专题4-1 三角函数的图象与性质-3年高考2年模拟1年原创备战2017高考精品系列之数学（文）（解析版） 37页

www.ks5u.com ‎2017年高考备考之 ‎3年高考2年模拟1年原创 ‎ ‎ ‎【三年高考】‎ ‎1. 【2016高考新课标1文数】若将函数y=2sin (2x+)的图像向右平移个周期后,所得图像对应的函数为（ ）‎ ‎（A）y=2sin(2x+) （B）y=2sin(2x+) （C）y=2sin(2x–) （D）y=2sin(2x–)‎ ‎【答案】D ‎ 2．【2016高考四川文科】为了得到函数的图象，只需把函数y=sinx的图象上所有的点( )‎ ‎(A)向左平行移动个单位长度 (B) 向右平行移动个单位长度 ‎ ‎(C) 向上平行移动个单位长度 (D) 向下平行移动个单位长度 ‎【答案】A ‎【解析】由题意，为得到函数，只需把函数的图像上所有点向左移个单位，故选A.‎ ‎3．【2016高考新课标2文数】函数的部分图像如图所示，则（ ）‎ ‎（A） （B）（C） （D）‎ ‎【答案】A ‎ 4．【2016高考上海文科】若函数的最大值为5，则常数______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】，其中，故函数的最大值为，由已知，，解得.‎ ‎5．【2016高考北京文数】已知函数的最小正周期为.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求的单调递增区间.‎ ‎【解析】（I）因为，‎ 所以的最小正周期．依题意，，解得．‎ ‎（II）由（I）知．函数的单调递增区间为（）．由，得 ‎．所以的单调递增区间为（）．‎ ‎6. 【2015高考山东，文4】要得到函数的图象，只需要将函数的图象（ ）‎ ‎（A）向左平移个单位  （B）向右平移个单位（C）向左平移个单位   （D）向右平移个单位 ‎ ‎【答案】‎ ‎ 7.【2015高考浙江，文11】函数的最小正周期是 ，最小值是 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎，所以；.‎ ‎8.【2015高考天津，文14】已知函数,,若函数在区间内单调递增,且函数的图像关于直线对称,则的值为 ．‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】由在区间内单调递增,且的图像关于直线对称,可得 ,且,所以 ‎ ‎ ‎9.【2015高考湖北，文18】某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎5‎ ‎0‎ ‎（Ⅰ）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数的解析式；‎ ‎（Ⅱ）将图象上所有点向左平行移动个单位长度，得到图象，求的图象离原点最近的对称中心.‎ ‎【解析】（Ⅰ）根据表中已知数据可得：，，，解得. 数据补全如下表：‎ 且函数表达式为. ‎ ‎ 10. 【2014高考安徽卷文第7题】若将函数的图像向右平移个单位，所得图像关于轴对称，则的最小正值是（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意，将其图象向右平移个单位，得，要使图象关于轴对称，则，解得，当时，取最小正值，故选C.‎ ‎11．【2014高考辽宁卷文第11题】 将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（ ）‎ A．在区间上单调递减 B．在区间上单调递增 C．在区间上单调递减 D．在区间上单调递增 ‎【答案】B ‎ 12.【2014高考北京卷文第16题】函数的部分图象如图所示.‎ ‎（1）写出的最小正周期及图中、的值；‎ ‎（2）求在区间上的最大值和最小值.‎ ‎【解析】（1）由题意知：的最小正周期为，，.‎ ‎（2）因为，所以，于是，当，即时，取得最大值0；当，即时，取得最小值.‎ ‎【三年高考命题回顾】‎ 纵观前三年各地高考试题, 三角函数的周期性、单调性、最值，三角函数图像变换等是高考的热点，每年文理均涉及到一道三角函数性质与图像的题目，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度属于中、低档；常与三角恒等变换交汇命题，在考查三角函数性质的同时，又考查三角恒等变换的方法与技巧，注重考查函数与方程、转化与化归等思想方法．