数学卷·2018届广西桂林、百色、梧州、崇左、北海五市高三上学期联合模拟考试数学（文）试题（解析版） 18页

广西桂林、百色、梧州、崇左、北海五市联合模拟考试 数学（文）试题 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 已知全集，集合M，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为全集，集合所以,又，所以，故选C.‎ ‎2. 在复平面中，复数对应的点在（ ）‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】B ‎【解析】复数对应的点的坐标为在第二象限，故选B.‎ ‎3. 在中，，则（ ）‎ A. B. 1 C. D. 4‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意有：，即：，‎ 由向量的坐标运算：，‎ 即：，解得：.‎ 本题选择A选项.‎ ‎4. 如图是2017年第一季度五省情况图，则下列陈述正确的是（ ）‎ ‎①2017年第一季度总量和增速均居同一位的省只有1个；‎ ‎②与去年同期相比，2017年第一季度五个省的总量均实现了增长；‎ ‎③去年同期的总量前三位是江苏、山东、浙江；‎ ‎④2016年同期浙江的总量也是第三位.‎ A. ①② B. ②③④ C. ②④ D. ①③④‎ ‎【答案】B ‎【解析】总量排序为：江苏，山东，浙江，河南，辽宁；‎ 增速排序为：江苏，辽宁，山东，河南，浙江；‎ 则总量和增速均居同一位的省有河南，江苏两省，说法①错误；‎ 与去年同期相比，2017年第一季度五个省的总量均实现了增长，说法②正确；‎ 去年同期的总量前三位是江苏、山东、浙江，说法③正确；‎ ‎2016年的GDP量计算为：‎ 浙江：，江苏：，‎ 河南：，山东：，‎ 辽宁：，‎ 据此可知，2016年同期浙江的总量也是第三位，说法④正确.‎ 本题选择B选项.‎ ‎5. 在和两个集合中各取一个数组成一个两位数，则这个数能被5整除的概率是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】能够被5整除的数只能是25,35两种情况，由古典概型公式可得：这个 数能被5整除的概率是.‎ 本题选择C选项.‎ ‎6. 若函数在区间上的最大值为1，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由函数的解析式结合正弦函数的性质可知：，‎ 即：.‎ 本题选择C选项.‎ ‎7. 若，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】，，，故选B.‎ ‎【 方法点睛】本题主要考查指数函数的性质、对数函数的性质及比较大小问题，属于中档题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间 ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.‎ ‎8. 某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的（ ）‎ A. 15 B. 29 C. 31 D. 63‎ ‎【答案】D ‎【解析】流程图执行过程如下：初始条件：，‎ 第一次循环：；‎ 第二次循环：；‎ 第三次循环：；‎ 第四次循环：；‎ 此时跳出循环，输出B的值为63.‎ 本题选择D选项.‎ ‎9. 在中，角所对的边分别为，已知，为锐角，那么角的比值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由正弦定理：，B为锐角，则：，角的比值为 。‎ 本题选择B选项.‎ 点睛：在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．‎ ‎10. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】如图所示，在长宽高分别为的长方体中，三棱柱为该三视图所对应的几何体，各个面的面积：‎ ‎，，,.‎ 该几何体的表面积为.‎ 本题选择A选项.‎ ‎11. 是三个平面，是两条直线，下列命题正确的是（ ）‎ A. 若，则 B. 若，则 C. 若不垂直平面，则不可能垂直于平面内的无数条直线 D. 若，则 ‎【答案】D ‎【解析】逐一分析所给的命题：‎ A. 若，，，并非一条直线垂直于平面内两条相交直线，不一定有，该说法错误；‎ B. 若，，，无法确定m,n的关系，该说法错误；‎ C. 若不垂直平面，则可能垂直于平面内的无数条直线，该说法错误；‎ D. 若，，，则，该说法正确.‎ 本题选择D选项.‎ 点睛：线面关系与面面关系的证明离不开判定定理和性质定理，而形成结论的“证据链”依然是通过挖掘题目已知条件来实现的，如图形固有的位置关系、中点形成的三角形的中位线等，都为论证提供了丰富的素材．