2019届二轮复习（理）专题26数列的概念与简单表示法学案（全国通用） 15页

‎1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)．　‎ ‎2.了解数列是自变量为正整数的一类函数．‎ ‎ ‎ ‎1．数列的定义 按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．‎ ‎2．数列的分类 分类原则 类型 满足条件 按项数分类 有穷数列 项数有限] ] ]‎ 无穷数列 项数无限 按项与项间 的大小关系 分类 递增数列 an＋1＞an 其中 n∈N ‎ 递减数列 an＋1＜an 常数列 an＋1＝an 按其他 标准分类 有界数列 存在正数M，使|an|≤M 摆动数列 从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列 ‎3.数列的表示法 数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法．‎ ‎4．数列的通项公式 如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．‎ ‎5．已知数列{an}的前n项和Sn，则an＝ ‎【必会结论】 ‎ ‎1．若数列{an}的前n项和为Sn，通项公式为an，‎ 则an＝ ‎2．在数列{an}中，若an最大，则 若an最小，则 ‎3．数列与函数的关系 数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值，就是数列．‎ 高频考点一　由数列的前几项求数列的通项公式 例1、根据下面各数列前几项的值，写出数列的一个通项公式：‎ ‎(1)－1，7，－13，19，…；‎ ‎(2)，，，，，…；‎ ‎(3)，2，，8，，…；‎ ‎(4)5，55，555，5 555，….‎ 解　(1)偶数项为正，奇数项为负，故通项公式必含有因式(－1)n，观察各项的绝对值，后一项的绝对值总比它前一项的绝对值大6，故数列的一个通项公式为an＝(－1)n(6n－5). ‎ ‎(4)将原数列改写为×9，×99，×999，…，易知数列9，99，999，…的通项为10n－1，故所求的数列的一个通项公式为an＝(10n－1).‎ ‎【方法规律】根观察法求通项公式的常用技巧 求数列的通项公式实际上是寻找数列的第n项与序号n之间的关系，常用技巧有：(1)借助于(－1)n或(－1)n＋1来解决项的符号问题；(2)项为分数的数列，可进行恰当的变形，寻找分子、分母各自的规律以及分子、分母间的关系；(3)对较复杂的数列的通项公式的探求，可采用添项、还原、分割等方法，转化为熟知的数列，如等差数列、等比数列等来解决．‎ ‎【变式探究】 (1)数列0，，，，…的一个通项公式为(　　)‎ A.an＝(n∈N＋) B.an＝(n∈N＋)‎ C.an＝(n∈N＋) D.an＝(n∈N＋)‎ ‎(2)数列－，，－，，…的一个通项公式an＝ .‎ 解析　(1)注意到分子0，2，4，6都是偶数，对照选项排除即可.‎ ‎(2)这个数列前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式为an＝(－1)n.‎ 答案　(1)C　(2)(－1)n 高频考点二　由an与Sn的关系求通项an　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 例2、(1)已知数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n，则an＝ .‎ 答案　4n－5‎ ‎ ‎ ‎(2)设Sn为数列{an}的前n项的和，且Sn＝(an－1)(n∈N )，则an＝ .‎ 答案　3n 解析　当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(an－1)－(an－1－1)，整理，得an＝3an－1，即＝3，又a1＝3，∴数列{an}是以3为首项，3为公比的等比数列，∴an＝3n.‎ ‎(3)已知数列{an}，满足a1＋‎2a2＋‎3a3＋…＋nan＝2n，则an＝ .‎ 答案　 解析　当n＝1时，由已知，可得a1＝21＝2，‎ 当n≥2时，a1＋‎2a2＋‎3a3＋…＋nan＝2n，　①‎ 故a1＋‎2a2＋‎3a3＋…＋(n－1)an－1＝2n－1，　②‎ 由①－②得nan＝2n－2n－1＝2n－1，∴an＝.‎ 显然n＝1时不满足上式，∴an＝ ‎ ‎【方法技巧】‎ 给出Sn与an的递推关系，求an的常用思路：一是利用Sn－Sn－1＝an (n≥2)转化为an的递推关系，再求其通项公式；二是转化为Sn的递推关系，先求出Sn与n之间的关系，再求an.‎ ‎【变式训练】　(1)已知数列{an}的前n项和Sn＝3n＋1，则an＝ .