‎ ‎【2017年高考复习建议与高考命题预测】‎ 由前三年的高考命题形式可以看出 , 高考降低了对三角变换的考查要求，而加强了对三角函数的图象与性质的考查，因为函数的性质是研究函数的一个重要内容，是学习高等数学和应用技术学科的基础，又是解决生产实际问题的工具，因此三角函数的图象与性质是本章复习的重点. 从高考试题来看，三角函数的周期性,单调性,对称性,最值,图像变换等是高考的热点，常与三角恒等变换交汇命题，在考查三角函数性质的同时，又考查三角恒等变换的方法与技巧，注重考查函数与方程、转化与化归等思想方法．‎ 其特点如下：(1)考小题，重基础：小题其考查重点在于基础知识：解析式；图象与图象变换；两域(定义域、值域)；四性(单调性、奇偶性、对称性、周期性)．(2)考大题，难度明显降低：有关三角函数的大题即解答题，通过公式变形转换来考查思维能力的题目已经很少，而着重考查基础知识和基本技能与方法的题目却在增加．在复习时要充分运用数形结合的思想，把图象与性质结合起来，即利用图象的直观性得出函数的性质，或由单位圆上线段表示的三角函数值来获得函数的性质，同时也要能利用函数的性质来描绘函数的图象，这样既有利于掌握函数的图象与性质，又能熟练地运用数形结合的思想方法.‎ 从2016年高考试题来看，特别是新课标1卷第17题考察了解三角形，故预测2017年高考可能以三角函数的周期性、单调性、最值、奇偶性为主要考点，可能出一个大题．也有可能仍将以三角函数的周期性、单调性、最值、奇偶性中选一个出一道选择题或填空题，难度不大.‎ ‎【2017年高考考点定位】‎ 本节内容高考的重点就是利用三角函数性质，如奇偶性、单调性、周期性、对称性、有界性及“五点作图法”等，求解三角函数的值、求参数、求最值、求值域、求单调区间等问题，三角函数的图象主要考查其变换，题型既有选择题也有填空题，也有解答题，难度中等偏下，而小题目综合化是这部分内容的考查一种趋势.‎ ‎【考点1】三角函数的图象与简单性质 ‎【备考知识梳理】‎ ‎1.三角函数线 三角函数线是通过有向线段直观地表示出角的各种三角函数值的一种图示方法.利用三角函数线在解决比较三角函数值大小、解三角方程及三角不等式等问题时，十分方便.‎ 以坐标原点为圆心，以单位长度1为半径画一个圆，这个圆就叫做单位圆（注意：这个单位长度不一定就是1厘米或1米）.当角为第一象限角时，则其终边与单位圆必有一个交点，过点作轴交轴于点，根据三角函数的定义：；.‎ O x y a角的终边 P T M A 我们知道，指标坐标系内点的坐标与坐标轴的方向有关.当角的终边不在坐标轴时,以为始点、为终点，规定：当线段与轴同向时，的方向为正向，且有正值；当线段与轴反向时，的方向为负向，且有正值；其中为点的横坐标.这样,无论那种情况都有：‎ 同理,当角的终边不在轴上时,以为始点、为终点，‎ 规定：当线段与轴同向时，的方向为正向，且有正值；当线段与轴反向时，的方向为负向，且有正值；其中为点的横坐标.‎ 这样,无论那种情况都有.像这种被看作带有方向的线段，叫做有向线段.‎ 如上图,过点作单位圆的切线,这条切线必然平行于轴,设它与的终边交于点,请根据正切函数的定义与相似三角形的知识,借助有向线段,我们有：‎ 我们把这三条与单位圆有关的有向线段,分别叫做角的正弦线、余弦线、正切线，统称为三角函数线.‎ ‎2.正弦函数,余弦函数,正切函数的图象与性质 性质 图象 ‎ ‎ 定义域 值域 最值 当时，；当时，．‎ 当时，；当时，．‎ 既无最大值，也无最小值 周期性 奇偶性 ‎,奇函数 偶函数 奇函数 单调性 在上是增函数；在上是减函数．‎ 在上是增函数；在上是减函数．‎ 在上是增函数．‎ 对称性 对称中心 对称轴，既是中心对称又是轴对称图形.‎ 对称中心 对称轴，既是中心对称又是轴对称图形.‎ 对称中心 无对称轴，是中心对称但不是轴对称图形.‎ ‎3.（五点法），先列表，令，求出对应的五个的值和五个值，再根据求出的对应的五个点的坐标描出五个点，再把五个点利用平滑的曲线连接起来，即得到在一个周期的图像，最后把这个周期的图像以周期为单位，向左右两边平移，则得到函数的图像.