‎ ‎12. 设为双曲线右支上一点，分别是圆和上的点，设的最大值和最小值分别为，则（ ）‎ A. 4 B. 5 C. 6 D. 7‎ ‎【答案】C ‎【解析】双曲线的两个焦点为为两个圆的圆心，半径分别为，，故的最大值为，同理的最小值为，，故选C.‎ ‎【方法点晴】本题主要考查双曲线的定义、圆的几何性质及圆锥曲线求最值，属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法.‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13. 已知实数满足不等式组，则的最大值是__________．‎ ‎【答案】7‎ ‎【解析】绘制不等式组表示的平面区域，目标函数表示点与点之间连 线的斜率，观察可得，目标函数在点处取得最大值：，‎ 即的最大值是.‎ 点睛：本题是线性规划的综合应用，考查的是非线性目标函数的最值的求法．解决这类问题的关键是利用数形结合的思想方法，给目标函数赋于一定的几何意义．‎ ‎14. 的内角的对边分别为，若，的面积为，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意：，解得：，‎ b>c，则为锐角，，结合余弦定理：‎ ‎.‎ ‎15. 圆与直线的位置关系是__________横线内容从“相交、相切、相离、不确定”中选填）.‎ ‎【答案】相离 ‎ ‎【解析】把圆的方程化为标准方程得：，‎ ‎∴圆心坐标为(0,0),半径，‎ 又，，，‎ ‎∴圆心到直线x⋅sinθ+y−1=0的距离，‎ 则直线与圆的位置关系为相离。‎ 点睛：判断直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法．‎ ‎16. 直线分别与曲线交于两点，则的最小值为__________．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】当是，由题意可得：，‎ 令，则：，‎ 当时，，函数单调递增，‎ 当时，，函数单调递减，‎ 函数的最大值为，‎ 据此可知的最小值为2.‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 已知各项均为正数的等差数列满足：，且成等比数列，设的前项和为.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，数列是否存在最小项？若存在，求出该项的值；若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】(1) (2) 数列的最小项是第4项，该项的值为9.‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)利用题意求得，，则数列的通项公式为．‎ ‎(2)利用题意求得，结合均值不等式可得数列存在最小项.‎ 试题解析：（Ⅰ）根据题意，等差数列中，设公差为，，且，，成等比数列，，‎ 即解得，，‎ 所以数列的通项公式为．‎ ‎（Ⅱ）数列存在最小项．理由如下：‎ 由（Ⅰ）得，，‎ ‎∴ ，‎ 当且仅当时取等号，‎ 故数列的最小项是第4项，该项的值为9．‎ ‎18. 某公司为了准确地把握市场，做好产品生产计划，对过去四年的数据进行整理得到了第年与年销量（单位：万件）之间的关系如下表：‎ ‎（1）在图中画出表中数据的散点图；‎ ‎（2）根据散点图选择合适的回归模型拟合与的关系（不必说明理由）；‎ ‎（3）建立关于的回归方程，预测第5年的销售量.‎ 附注：参考公式：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：‎ ‎，.‎ ‎【答案】(1)见解析;(2) .（3）第5年的销售量大约为71万件.‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)利用所给的数据绘制散点图即可；‎ ‎(2)点在直线附近，则利用直线拟合与的关系 ‎(3)利用题中的 数据求得，据此预测第5年的销售量为万件.‎ 试题解析：（Ⅰ）作出散点图如图：‎ ‎（Ⅱ）根据散点图观察，可以用线性回归模型拟合与的关系．观察散点图可知各点大致分布在一条直线附近，列出表格：‎ 可得，．‎ 所以， ．‎ 故对的回归直线方程为．‎ ‎（Ⅲ）当时，．‎ 故第5年的销售量大约71万件．‎ 点睛： (1)正确理解计算的公式和准确的计算是求线性回归方程的关键．‎ ‎(2)回归直线方程必过样本点中心．‎ ‎(3)在分析两个变量的相关关系时，可根据样本数据作出散点图来确定两个变量之间是否具有相关关系，若具有线性相关关系，则可通过线性回归方程来估计和预测．‎ ‎19. 如图，在正三棱柱中，点分别是棱上的点，且.