数学文卷·2017届四川省宜宾第三中学高三12月月考（2016 9页

高2014级高三上期12月月考 数学文科试题 满分：150分 时间：120分钟 ‎ 第I卷 一．选择题：1、设集合，，则（ ）‎ A．B．C．D．‎ ‎2、若复数z满足 (i为虚数单位)，则复数z的虚部为 ‎(A)1 (B)-1 (C)i (D)-i ‎3、函数的定义域是 A.B.C.D.‎ ‎4、已知是公差为1的等差数列，为的前项和，若，则（）‎ A．B．C．D．‎ ‎5、已知命题，命题，若是的必要不充分条件，则实数a的取值范围是 A． B． C． D．‎ ‎6、已知x, y满足不等式组，则的最大值为 A．8 B．‎10C．12 D．14‎ ‎7、要计算的结果，下面程序框图中的判断框内可以填（）‎ A． B．C．D．‎ ‎8、把函数图象上各点的横坐标缩小到原来的（纵坐标不变），再将图象向右平移个单位，那么所得图象的一条对称轴为（ ）‎ A.B.C.D.‎ ‎9、某四棱锥的三视图如图所示（单位：cm),则该四棱锥的表面积是（）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎10、已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D、E分别是边AB、BC的中点，连接DE并延长到点F，使得，则 ‎ A． B． C． D．‎ 11、 已知正实数，满足，则的最小值是（）‎ A．B．C．D．6‎ ‎12、定义域为的连续可导函数，若满足以下两个条件：①的导函数没有零点，②对，都有.则关于方程有（ ）个解.‎ A．2 B．‎1 C．0 D．以上答案均不正确 第Ⅱ卷 二．填空题：13、曲线在点处的切线方程为____________‎ ‎14、定义在上的函数满足，.现有以下三种叙述：①是函数的一个周期；②的图象关于直线对称；③是偶函数.其中正确的是 ‎15、在平面直角坐标系中，过点的直线与圆相交于两点．若点恰好是线段的中点，则直线的方程为_________．‎ ‎16、已知函数，若对任意的，，恒有成立，则实数的取值范围是.‎ 三．解答题：17．已知数列的首项，前项和为，且． ‎ ‎（1）设，求数列的通项公式； （2）求数列的前项和．‎ ‎18、已知函数的最大值为2.(1)求函数在上的单调递减区间;‎ ‎(2)△ABC中,,角A、B、C所对的边分别是a、b、c,且C=60°,c=3,求△ABC的面积.‎ ‎19、如图，已知四边形ABCD和BCEG均为直角梯形，AD∥BC，CE∥BG，且∠BCD=∠BCE=，‎ 平面ABCD⊥平面BCEG，BC=CD=CE=2AD=2BG=2。‎ ‎（Ⅰ）求证：EC⊥CD；‎ ‎（Ⅱ）求证：AG∥平面BDE；‎ ‎（Ⅲ）求几何体EG﹣ABCD的体积。‎ ‎20、某校从参加高一年级期中考试的学生中抽出60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段，‎ ‎，，，然后画出如下部分频率分布直方图.观察图形的信息，回答下列问题：‎ ‎（1）求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图；‎ ‎（2）估计这次考试的及格率（60分及60分以上为及格）和平均分；‎ ‎（3）把从分数段选取的最高分的两人组成B组，分数段的学生组成C组，现从B，C两组中选两人参加科普知识竞赛，求这两个学生都来自C组的概率.‎ ‎21.设函数．‎ ‎（1）当时，在上恒成立，求实数的取值范围；‎ ‎（2）当时，若函数在上恰有两个不同的零点，求实数的取值范围；‎ ‎（3）是否存在常数，使函数和函数在公共定义域上具有相同的单调性？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．‎ ‎22、（10分）在平面直角坐标系xOy中，已知曲线，以平面直角坐标系xOy的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线．‎ ‎（1）将曲线上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的、2倍后得到曲线，试写出直线的直角坐标方程和曲线的参数方程；‎ ‎（2）在曲线上求一点P，使点P到直线的距离最大，并求出此最大值．‎ ‎12月月考（‎2016年12月15日）答案 ‎1-12:AADBA BCADC BB ‎13-16:;①②③‎ ‎17.