‎ ‎【规律方法技巧】‎ 用“五点法”作图应抓住四条：①将原函数化为或的形式；②求出周期；③求出振幅；④列出一个周期内的五个特殊点，当画出某指定区间上的图象时，应列出该区间内的特殊点．‎ ‎【考点针对训练】‎ ‎1. 【河北省衡水中学2016届高三四调】函数（）的大致图象是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎ 2.函数是（ ）.‎ A.最小正周期为的奇函数 B.最小正周期为的奇函数 C.最小正周期为的偶函数 D.最小正周期为的偶函数 ‎【答案】C ‎【考点2】三角函数图象的变换 ‎【备考知识梳理】‎ ‎1.函数图像的变换（平移变换和上下变换）‎ 平移变换：左加右减，上加下减 把函数向左平移个单位，得到函数的图像;‎ 把函数向右平移个单位，得到函数的图像;‎ 把函数向上平移个单位，得到函数的图像;‎ 把函数向下平移个单位，得到函数的图像.‎ 伸缩变换:‎ 把函数图像的纵坐标不变,横坐标伸长到原来的，得到函数的图像;‎ 把函数图像的纵坐标不变,横坐标缩短到原来的，得到函数的图像;‎ 把函数图像的横坐标不变,纵坐标伸长到原来的，得到函数的图像;‎ 把函数图像的横坐标不变,纵坐标缩短到原来的，得到函数 的图像.‎ ‎2.由的图象变换出的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换.利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母x而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少.‎ 途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换)先将的图象向左或向右平移个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的倍()，便得的图象 途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换：先将的图象上各点的横坐标变为原来的倍()，再沿轴向左()或向右()平移个单位，便得的图象.‎ 注意：函数的图象，可以看作把曲线上所有点向左(当时)或向右(当时)平行移动个单位长度而得到.‎ ‎【规律方法技巧】‎ ‎1. 在解决函数图像的变换问题时，要遵循“只能对函数关系式中的变换”的原则，写出每一次的变换所得图象对应的解析式，这样才能避免出错．‎ ‎2. 图像变换法．若函数图像可由某个基本函数的图像经过平移、翻折、对称得到，可利用图像变换作出，但要注意变换顺序．对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响．‎ ‎3.解决图象变换问题时，要分清变换的对象及平移(伸缩)的大小，避免出现错误．‎ ‎4.特别提醒：进行三角函数的图象变换时，要注意无论进行什么样的变换都是变换变量本身.‎ ‎【考点针对训练】‎ ‎1. 【2016年江西师大附中高三上学期期末】已知函数向右平移个单位后 所得的图像与原函数图像关于轴对称，则的最小正值为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎ 2. 【2016年江西师大附中高三二模】已知函数向右平移个单位后，所得的图像与原函数图像关于轴对称，则的最小正值为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】原函数向右平移个单位后所得函数为其与原函数关于轴对称，则必有，由三角函数诱导公式可知的最小正值为，故本题的正确选项为D.‎ ‎【考点3】求三角函数解析式 ‎【备考知识梳理】‎ ‎1. 由的图象求其函数式：‎ 已知函数的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求A；由函数的周期确定；确定常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置．‎ ‎2.利用图象变换求解析式：‎ 由的图象向左或向右平移个单位，，得到函数，将图象上各点的横坐标变为原来的倍()，便得，将图象上各点的纵坐标变为原来的倍()，便得.