‎ ‎（1）证明：平面平面；‎ ‎（2）若，求三棱锥的体积.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1) 取线段的中点，利用题意证得平面，然后由面面垂直的判断定理可得平面 平面．‎ ‎(2)结合(1)的结论求得棱锥的高，然后利用体积公式可得.‎ 试题解析：（Ⅰ）证明：取线段的中点，取线段的中点，连接，，，则，‎ 又，‎ ‎∴是平行四边形，故．‎ ‎∵，平面平面，平面平面 ，‎ ‎∴平面，而，‎ ‎∴平面，‎ ‎∵平面，‎ ‎∴平面 平面．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得平面，，‎ 所以．‎ ‎20. 已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率，以两个焦点和短轴的两个端点为顶点 的四边形的周长为8，面积为.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）若点为椭圆上一点，直线的方程为：，求证：直线与椭圆有且只有一个交点.‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析.‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)利用题意求得，，椭圆的方程为．‎ ‎(2)首先讨论当的情况，否则联立直线与椭圆的方程，结合直线的特点整理可得直线与椭圆有且只有一个交点．‎ 试题解析：（Ⅰ）依题意，设椭圆的方程为，焦距为，‎ 由题设条件知，，，‎ ‎，，‎ 所以，，或，（经检验不合题意舍去），‎ 故椭圆的方程为．‎ ‎（Ⅱ）当时，由，可得，‎ 当，时，直线的方程为，直线与曲线有且只有一个交点．‎ 当，时，直线的方程为，直线与曲线有且只有一个交点．‎ 当时，直线的方程为，联立方程组 消去，得．①‎ 由点为曲线上一点，得，可得．‎ 于是方程①可以化简为，解得，‎ 将代入方程可得，故直线与曲线有且有一个交点，‎ 综上，直线与曲线有且只有一个交点，且交点为．‎ ‎21. 设函数，.‎ ‎（1）求函数的单调区间；‎ ‎（2）若函数在处取得极大值，求正实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）正实数的取值范围为。‎ ‎【解析】试题分析：（1）求出，分两种情况讨论，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间；（2）讨论的取值范围，分别利用导数研究函数的单调性，根据函数极值的定义，进行验证即可得到结论.‎ 试题解析：（1）由，‎ 所以.‎ 当时，，函数在上单调递增；‎ 当时，，函数单调递增，时，，函数单调递减.‎ 所以当时，的单调增区间为；‎ 当时，的单调增区间为，单调减区间为.‎ ‎（2）∵，‎ ‎∴且.‎ 由（1）知①当时，，由（1）知在内单调递增，可得当时，，当时，.‎ 所以在内单调递减，在内单调递增，所以在处取得极小值，不合题意.‎ ‎②当时，，在内单调递增，在内单调递减，所以当时，，单调递减，不合题意.‎ ‎③当时，，当时，，单调递增，当时，，单调递减.‎ 所以在处取得极大值，符合题意.‎ 综上可知，正实数的取值范围为.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22. 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数).以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线的极坐标方程为.‎ ‎（1）求直线的直角坐标方程和曲线的普通方程；‎ ‎（2）设点为曲线上任意一点，求点到直线的距离的最大值.‎ ‎【答案】（1）；（2）取得最大值为.‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)利用互化公式可得直线的直角坐标方程和曲线的普通方程分别为，.‎ ‎(2)利用距离公式得到三角函数式，结合三角函数的性质可得点到直线的距离的最大值为.‎ 试题解析：（Ⅰ）因为直线的极坐标方程为，‎ 即，即．‎ 曲线的参数方程为（是参数），利用同角三角函数的基本关系消去，‎ 可得．‎ ‎（Ⅱ）设点为曲线上任意一点，则点到直线的距离 ‎，‎ 故当时，取最大值为．‎ ‎ ‎ ‎23. 已知函数.‎ ‎（1）若不等式恒成立，求实数的最大值；‎ ‎（2）当时，函数有零点，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）实数的最大值为1；（2）实数的取值范围是.‎ 试题解析:（1）‎ ‎∵ ∴，的最大值为1.‎ ‎（2）‎ 即 在处取到最小值，即，，通分后的 解集为与题干中取交集得.‎ ‎ ‎ ‎ ‎