2018届二轮复习5-2平面向量基本定理及向量的坐标表示课件（全国通用） 24页

5 . 2 　 平面向量基本定理 及向量的坐标表示 - 2 - - 3 - 知识梳理 考点自测 1 . 平面向量基本定理 如果 e 1 , e 2 是同一平面内的两个 　　　　　 向量 , 那么对于这一平面内的任意向量 a , 有且只有一对实数 λ 1 , λ 2 , 使 a = 　　　　　　 . 其中 , 不共线的向量 e 1 , e 2 叫做表示这一平面内所有向量的一组 　　　　 . 把一个向量分解为两个 　　　　　　 的向量 , 叫做把向量正交分解 . 2 . 平面向量的坐标表示 在平面直角坐标系中 , 分别取与 x 轴、 y 轴方向相同的两个单位向量 i , j 作为基底 , a 为坐标平面内的任意向量 , 以坐标原点 O 为起点 = a , 由平面向量基本定理可知 , 有且只有一对实数 x , y , 使得 =x i +y j , 因此 a =x i +y j , 我们把实数对 　　　　　　 叫做向量 a 的坐标 , 记作 a = 　　　　　 .   不共线 λ 1 e 1 + λ 2 e 2 基底 互相垂直 ( x , y ) ( x , y ) - 4 - 知识梳理 考点自测 3 . 平面向量的坐标运算 (1) 向量坐标的求法 ① 若向量的起点是坐标原点 , 则终点坐标即为向量的坐标 . ② 设 A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ), 则 = 　　　　　　　 .   (2) 向量的加法、减法、数乘向量及向量的模 设 a = ( x 1 , y 1 ), b = ( x 2 , y 2 ), 则 a + b = 　　　　　　 , a - b = 　　　　　　　　　 , λ a = 　　　　　　　 , 4 . 平面向量共线的坐标表示 设 a = ( x 1 , y 1 ), b = ( x 2 , y 2 ), 则 a ∥ b ⇔ 　　 　　　　 .   ( x 2 -x 1 , y 2 -y 1 ) ( x 1 +x 2 , y 1 +y 2 ) ( x 1 -x 2 , y 1 -y 2 ) ( λ x 1 , λ y 1 ) x 1 y 2 -x 2 y 1 = 0 - 5 - 知识梳理 考点自测 5 . 向量的夹角 已知两个 　　　　 向量 a 和 b , 作 , 则 ∠ AOB= θ (0 °≤ θ ≤ 180 ° ) 叫做向量 a 与 b 的夹角 . 如果向量 a 与 b 的夹角是 90 ° , 我们说 a 与 b 垂直 , 记作 　　　　　 .   1 . 若 a 与 b 不共线 , λ a + μ b = 0 , 则 λ = μ = 0 . 2 . 已知 ( λ , μ 为常数 ), 则 A , B , C 三点共线的充要条件是 λ + μ = 1 . 非零 a ⊥ b - 6 - 知识梳理 考点自测 1 . 判断下列结论是否正确 , 正确的画 “ √ ”, 错误的画 “ × ” . (1) 平面内的任何两个向量都可以作为一组基底 . ( 　　 ) (2) 平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变 . ( 　　 ) (3) 在 △ ABC 中 , 向量 的夹角为 ∠ ABC. ( 　　 ) (4) 已知向量 a , b 是一组基底 , 若实数 λ 1 , μ 1 , λ 2 , μ 2 满足 λ 1 a + μ 1 b = λ 2 a + μ 2 b , 则 λ 1 = λ 2 , μ 1 = μ 2 . ( 　　 ) (5) 若 a = ( x 1 , y 1 ), b = ( x 2 , y 2 ), 则 a ∥ b 的充要条件是 . ( 　　 ) × √ × √ × - 7 - 知识梳理 考点自测 2 . (2017 河北石家庄二模 , 文 10) 已知向量 a = (1, m ), b = ( m ,1), 则 “ m= 1” 是 “ a ∥ b ” 的 ( 　　 ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 A 解析 : 当 m= 1 时 , a=b , 可以推出 a ∥ b ; 当 a ∥ b 时 , m 2 = 1, 解得 m= ± 1, 不能推出 m= 1 . 所以 “ m= 1” 是 “ a ∥ b ” 的充分不必要条件 . 故选 A . - 8 - 知识梳理 考点自测 3 . (2017 山东 , 文 11) 已知向量 a = (2,6), b = ( - 1, λ ) . 若 a ∥ b , 则 λ = 　　　 . 4 . (2017 山西太原一模 ) 已知 a = (1, - 1), b = ( t ,1), 若 ( a+b ) ∥ ( a-b ), 则实数 t= 　　　　　 .   5 . 