‎ ‎【规律方法技巧】‎ ‎1.根据的图象求其解析式的问题，主要从以下四个方面来考虑：‎ ‎(1)A的确定：根据图象的最高点和最低点，即A＝；‎ ‎(2)k的确定：根据图象的最高点和最低点，即k＝；‎ ‎(3) 的确定：结合图象，先求出周期T，然后由T＝(ω>0)来确定ω；‎ ‎(4)φ的确定：由函数最开始与x轴的交点的横坐标为 (即令，)确定.将点的坐标代入解析式时，要注意选择的点属于“五点法”中的哪一个点.“第一点”（即图象上升时与x轴的交点）为，其他依次类推即可.‎ ‎2.在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换．变换只是相对于其中的自变量x而言的，如果x的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向．‎ ‎【考点针对训练】‎ ‎1. 【2016届邯郸市第一中学高三十研】已知的部分图像如图所示，则的表达式为（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎ ‎ ‎2. 【2016届山东省东营市胜利一中高三最后一卷】定义矩阵．若，则的图象向右平移个单位得到的函数解析式为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】，的图象向右平移个单位得到的函数为，故选D. ‎ ‎【考点4】三角函数的单调性 ‎【备考知识梳理】‎ ‎1.三角函数的单调区间：‎ 的递增区间是，递减区间是；‎ 的递增区间是，递减区间是，‎ 的递增区间是，‎ ‎2.复合函数的单调性 设，都是单调函数，则在上也是单调函数，其单调性由“同增异减”来确定，即“里外”函数增减性相同，复合函数为增函数，“里外”函数增减性相反，复合函数为减函数，如下表 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 ‎【规律方法技巧】‎ ‎1. 求形如或 (其中A≠0，)的函数的单调区间，可以通过解不等式的方法去解答，列不等式的原则是：①把“ ()”视为一个“整体”；②A>0(A<0)时，所列不等式的方向与 ()， ()的单调区间对应的不等式方向相同(反)．‎ ‎2. 如何确定函数当时函数的单调性 对于函数求其单调区间，要特别注意的正负，若为负值，需要利用诱导公式把负号提出来，转化为的形式，然后求其单调递增区间，应把放在正弦函数的递减区间之内；若求其递减区间，应把放在正弦函数的递增区间之内.‎ ‎3.求函数 (或，或)的单调区间的步骤：‎ ‎(1)将化为正．‎ ‎(2)将看成一个整体，由三角函数的单调性求解．‎ ‎5．特别提醒：解答三角函数的问题时，不要漏了“”.‎ ‎【考点针对训练】‎ ‎1. 【2016年安庆市高三二模】已知函数（,,）的部分图象如图所示,则的递增区间为（ ）‎ A．, B．,‎ C．, D．,‎ ‎【答案】B ‎ 2. 【2016年河南八市高三联考】已知函数，将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再将所得函数图象向右平移个单位，得到函数的图象，则函数的一个单调递增区间为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【考点5】三角函数的奇偶性 ‎ ‎【备考知识梳理】‎ ‎1．函数的奇偶性的定义； 对定义域内任意，如果有=，则函数是偶函数，如果有=-，则函数是奇函数，否则是非奇非偶函数 ‎2．奇偶函数的性质：‎ ‎（1）定义域关于原点对称；（2）偶函数的图象关于轴对称，奇函数的图象关于原点对称；‎ ‎3．为偶函数．‎ ‎4．若奇函数的定义域包含，则．‎ ‎5. 为奇函数，为偶函数，为奇函数.‎ ‎【规律方法技巧】‎ ‎1. 一般根据函数的奇偶性的定义解答，首先必须考虑函数的定义域，如果函数的定义域不关于原点对称，则函数一定是非奇非偶函数；如果函数的定义域关于原点对称，则继续求；最后比较和的关系，如果有=，则函数是偶函数，如果有=-，则函数是奇函数，否则是非奇非偶函数.‎ ‎2. 如何判断函数的奇偶性:根据三角函数的奇偶性，利用诱导公式可推得函数的奇偶性，常见的结论如下：‎ ‎(1)若为偶函数，则有;若为奇函数则有；‎ ‎(2)若为偶函数，则有;若为奇函数则有；‎ ‎(3)若为奇函数则有.