‎ 答案　 ‎ ‎ ‎(2)设数列{an}满足a1＋‎3a2＋‎32a3＋…＋3n－1an＝，则an＝ .‎ 答案　 解析　因为a1＋‎3a2＋‎32a3＋…＋3n－1an＝，①‎ 则当n≥2时，‎ a1＋‎3a2＋‎32a3＋…＋3n－2an－1＝，②‎ ‎①－②得3n－1an＝，所以an＝(n≥2)．‎ 由题意知a1＝，符合上式，所以an＝.‎ ‎(3)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＝2an＋1，则Sn＝ .‎ 答案　n－1‎ 解析　由已知Sn＝2an＋1，得Sn＝2(Sn＋1－Sn)，‎ 即2Sn＋1＝3Sn，＝，而S1＝a1＝1，‎ 所以Sn＝n－1.‎ 高频考点三、由数列的递推关系求通项公式 例3、在数列{an}中，‎ ‎(1)若a1＝2，an＋1＝an＋n＋1，则通项公式an＝ .‎ ‎(2)在数列{an}中，若a1＝1，an＝an－1(n≥2)，则通项公式an＝ .‎ ‎(3)an＋1＝2an＋3，则通项公式an＝ .‎ 解析　(1)由题意得，当n≥2时，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝2＋(2＋3＋…＋n)＝2＋＝＋1.‎ 又a1＝2＝＋1，符合上式，因此an＝＋1. ‎ ‎(2)法一　因为an＝an－1(n≥2)，‎ 所以an－1＝·an－2，…，a2＝a1，‎ 以上(n－1)个式子的等号两端分别相乘得an＝a1···…·＝＝.‎ 法二　因为an＝···…···a1＝···…·1＝.‎ 答案　(1)＋1　(2)　(3)2n＋1－3‎ ‎【方法规律】由递推关系式求通项公式的常用方法 ‎(1)已知a1且an－an－1＝f(n)，可用“累加法”求an.‎ ‎(2)已知a1且＝f(n)，可用“累乘法”求an.‎ ‎(3)已知a1且an＋1＝qan＋b，则an＋1＋k＝q(an＋k)(其中k可由待定系数法确定)，可转化为等比数列{an＋k}．‎ ‎(4)形如an＋1＝(A，B，C为常数)的数列，可通过两边同时取倒数的方法构造新数列求解．‎ ‎【变式探究】 (1)已知数列{an}满足a1＝1，a2＝4，an＋2＋2an＝3an＋1(n∈N＋)，则数列{an}的通项公式an＝ .‎ ‎(2)在数列{an}中，a1＝3，an＋1＝an＋，则通项公式an＝ .‎ 解析　(1)由an＋2＋2an－3an＋1＝0，‎ 得an＋2－an＋1＝2(an＋1－an)，‎ ‎∴数列{an＋1－an}是以a2－a1＝3为首项，2为公比的等比数列，∴an＋1－an＝3×2n－1，‎ ‎∴n≥2时，an－an－1＝3×2n－2，…，a3－a2＝3×2，a2－a1＝3，‎ 将以上各式累加得 an－a1＝3×2n－2＋…＋3×2＋3＝3(2n－1－1)，‎ ‎∴an＝3×2n－1－2(当n＝1时，也满足).‎ 答案　(1)3×2n－1－2　(2)4－ 高频考点四　数列的性质 例4、已知an＝，那么数列{an}是(　　)‎ A．递减数列 B．递增数列 C．常数列 D．摆动数列 答案　B 解析　an＝1－，将an看作关于n的函数，n∈N ，易知{an}是递增数列．‎ ‎【变式探究】数列{an}满足an＋1＝，a8＝2，则a1＝ .‎ 答案　 ‎【感悟提升】(1)解决数列的单调性问题可用以下三种方法 ‎①用作差比较法，根据an＋1－an的符号判断数列{an}是递增数列、递减数列或是常数列．‎ ‎②用作商比较法，根据(an＞0或an＜0)与1的大小关系进行判断．‎ ‎③结合相应函数的图象直观判断．‎ ‎(2)解决数列周期性问题的方法 先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值．‎ ‎(3)数列的最值可以利用数列的单调性或求函数最值的思想求解．‎ ‎【举一反三】(1)数列{an}满足an＋1＝a1＝，则数列的第2015项为 ．‎ ‎(2)设an＝－3n2＋15n－18，则数列{an}中的最大项的值是(　　)‎ A. B. C．4 D．0‎ 答案　(1)　(2)D 解析　(1)由已知可得，a2＝2×－1＝，‎ a3＝2×＝，‎ a4＝2×＝，‎ a5＝2×－1＝，‎ ‎∴{an}为周期数列且T＝4，∴a2015＝a3＝. ‎ ‎(2)∵an＝－32＋，由二次函数性质，得当n＝2或3时，an最大，最大值为0.‎ 高频考点五、用函数思想解决数列的单调性问题 例5、数列{an}的通项公式是an＝n2＋kn＋4.‎ ‎(1)若k＝－5，则数列中有多少项是负数？n为何值时，an有最小值？并求出最小值．‎ ‎(2)对于n∈N ，都有an＋1>an.求实数k的取值范围．‎ 解　(1)由n2－5n＋4<0，解得1－2.原因是忽略了数列作为函数的特殊性，即自变量是正整数.　