设向量 a = ( m ,1), b = (1,2), 且 | a + b | 2 =| a | 2 +| b | 2 , 则实数 m= 　　　　 . - 3 解析 : ∵ a ∥ b , ∴ 2 λ - 6 × ( - 1) = 0, ∴ λ =- 3 . - 1 解析 : 由题意 , 得 a = (1, - 1), b = ( t ,1), 则 a+b = (1 +t ,0), a-b = (1 -t , - 2) . 因为 ( a+b ) ∥ ( a-b ), 所以 (1 +t ) × ( - 2) = (1 -t ) × 0 = 0, 解得 t=- 1 . - 2 解析 : ∵ | a + b | 2 =| a | 2 +| b | 2 , ∴ ( m+ 1) 2 + 3 2 =m 2 + 1 + 5, 解得 m=- 2 . - 9 - 考点一 考点二 考点三 考点四 平面向量基本定理的应用 C 2 - 10 - 考点一 考点二 考点三 考点四 - 11 - 考点一 考点二 考点三 考点四 - 12 - 考点一 考点二 考点三 考点四 思考 用平面向量基本定理解决问题的一般思路是什么 ? 解题心得 1 . 应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算 . 2 . 用平面向量基本定理解决问题的一般思路是 : 先选择一组基底 , 再通过向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件 , 把相关向量用这一组基底表示出来 . - 13 - 考点一 考点二 考点三 考点四 - 14 - 考点一 考点二 考点三 考点四 - 15 - 考点一 考点二 考点三 考点四 结论 “ 若 a 与 b 不共线 , λ a + μ b = 0 , 则 λ = μ = 0 ” 在解题中的应用   例 2 在梯形 ABCD 中 , AB ∥ CD , AB= 2 CD , M , N 分别为 CD , BC 的中点 , 若 , 则 λ + μ = 　　　　　 .   - 16 - 考点一 考点二 考点三 考点四 C - 17 - 考点一 考点二 考点三 考点四 平面向量的坐标运算 D C - 18 - 考点一 考点二 考点三 考点四 思考 利用向量的坐标运算解决问题的一般思路是什么 ? 解题心得 向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行的 . 解题过程中 , 常利用 “ 向量相等 , 则其坐标相同 ” 这一原则 , 通过列方程 ( 组 ) 来进行求解 . - 19 - 考点一 考点二 考点三 考点四 B B - 20 - 考点一 考点二 考点三 考点四 平面向量共线的坐标表示 例 4 平面内给定三个向量 a = (3,2), b = ( - 1,2), c = (4,1) . (1) 求满足 a =m b +n c 的实数 m , n ; (2) 若 ( a +k c ) ∥ (2 b - a ), 求实数 k. - 21 - 考点一 考点二 考点三 考点四 思考 向量共线有哪几种表示形式 ? 两个向量共线的充要条件有哪些作用 ? 解题心得 1 . 向量共线的两种表示形式 设 a = ( x 1 , y 1 ), b = ( x 2 , y 2 ), ① a ∥ b ⇒ a = λ b ( b ≠ 0 ); ② a ∥ b ⇔ x 1 y 2 -x 2 y 1 = 0 . 至于使用哪种形式 , 应视题目的具体条件而定 , 一般情况涉及坐标的应用 ② . 2 . 两个向量共线的充要条件的作用 判断两个向量是否共线 ( 或平行 ), 可解决三点共线的问题 ; 另外 , 利用两个向量共线的充要条件可以列出方程 ( 组 ), 求出未知数的值 . - 22 - 考点一 考点二 考点三 考点四 对点训练 4 (1)(2017 安徽马鞍山一模 , 文 13) 已知向量 a = (1,2), b = ( x ,6), 且 a ∥ b , 则 | a-b |= 　　　　　 .   (2) 在 △ ABC 中 , 角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c , 设向量 p = ( a+c , b ), q = ( b-a , c-a ), 若 p ∥ q , 则角 C 的大小为 　　　　　 .   60 ° - 23 - 考点一 考点二 考点三 考点四 1 . 只要两个向量不共线 , 就可以作为平面的一组基底 , 对基底的选取不唯一 , 平面内任意向量 a 都可以用这个平面的一组基底 e 1 , e 2 线性表示 , 且在基底确定后 , 这样的表示是唯一的 . 2 . 平面向量基本定理的本质是运用向量加法的平行四边形法则 , 将向量进行分解 . 3 . 向量的坐标表示的本质是向量的代数表示 , 其中坐标运算法则是运算的关键 , 通过坐标运算可将一些几何问题转化为代数问题处理 , 从而用向量可以解决平面解析几何中的许多相关问题 . - 24 - 考点一 考点二 考点三 考点四