ……………………………………………………（8分）
则两圆心间的距离d==5，………………………………………（10分）
因为两圆的位置关系是外切，所以d=R+r即4+=5，解得m=4.……………（12分）
19.（本小题满分12分）
（1）证明：因为C是底面圆周上异于A，B的一点，AB是底面圆的直径，
所以AC⊥BC． ………………………………………………………………………………（1分）
因为AA1⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以AA1⊥BC， ………………………………（3分）
而AC∩AA1=A，所以BC⊥平面AA1C． …………………………………………………（5分）
又BC⊂平面BA1C，所以平面AA1C⊥平面BA1C．………………………………………（6分）
（2）解：在Rt△ABC中，当AB边上的高最大时，三角形ABC面积最大，
此时
AC=BC.…………………………………………………………………………………（7分）
此时几何体取得最大体积.………………………………………………………（8分）
则由AB2=AC2+BC2且AC=BC， 得，…………………………………（10分）
所以． …………………………………（12分）
20.（本小题满分12分）
解：(1)因为直线BC经过B(2，1)和C(-2，3)两点，
由两点式得BC的方程为y-1=(x-2)，…………………………………………………（2分）
即x+2y-4=0． ………………………………………………………………………………（4分）
(2)设BC中点D的坐标为(x，y)，则x==0，y==2． …………………………（6分）
BC边的中线AD过点A(-3，0)，D(0，2)两点，由截距式得
AD所在直线方程为+=1，即2x-3y+6=0． …………………………………………（8分）
(3)BC的斜率k1=-，则BC的垂直平分线DE的斜率k2=2，…………………………（10分）
由斜截式得直线DE的方程为y=2x+2． ………………………………………………（12分）
21.（本小题满分12分）
解：（1）因为菱形ABCD，所以O为AC和BD的中点.
因为为的中点，O为AC的中点，所以EO∥PC …………………………………（1分）
又EO平面PCD，PC⊂平面PCD，所以EO∥平面PCD ………………………………（2分）
因为F为BC的中点，O为BD的中点，所以FO∥CD. …………………………………（3分）
又FO平面PCD，PC⊂平面PCD，所以FO∥平面PCD，……………………………（4分）
又EO∩FO=O ，EO⊂平面EFO，FO⊂平面EFO………………………………………（5分）
所以，平面EFO∥平面PCD． ……………………………………………………………（6分）（2）EA平面ABCD，所以EAOF
过A作AMFO交FO的延长线于M，连接EM，所以FO
平面AEM，所以FOEM，
所以∠EMA为二面角B-OF-E的平面角……………………（8分）
又PA=AD=1，所以AE=，……………………（9分）[]
设FO交AC于Q，又，易知为等边三角形，所以，………………………（10分）
在中，，所以.………………………………………………………………（12分）
22.（本小题满分12分）
解：（1）圆C：（x+2）2+y2=5的圆心为C（-2，0），半径为，所以圆心C到直线l：mx-y+1+2m=0的距离．………………………………………………………（2分）
所以直线l与圆C相交，即直线l与圆C总有两个不同的交点；………………………（3分）
（2）设中点为M（x，y），因为直线l：mx-y+1+2m=0恒过定点（-2，1），………（4分）
当直线l的斜率存在时，，又，kAB•kMC=-1，
所以，化简得．…………………………（6分）
当直线l的斜率不存在时，中点M（-2，0）也满足上述方程．………………………（7分）
所以M的轨迹方程是，它是一个以为圆心，以为半径的圆．……………………………………………………………………………………………（8分）
（3）假设存在直线l，使得圆上有四点到直线l的距离为，由于圆心C（-2，0），半径为，则圆心C（-2，0）到直线l的距离为 ……（11分）
化简得m2＞4，解得m＞2或m＜-2．…………………………………………………（12分）
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