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎【变式探究】‎ 已知数列{an}中，an＝1＋(n∈N ，a∈R，且a≠0)．‎ ‎(1)若a＝－7，求数列{an}中的最大项和最小项的值；‎ ‎(2)若对任意的n∈N ，都有an≤a6成立，求a的取值范围．‎ 解　(1)∵an＝1＋(n∈N ，a∈R，且a≠0)，‎ 又∵a＝－7，∴an＝1＋.‎ 结合函数f(x)＝1＋的单调性，可知1>a1>a2>a3>a4，‎ a5>a6>a7>…>an>1(n∈N )．‎ ‎∴数列{an}中的最大项为a5＝2，最小项为a4＝0.‎ ‎ ‎ ‎1. （2018年北京卷）设是等差数列，且a1=3，a2+a5=36，则的通项公式为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎2. （2018年北京卷）“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于．若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】因为每一个单音与前一个单音频率比为，所以，又，则，故选D。‎ ‎1.【2017课标1，理4】记为等差数列的前项和．若，，则的公差为 A．1 B．2 C．4 D．8‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为，即，则，即，解得，故选C.‎ ‎2.【2017课标1，理4】记为等差数列的前项和．若，，则的公差为 A．1 B．2 C．4 D．8‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为，即，则，即，解得，故选C.学 ^ ‎ ‎1．（2014·江西卷）已知首项都是1的两个数列{an}，{bn}(bn≠0，n∈N )满足anbn＋1－an＋1bn＋2bn＋1bn＝0.‎ ‎(1)令cn＝，求数列{cn}的通项公式；‎ ‎(2)若bn＝3n－1，求数列{an}的前n项和Sn.‎ ‎2．（2014·新课标全国卷Ⅰ] 已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an≠0，anan＋1＝λSn－1，其中λ为常数．‎ ‎(1)证明：an＋2－an＝λ.‎ ‎(2)是否存在λ，使得{an}为等差数列？并说明理由．‎ ‎【解析】(1)证明：由题设，anan＋1＝λSn－1，an＋1an＋2＝λSn＋1－1，‎ 两式相减得an＋1(an＋2－an)＝λan＋1.‎ 因为an＋1≠0，所以an＋2－an＝λ.‎ ‎(2)由题设，a1＝1，a‎1a2＝λS1－1，可得 a2＝λ－1，‎ 由(1)知，a3＝λ＋1.‎ 若{an}为等差数列，则‎2a2＝a1＋a3，解得λ＝4，故an＋2－an＝4.‎ 由此可得{a2n－1}是首项为1，公差为4的等差数列，‎ a2n－1＝4n－3；‎ ‎{a2n}是首项为3，公差为4的等差数列，a2n＝4n－1.‎ 所以an＝2n－1，an＋1－an＝2.‎ 因此存在λ＝4，使得数列{an}为等差数列．‎ ‎3．（2014·新课标全国卷Ⅱ] 已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋1.‎ ‎(1)证明是等比数列，并求{an}的通项公式；‎ ‎(2)证明＋＋…＋＜.‎ ‎【解析】(1)由an＋1＝3an＋1得an＋1＋＝3.‎ 又a1＋＝，所以是首项为，公比为3的等比数列，所以an＋＝，因此数列{an}的通项公式为an＝.‎ ‎ ‎ ‎4．（2014·重庆卷）设a1＝1，an＋1＝＋b(n∈N )．‎ ‎(1)若b＝1，求a2，a3及数列{an}的通项公式．‎ ‎(2)若b＝－1，问：是否存在实数c使得a2n0)，因为所有AnBn相互平行且a1＝1，a2＝2，所以S梯形A1B1B‎2A2＝‎3m，当n≥2时，＝＝＝，‎ 故a＝a，‎ a＝a，‎ a＝a，‎ ‎……‎ a＝a 以上各式累乘可得a＝(3n－2)a，因为a1＝1，‎ 所以an＝.‎ ‎6．（2013·辽宁卷）下面是关于公差d>0的等差数列的四个命题：‎ p1：数列是递增数列；‎ p2：数列是递增数列；‎ p3：数列是递增数列；‎ p4：数列是递增数列．‎ 其中的真命题为(　　)‎ A．p1，p2 B．p3，p‎4 C．p2，p3 D．p1，p4‎ ‎【答案】D　‎ ‎【解析】因为数列{an}中d>0，所以{an}是递增数列，则p1为真命题．而数列{an＋3nd}也是递增数列，所以p4为真命题，故选D. ‎ ‎7．（2013·全国卷）等差数列{an}前n项和为Sn.已知S3＝a，且S1，S2，S4成等比数列，求{an}的通项公式．‎ ‎.‎