‎ ‎【考点针对训练】‎ ‎1. 【2016届湖北省沙市中学高三考前最后一卷】已知函数是偶函数，则下列结论可能成立的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎2. 【2016年淮南高三二模】已知函数满足对恒成立，则函数（ ）‎ A．一定为奇函数 B．一定为偶函数 C． 一定为奇函数 D．一定为偶函数 ‎【答案】D ‎【解析】由题意得，时，则，，所以，此时函数为偶函数，故选D．‎ ‎【考点6】三角函数的周期性 ‎【备考知识梳理】‎ ‎1. 周期函数的定义 一般地，对于函数，如果存在一个非零常数，使得定义域内的每一个值，都有 ，那么函数就叫做周期函数，非零常数 叫做这个函数的周期．‎ ‎2.最小正周期 对于一个周期函数，如果它所有的周期中存在一个最小的正数 ，那么这个最小的正数 就叫做的最小正周期． ‎ ‎2. ,周期为,周期为.‎ ‎【规律方法技巧】‎ ‎1.求三角函数的周期的方法 ‎（1）定义法：使得当x取定义域内的每一个值时，都有f (x+T)=f (x).利用定义我们可采用取值进行验证的思路，非常适合选择题；‎ ‎（2）公式法：和的最小正周期都是，的周期为.要特别注意两个公式不要弄混；‎ ‎(3)图象法：可以画出函数的图象，利用图象的重复的特征进行确定，一般适应于不易直接判断，但是能够容易画出函数草图的函数；‎ ‎(4)绝对值或平方对三角函数周期性的影响：一般说来，某一周期函数解析式加绝对值或平方，其周期性是：弦减半、切不变．既为周期函数又是偶函数的函数自变量加绝对值，其周期性不变，其它不定. 如的周期都是, 但的周期为，而，的周期不变.‎ ‎2.使用周期公式，必须先将解析式化为或的形式；正弦余弦函数的最小正周期是，正切函数的最小正周期公式是；注意一定要注意加绝对值.‎ ‎【考点针对训练】‎ ‎1. 【2016届辽宁大连八中、二十四中高三模拟】函数的最小正周期是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎2. 【湖南师范大学附属中学2016届高三月考（三）】已知函数的图象关于直线对称，其中为常数，且．‎ ‎（1）求函数的最小正周期；‎ ‎（2）若存在，使，求的取值范围．‎ ‎【考点7】三角函数的最值 ‎【备考知识 ‎,的值域为,的值域为.‎ ‎【规律方法技巧】‎ 掌握三种类型，顺利求解三角最值:三角函数的最值既是高考中的一个重点，也是一个难点，其类型丰富，解决的方法比较多.但是归纳起来常见的有下面三种类型：‎ ‎（1）可化为型函数值域：‎ 利用三角公式对原函数进行化简、整理，最终得到的形式，然后借助题目中给定的的范围，确定的范围，最后利用的图象确定函数的值域. 如：‎ ‎①，设化为一次函数在闭区间上的最值求之；‎ ‎②，引入辅助角，化为求解方法同类型①；‎ ‎(2)可化为型求函数的值域：‎ 首先借助三角公式，把函数化成型，然后采用换元法，即令，构造关于的函数，然后根据具体的结构，采取相应的方法求解.如：,化为二次函数在上的最值求之；,设化为二次函数在闭区间上的最值求之；，可转化为对号函数求值域.‎ ‎ (3)利用数性结合思想求函数的值域：‎ 此类题目需分析函数的结构特征，看能否转化为有几何含义的式子结构，有时也可以把函数图象画出来，直接观察确定函数的值域.如，设化为用法求值；当时，还可用平均值定理求最值；根据正弦函数的有界性，即可分析法求最值，还可“不等式”法或“数形结合”，转化为直线的斜率的几何含义求解.‎ 易错提示]　(1)在求三角函数的最值时，要注意自变量x的范围对最值的影响，往往结合图象求解．(2)求函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时，只有当ω＞0时，才可整体代入并求其解，当ω＜0时，需把ω的符号化为正值后求解．‎ ‎【考点针对训练】‎ ‎1. 【2016届浙江省杭州市高三第二次质检】函数（）的最大值等于（ ）‎ A．5 B． C． D．2‎ ‎【答案】B ‎ 2. 【河北省衡水中学2016届高三七调】已知函数 的最小正周期为，则在区间上的值域为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【考点8】求函数的对称性（对称轴和对称中心）‎ ‎【备考知识梳理】‎ ‎1.