解：（1）由 得 ‎ 两式相减得 …… 3分 ∴　‎ ‎ 即 ………… 4分 ‎ 又 ∴ ，‎ ‎ ∴ … 6分 ∴　数列是首项为，公比为的等比数列 ‎ ‎ ∴　 … 8分 ‎（2）由（1）知 … 9分 ‎ ∴　‎ ‎．………… 12分 18. 解(1)由题意,的最大值为,所以. 而,于是...2分 ‎.为递减函数,则满足...4分 即....5分 所以在上的单调递减区间为. ....6分 ‎(2)设△ABC的外接圆半径为,由题意,得...7分 化简,得...8分 由正弦定理,得,. ①...10分 由余弦定理,得,即. ②...11分 将①式代入②,得.‎ 解得,或 (舍去).. ...12分 ‎19、解：（Ⅰ）证明：由平面ABCD⊥平面BCEG于BC，CE⊥BC，‎ CE平面BCEG，∴EC⊥平面ABCD，…3分 又CD平面BCDA，故EC⊥CD…4分 ‎（Ⅱ）证明：在平面BCEG中，过G作GN⊥CE交BE于M，连DM，则由已知知；MG=MN，MN∥BC∥DA，且，∴MG∥AD，MG=AD，故四边形ADMG为平行四边形，∴AG∥DM…6分 ‎∵DM平面BDE，AG平面BDE，∴AG∥平面BDE…8分 ‎（Ⅲ）解：.....12分 ‎20、【答案】（1）0.3；（2）71；（3）‎ 试题分析：（I）频率分布直方图中，小矩形的面积等于这一组的频率，而频率的和等于1，可求出分数在70，80）内的频率，即可求出矩形的高，补全这个频率分布直方图.（II）累加60分及60分以上的各组频率可得到这次考试的及格率，再在同一组数据用该组区间的中点值作为代表，将中点值与每一组的频率相差再求出它们的和即可求出本次考试的平均分.（III）分别求出从B，C两组中选两人的基本事件总数和这两个学生都来自C组的基本事件个数，代入古典概型概率公式，可得答案 解：（1）因为各组的频率值和等于1，故第四组的频率为 ‎，...2分 直方图如图所示.....4分 ‎（2）依题意60分以上的分数在第三，四，五，六组频率和为 ‎，‎ 所以抽样学生成绩的合格率为75%......6分 利用组中值估算抽样学生的平均数 ‎=‎ 估计这次考试的平均数是71分...8分 （3） 分数段的学生人数为：人，即C组只有3人；把从B组抽取的2人记为、；组的3人记为、、，则从B、C两组的5人中抽选2人去参加竞赛的基本事件有：（b1,b2）,（b1,c1）,（b1,c2）,（b1,c3）,（b2,c1）,（b2,c2）,（b2,c3）,（c1,c2）,（c1,c3）,（c2,c3）共10种.....10分 设选中的2人都来C组的事件为,则包含的基本事件有（c1,c2）,（c1,c3）,（c2,c3）共3种..11分 因此.故选中的2人都来自C组的概率为.....12分 ‎21.解：（1）当时，由得，‎ ‎∵，∴，∴有在上恒成立，...1分 令，....2分 由得，‎ 当，∴在上为减函数，在上为增函数，....3分 ‎∴，∴实数的取值范围为；.....4分 ‎（2）当时，函数，‎ 在上恰有两个不同的零点，即在上恰有两个不同的零点，....5分 令，则，‎ 当，；当，，‎ ‎∴在上单减，在上单增，，....6分 又，.......7分 如图所示，所以实数的取值范围为.....8分 ‎（3）函数和函数在公共定义域为，‎ ‎∴在单调递减，在上单调递增，...9分 函数，‎ 时，恒成立，在上单调递增，不合题意，...10分 时，当时，当时，，‎ 在上单调递减，在上为单调递增，....11分 要使与具有相同的单调性，须，解得．‎ 存在常数时，使与具有相同的单调性．....12分 ‎17（1）直线：，曲线：；（2）点P（），‎ 此时．‎ 试题分析：（1）由公式可化直线的极坐标方程为直角坐标方程，设曲线点坐标为与之对应的曲线上的点为，则，解得代入曲线的方程可得方程；（2）由参数方程要设设点P的坐标，由点P到直线的距离公式求得距离，由两角和与差的正弦公式及正弦函数的性质可得最大值．‎ 试题解析：（1）由题意知，直线的直角坐标方程为：，...2分 ‎∵曲线的直角坐标方程为：，‎ ‎∴曲线的参数方程为：．....4分 （2） 设点P的坐标，....5分 ‎ 则点P到直线的距离为：，...7分 ‎∴当sin（600－θ）=-1时，..8分 点P（），...9分 此时．.... 10分 考点：极坐标方程与直角坐标方程的互化，相关点法求轨迹方程，点到直线的距离公式．‎