新课标高二数学同步测试(9) 7页

新课标高二数学同步测试（9）—（2－2 第三章） 说明：本试卷分第一卷和第二卷两部分，第一卷 74 分，第二卷 76 分，共 150 分；答题时间 120 分钟． 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的 括号内（每小题 5 分，共 50 分）． 1．方程 2z+|z|=2+6i 的解的情况是 （ ） A．没有解 B．只有一解 C．有两解 D．多于两解 2．已知 z=x＋yi(x，y∈R)，且 222 log 8 (1 log )xy i x y i     ，则 z= （ ） A．2＋i B．1＋2i C．2＋i 或 1＋2i D．无解 3．下列命题中正确的是 （ ） A．任意两复数均不能比较大小； B．复数 z 是实数的充要条件是 z= z ； C．复数 z 是纯虚数的充要条件是z+ =0； D．i+1 的共轭复数是 i－1； 4．设 )()1 1()1 1()( Nni i i inf nn    ，则集合 )(nfxx  中元素的个数是 （ ） A．1 B．2 C．3 D．无穷多个 5．使不等式 m2－(m2－3m)i＜(m2－4m＋3)i＋10 成立的实数 m （ ） A．1 B．0 C．3 D．复数无法比较大小 6．设复数  ,z x yi x y R   ，则满足等式 20zx   的复数 z 对应的点的轨迹是 （ ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 7．若非零复数 ,xy满足 220x xy y   ,则 2005 2005( ) ( )xy x y x y 的值是 （ ） A．1 B． 1 C． 20042 D． 20042 8．如图所示，复平面内有 RtΔ ABC，其中∠BAC=90°，点 A、B、C 分别对应复数 32 zzz 、、 ，且 z =2， 则 z=（ ） A． i 3 B． i3 C． i31 D． i31 则实数 a 的取9．复数 z 1 ＝a＋2ｉ，z 2 ＝－2＋ｉ，如果|z |< |z |， 值范围是 （ ） A．－11 C．a>0 D．a<－1 或 a>1 10．如果复数 z 满足|z＋ｉ|＋|z－ｉ|＝2，那么|z＋ｉ＋1|的最小值为______． A．1 B． 2 C．2 D． 5 二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题 6 分，共 24 分）． 11．已知关于 x 的实系数方程 x2－2ax+a2－4a+4=0 的两虚根为 x1、x2，且|x1|+|x2|=3，则 a 的值为 ． 12．已知(2x－1)+i=y－(3－y)i，其中 x, y∈R，求 x= ， y= ． 13．i＋i2＋i3+……+i2005= ． O x B C y A z 2z 3z 14．已知 x、y、t∈R，t≠－1 且 t≠0，求满足 x＋yi= 1()1 ttitt  时，点(x, y)的轨迹方程 ． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共 76 分)． 15．（ 12 分）设|z 1 |＝5，|z 2 |＝2, |z － z2 |＝ 13 ，求 z z 1 2 的值． 16．（ 12 分）当 m 为何实数时，复数 z＝ 2 2 2 3 2 25 mm m   +(m2+3m－10)i；（ 1）是实数；（2）是虚数；（3） 是纯虚数． 17．（12 分）求同时满足下列条件的所有复数 z:(1) zz 10 是实数，且 6101  zz ．(2)z 的实部和虚部 都是整数． 18．（ 12 分）设复数|z－i|=1, 且 z0, z2i. 又复数 w 使 z iz iw w 2 2  为实数，问复数 w 在复平面上所对 应的点 Z 的集合是什么图形，并说明理由． 19．（14 分）设虚数 z1,z2，满足 2 2 1 zz  . （1）若 z1,z2 又是一个实系数一元二次方程的两根，求 z1, z2． （2）若 z1=1+mi(i 为虚数单位，m∈R), 2|| 1 z ,复数 w=z2+3,求|w|的取值范围． 20．（ 14 分）已知：A、B 是  ABC 的两个内角， jBAiBAm 2sin2 5 2cos   ， 其中  i 、  j 为相互垂直的单位矢量．若 |  m | = 4 23 ，试求 tanA·t anB 的值． 参考答案 一、1．B； 2．C；解：本题主要考查复数相等的充要条件及指数方程，对数方程的解法． ∵ 222 log 8 (1 log )xy i x y i     ，∴ 22 2 8 0 log 1 log xy xy     ，∴ 3 2 xy xy    ， 解得 2 1 x y    或 1 2 x y    , ∴ z＝2＋i 或 z＝1＋2i． 诠释：本题应抓住复数相等的充要条件这一关键，正确、熟练地解方程（指数，对数方程） 3．B； 4．C；解析：∵ nn iinf )()(  ∴ 0)3(,2)2(,0)1(  fff ， ,2)4( f ，∴ 集合 )(nfxx  中的元素为 2,0,2 ，选 C．； 5．C；解：此题主要考查复数能比较大小的条件及方程组和不等式的解法． ∵ m2－(m2－3m)i＜(m2－4m＋3)i＋10, 且虚数不能比较大小， ∴ 2 2 2 10 30 4 3 0 m mm mm         ，解得 | | 10 0或 3 3或 1 m mm mm      ，∴ m=3. 