对称轴与对称中心：‎ 的对称轴为，对称中心为；‎ 的对称轴为，对称中心为；‎ 对称中心为.‎ ‎2.对于和来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系.‎ 的图象有无穷多条对称轴，可由方程解出；它还有无穷多个对称中心，它们是图象与轴的交点，可由，解得，即其对称中心为．‎ ‎3.相邻两对称轴间的距离为，相邻两对称中心间的距离也为,函数的对称轴一定经过图象的最高点或最低点．‎ ‎【规律方法技巧】‎ 先化成的形式再求解．其图象的对称轴是直线，凡是该图象与直线的交点都是该图象的对称中心, 关键是记住三角函数的图象，根据图象并结合整体代入的基本思想即可求三角函数的对称轴与对称中心．‎ ‎【考点针对训练】‎ ‎1. 【湖北省八校2016高三第二次联考】若的图像关于直线对称，且当取最小值时，，使得，则的取值范围是（ ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎ 2. 【2016年江西高三三校联考】函数的图像的一个对称中心为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】，令，所以函数的图像的一个对称中心为,选C. ‎ ‎【应试技巧点拨】‎ ‎1．如何判断函数的奇偶性 根据三角函数的奇偶性，利用诱导公式可推得函数的奇偶性，常见的结论如下：‎ ‎(1)若为偶函数，则有;若为奇函数则有；‎ ‎(2)若为偶函数，则有;若为奇函数则有；‎ ‎(3)若为奇函数则有.‎ ‎2.如何确定函数当时函数的单调性 对于函数求其单调区间，要特别注意的正负，若为负值，需要利用诱导公式把负号提出来，转化为的形式，然后求其单调递增区间，应把放在正弦函数的递减区间之内；若求其递减区间，应把放在正弦函数的递增区间之内.‎ ‎3.求三角函数的周期的方法 ‎（1）定义法：使得当x取定义域内的每一个值时，都有f (x+T)=f (x).利用定义我们可采用取值进行验证的思路，非常适合选择题；‎ ‎（2）公式法：和的最小正周期都是，的周期为.要特别注意两个公式不要弄混；‎ ‎(3)图象法：可以画出函数的图象，利用图象的重复的特征进行确定，一般适应于不易直接判断，但是能够容易画出函数草图的函数；‎ ‎(4)绝对值或平方对三角函数周期性的影响：一般说来，某一周期函数解析式加绝对值或平方，其周期性是：弦减半、切不变．既为周期函数又是偶函数的函数自变量加绝对值，其周期性不变，其它不定. 如的周期都是, 但的周期为，而，的周期不变.‎ ‎4.掌握三种类型，顺利求解三角最值 三角函数的最值既是高考中的一个重点，也是一个难点，其类型丰富，解决的方法比较多.但是归纳起来常见的有下面三种类型：‎ ‎（1）可化为型函数值域：‎ 利用三角公式对原函数进行化简、整理，最终得到的形式，然后借助题目中给定的的范围，确定的范围，最后利用的图象确定函数的值域. 如：、‎ 等.‎ ‎ (2)可化为型求函数的值域：‎ 首先借助三角公式，把函数化成型，然后采用换元法，即令，构造关于的函数，然后根据具体的结构，采取相应的方法求解.如：、可转化为二次函数求值域；，可转化为对号函数求值域.‎ ‎ (3)利用数性结合思想求函数的值域：‎ 此类题目需分析函数的结构特征，看能否转化为有几何含义的式子结构，有时也可以把函数图象画出来，直接观察确定函数的值域.如，常转化为直线的斜率的几何含义求解.‎ ‎1. 【河南省商丘市2016年高三第三次模拟】 函数的部分图象如图所示，则的解析式可以为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎ 2. 【2016届云南省昆明一中高三第七次高考仿真模拟】将函数的图象向右平移个单位，再将图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变），所得图象的解析式为，则的值分别为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】将图像上所有点的横坐标伸长为原来的倍,得到的图像，再将该图像向左平移个单位,得到的图像即为函数的图像，选A．‎ ‎3. 【2016届湖北省级示范高中联盟高三模拟】已知函数在上有两个零点，则的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎4. 【2016届福建省泉州市高三5月质检】已知函数,若,则函数的单调递增区间为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由可知,所以,所以,所以,由可得,由可得,所以函数的单调递增区间是，故应选D.‎ ‎5. 【2016届安徽省江南十校高三二模】如果函数在区间上单调递减，那么的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】因为时，在上单调递增，所以可以排除C、D；时，在上单调递减，在上单调递增，因此可排除选项A，故选B.‎ ‎6. 【2016届陕西师大附中高三第十次模拟】函数，给出下列四个命题：‎ ‎①在区间上是减函数；②直线是函数图象的一条对称轴；③函数的图象可由函数的图象向左平移个单位得到；④若，则的值域是.‎ 其中，正确的命题的序号是( ) ‎ A．①② B. ②③ C．①④ D. ③④‎ ‎【答案】A ‎ 7. 【2016届宁夏石嘴山三中高三四模】已知函数的最小正周期为，且对，有成立，则的一个对称中心坐标是（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】因,故,所以；由可知当时,取最大值,即,因为,所以,此时,故应选A. ‎ ‎8. 【2016年山西临汾一中高三测试】已知函数的图象与轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，把函数的图象沿轴向左平移个单位，得到函数的图象．若在区间上随机取一个数，则事件“”发生的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎ 9．【2016届福建厦门双十中学高三下热身考】已知直线是函数图象的一条对称轴，则直线的倾斜角为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由条件，故倾斜角为.‎ ‎10. 【湖南师范大学附属中学2016届高三上学期月考（三）文科数学试题】（本小题10分）已知函数．‎ ‎（1）求函数的最小正周期；‎ ‎（2）将函数的图象向下平移个单位，再将图象上各点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得到函数的图象，求使成立的的取值集合．‎ ‎【解析】（1）因为． ‎ ‎．所以的最小正周期．‎ ‎（2）由题设，．由，得，则．所以，．故的取值集合时．‎ ‎ 11.【2015届新高考单科综合调研卷（浙江卷）（二）】已知，函数在上单调递减，则的取值范围是 （ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A.‎ ‎【解析】结合特殊值，求解三角函数的递减区间，并验证结果．取，，其减区间为，显然，排除；取，，其减区间为，显然，排除．选.‎ ‎12.【2015届新高考单科综合调研卷（浙江卷）（一）】已知函数，，若方程有三个不同的实数根，且三个根从小到大依次成等比数列，则实数的值可能是 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A.‎ ‎13.【朝阳区2014-2015学年度高三年级第一学期期中】如图，某地一天中6时至14时的温度变化曲线近似满足函数（其中 ，）， 第7题图 则估计中午12时的温度近似为（ ）‎ ‎30‎ ‎20‎ ‎10‎ O t/h T/℃‎ ‎6‎ ‎8‎ ‎10‎ ‎12‎ ‎14‎ A. 30 ℃ B. 27 ℃ C.25 ℃ D.24 ℃‎ ‎【答案】B ‎ 14.【惠安一中、养正中学、安溪一中2015届高三联合考试】对于函数，有下列4个命题：①任取，，都有恒成立；②，对于一切恒成立；③对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是．④函数有个零点；则其中所有真命题的序号是 ．‎ ‎【答案】①④.