当 m＝3 时，原不等式成立． 诠释：本题应抓住复数能比较大小时必须都为实数这一条件． 6．D；7．A；8．C； 9．A；利用复数模的定义得 a 2 22 < 5 ，选 A；； 10．A；由复数模几何意义利用数形结合法求解，选 A； 二、11． 2 1 ；12．x= 2 5 , y=4； 13．i；解：此题主要考查 in 的周期性． i＋i2＋i3+……+i2005=(i+i2+i3+i4)+……+(i2001+i2002+ i2003＋i2004)＋i2005 =(i－1－i+1)+ (i－1－i+1)+……+(i－1－i+1)+i＝0＋0＋……＋0+i＝i. 或者可利用等比数列的求和公式来求解（略） 诠释：本题应抓住 in 的周期及合理分组． 14．xy=1；解：此题主要考查复数相等的充要条件，轨迹方程的求法． ∵ x＋yi= 1()1 ttitt  ，∴ 1 1 tx t ty t      ， ∴xy=1, ∴ 点(x，y)的轨迹方程为 xy＝1，它是以 x 轴、y 轴为对称轴，中心在(0，0)的等轴双曲线． 三、 15． 【分析】 利用复数模、四则运算的几何意义，将复数问题用几何图形帮助求解． 【解】 如图，设 z 1 ＝OA、z 2 ＝OB后，则 z1 ＝OC 、 z2 ＝OD 如图所示． 由图可知，| z z 1 2 |＝ 5 2 ，∠AOD＝∠BOC，由余弦定理得： cos∠AOD＝ 5 2 13 2 5 2 2 2 2  ( ) × × ＝ 4 5 ∴ ＝ ( ± 3 5 ｉ)＝2± 3 2 ｉ 【另解】设 z ＝ 、 ＝ 如图所示．则| z z 1 2 |＝ ，且 cos∠AOD＝ ＝ ，sin∠AOD＝± 3 5 ， 所以 ＝ ( ± ｉ)＝2± ｉ，即 ＝2± ｉ． 【注】本题运用“数形结合法”，把共轭复数的性质与复平面上的向量表示、代数运算的几何意义等都表 达得淋漓尽致，体现了数形结合的生动活泼． 一般地，复数问题可以利用复数的几何意义而将问题变成 几何问题， 16．解：此题主要考查复数的有关概念及方程（组）的解法． y A D O B x C y A D O x （1）z 为实数，则虚部 m2+3m－10=0，即 2 2 3 10 0 25 0 mm m       ， 解得 m=2，∴ m=2 时，z 为实数． （2）z 为虚数，则虚部 m2+3m－10≠0，即 2 2 3 10 0 25 0 mm m       ， 解得 m≠2 且 m≠±5. 当 m≠2 且 m≠±5 时，z 为虚数． 2 2 2 2 3 2 0 3 10 0 25 0 mm mm m           ， 解得 m=－ 2 1 , ∴当 m=－ 时，z 为纯虚数． 诠释：本题应抓住复数分别为实数、虚数、纯虚数时相应必须具备的条件，还应特别注意分母不为零 这一要求． 17．分析与解答： 设 z=a+bi (a,b∈R,且 a2+b2≠0). 则 22 )(101010 ba biabiabiabiazz   ibabbaa )101()101( 2222  由(1)知 zz 10 是实数，且 6101  zz , ∴ 0)101( 22  bab 即 b=0 或 a2+b2=10. 又 6)101(1 22  baa * 当 b=0 时，*化为 6101  aa 无解． 当 a2+b2=10 时，*化为 1<2a≤6, ∴ 32 1  a . 由(2)知 a=1,2,3. ∴ 相应的 b=±3, ± 6 (舍)，±1， 因此，复数 z 为：1±3i 或 3±i. 此题不仅考查了复数的概念、运算等，同时也考查到了方程、不等式的解法． 18．分析与解答：设 z=a+bi, w=x+yi (a,b, x,y∈R). 由题 z≠0, z≠2i 且|z－i|=1, ∴ a≠0, b≠0 且 a2+b2－2b=0. 2222 22 22 22 22 22 2 )2( 2)2( 2)2( )2( 2)2( 2 2 2 2 ba ai yx xiyyx ba aibba yx xiyyx bia ibia iyix yix z iz iw wu          记 已知 u 为实数， ∴ 02 )2( 2 2222 22    ba a yx yyx ， ∵a≠0, ∴ x2+y2－2y=0 即 x2+(y－1)2=1. ∴w 在复平面上所对应的点 Z 的集合是以(0, 1)为圆心，1 为半径的圆． 又∵ w－2i≠0, ∴除去(0, 2)点． 此题中的量比较多，由于是求 w 对应点的集合，所以不妨设 w 为 x+yi(x,y∈R), z=a+bi(a,b∈R).关 于 z 和 w 还有一些限制条件，这些都对解题起着很重要的作用，千万不可大意． 19．分析与解答： (1)∵z1, z2 是一个实系数一元二次方程的两个虚根，因此必共轭， 可设 z1=a+bi(a,b∈R 且 b≠0),则 z2=a－bi, 由 2 2 1 zz  得(a+bi)2=a－bi 即： a2－b2+2abi=a－bi 根据复数相等，      bab aba 2 22 ∵b≠0 解得：         2 3 2 1 b a 或         2 3 2 1 b a ， ∴         iz iz 2 3 2 1 2 3 2 1 2 1 或         iz iz 2 3 2 1 2 3 2 1 2 1 ． (2)由于 2 2 1 zz  ，z1=1+mi, w=z2+3, ∴w=(1+mi)2+3=4－m2+2mi. ∴ 12)2(4)4(|| 22222  mmmw , 由于 2|z| 1  且 m≠0, 可解得 0