‎ ‎【解析】①：显然，当时，，，∴对于，，，∴①正确；②：∵，‎ ‎∴，，∴②错误；③：画出的图象，从而可知，若要使，只需对于任意的恒成立，从而问题等价于求数列的最大项，‎ 由，∴，∴③错误；④画出 的图象的图象如图所示，则可知，，从而两个函数图象有三个交点，即函数有个零点，∴④正确.‎ ‎15.【河南省信阳市2015届高中毕业班第二次调研】已知向量，记函数.求：‎ ‎（Ⅰ）函数的最小值及取得最小值时的集合； ‎ ‎（Ⅱ）函数的单调递增区间.‎ ‎（Ⅱ）由，所以,‎ ‎ ∴函数的单调递增区间为.‎ ‎【一年原创真预测】‎ ‎1. 将函数的图象向左平移个单位，再向上平移3个单位，得到函数的图象，则的解析式为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【入选理由】本题主要考查三角函数图像变换及三角函数的图象和性质等基础知识，意在考查运用数形结合思想的能力和运算能力, 本题重点考查三角函数的图象及其平移变换理论，突出了对函数图象变换思想的理解，难度适中，故押此题．‎ ‎2．已知,，点在直线上，则函数的最小正周期为_________.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】，，依题意，则，所以，则函数的周期为.‎ ‎【入选理由】本题主要考查平面向量的线性运算,三角函数的周期性等基础知识，意在考查学生的运算求解能力，运用数形结合思想的能力, 三角函数的性质与向量巧妙结合, 立意比较新，难度适中，故押此题．‎ ‎3. 已知函数=的部分图象如图所示，则的单调增区间为 ( )‎ ‎ A.， B.， ‎ ‎ C. ， D.，‎ ‎【答案】A ‎【入选理由】本题主要考查由三角函数的图象求解析式，三角函数的图象与性质，意在考查运用数形结合思想的能力和运算能力, 本题是一个常规题型，但出题方式有新意，难度适中，故押此题．‎ ‎4.已知函数 ，满足其最小正周期为，，，则 函数在区间上的最大值与最小值之和为（ ）‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎ 【答案】B ‎ 【解析】由最小正周期，则，当时，，，， 即，此时无解；同理当时可求得，所以， ，所以，则最大值与最小值的和为.‎ ‎【入选理由】本题主要考查求三角函数解析式，三角函数的图象与性质，求三角函数的导数等基础知识，意在考查运用数形结合思想的能力和运算能力, 本题综合性强，但出题方式有创意，难度适中，故押此题．‎ ‎5. 已知是偶函数，则实数的值为 ‎【答案】‎ ‎【解析】因为函数是偶函数，且定义域为，所以即当 时，为偶函数.‎ ‎【入选理由】本题考查三角函数的奇偶性，特殊角三角函数值等基础知识，意在考查学生分析问题能力及基本运算能力，本题这种出法有创意，难度适中，故押此题．‎ ‎6. 已知函数的一条对称轴方程为，则函数的最大值为___________．‎ ‎【答案】1‎ ‎【入选理由】本题主要考查三角函数的图像与性质、倍角公式、和角公式、三角恒等变换以及三角函数最值等基础知识，考查了基本的运算能力和转化与化归的数学思想以及数形结合的数学方法等.本题考查内容重点突出，综合性较强,难度不大，故选此题.‎ ‎7.已知函数，则下列结论错误的是( )‎ A．函数的最小正周期为 B．函数的图象关于直线对称 C．函数的图象可由的图象向右平移个单位得到 D. 函数在区间上是增函数 ‎【答案】B ‎【解析】由题知，函数，所以的最小正周期为，选项A正确；将代入的解析式得，而不是函数的最值，所以选项B不正确；因为，所以它可由的图象向右平移个单位得到，选项C正确；当时，，此范围内当的值增加时，的值增加，的值也增加，所以函数在区间 上是增函数,选项D正确.‎ ‎【入选理由】本题综合考查三角函数的图像与性质，三角函数图像变换等基础知识，意在考查学生分析问题能力及解决问题的能力，本题综合性强，难度适中，故押此题．‎ ‎8.已知中，边的对角分别为，且，，.‎ ‎（Ⅰ）求及的面积；‎ ‎（Ⅱ）已知函数，把函数的图象向左平移个单位得函数 的图象，求函数（）上的单调递增区间.‎ ‎【入选理由】本题主要考查正弦定理解三角形、三角函数的恒等变换、三角函数的平移变换以及三角函数的单调性等，考查基本的运算能力以及函数与方程、转化与化归的数学思想，综合分析问题解决问题的能力．本题综合性较强,难度不大，故选此题.‎