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- 2021-06-11 发布
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安徽省滁州市定远县重点中学2020届高三5月模拟(文)
全卷满分150分,考试用时120分钟
第I卷 选择题(共60分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。)
1.集合,,若 ,则的取值范围是
A. B.
C. D.
2.已知命题直线与相交但不垂直;命题
, ,则下列命题是真命题的为
A. B.
C. D.
4.某四棱锥的三视图如图所示,其中,且.若四个侧面的面积中最小的为,则的值为
A. B. C. D.
5.已知光线从点射出,经过线段(含线段端点)反射,恰好与圆相切,则
A. B.
C. D.
A. 0 B. 4
C. D.
7.为比较甲,乙两地某月时的气温,随机选取该月中的天,将这天中时的气温数据(单位:℃)制成如图所示的茎叶图,考虑以下结论:①甲地该月时的平均气温低于乙地该月时的平均气温;②甲地该月时的平均气温高于乙地该月时的平均气温;③甲地该月时的气温的中位数小于乙地该月时的气温的中位数;④甲地该月时的气温的中位数大于乙地该月时的气温的中位数.其中根据茎叶图能得到的正确结论的编号为
A. ①③ B. ①④
C. ②③ D. ②④
8.“珠算之父”程大位是我国明代著名的数学家,他的应用巨著《算法统综》中有一首“竹筒容米”问题:“家有九节竹一茎,为因盛米不均平,下头三节四升五,上梢四节三升八,唯有中间两节竹,要将米数次第盛,若有先生能算法,也教算得到天明.”((注)四升五:4.5升,次第盛:盛米容积依次相差同一数量.)用你所学的数学知识求得中间两节竹的容积为
A. 2.2升 B. 2.3升
C. 2.4升 D. 2.5升
9.已知抛物线的焦点为,点在抛物线上,以为边作一个等边三角形,若点在抛物线的准线上,则
A. 1 B. 2 C. 2 D. 2
10.函数的图象可能是
11.若函数的图象向左平移个单位长度后关于轴对称,则函数在区间上的最小值为
A. B.
C. 1 D.
12.已知函数,若关于的方程恰有三个不相等的实数解,则的取值范围是
A. B. C. D.
第II卷 非选择题(共90分)
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.某校高三科创班共48人,班主任为了解学生高考前的心理状况,将学生按1至48的学号用系统抽样方法抽取8人进行调查,若抽到的最大学号为48,则抽到的最小学号为______.
14.在△ABC中,已知C = 120°,sinB = 2 sinA,且△ABC的面积为,则AB的长为____.
15.设变量x,y满足约束条件,则目标函数的最大值为______.
16.已知是上的偶函数,且当时,,则不等式的解集为__ .
三、解答题(本大题共6小题,共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。)
17. (本小题满分12分)
已知等差数列是递增数列,且,.
求数列的通项公式;
若,求数列的前项和.
18. (本小题满分12分)
今年年初,习近平在告台湾同胞书发表40周年纪念会上的讲话中说道:“我们要积极推进两岸经济合作制度化打造两岸共同市场,为发展增动力,为合作添活力,壮大中华民族经济两岸要应通尽通,提升经贸合作畅通、基础设施联通、能源资源互通、行业标准共通,可以率先实现金门、马祖同福建沿海地区通水、通电、通气、通桥要推动两岸文化教育、医疗卫生合作,社会保障和公共资源共享,支持两岸邻近或条件相当地区基本公共服务均等化、普惠化、便捷化.”某外贸企业积极响应习主席的号召,在春节前夕特地从台湾进口优质大米向国内100家大型农贸市场提供货源,据统计,每家大型农贸市场的年平均销售量单位:吨,以,,,,,,分组的频率分布直方图如图所示.
(1)求直方图中的值和年平均销售量的众数和中位数;
(2)在年平均销售量为,,,的四组大型农贸市场中,用分层抽样的方法抽取11家大型农贸市场,求年平均销售量在,,的农贸市场中应各抽取多少家?
(3)在(2)的条件下,再从这三组中抽取的农贸市场中随机抽取2家参加国台办的宣传交流活动,求恰有1家在组的概率.
19. (本小题满分12分)
如图所示,四棱锥中,菱形ABCD所在的平面,,E是BC中点,M是PD的中点.
求证:平面平面PAD;
若F是PC上的中点,且,求三棱锥的体积.
20. (本小题满分12分)
已知抛物线与椭圆有一个相同的焦点,过点且与轴不垂直的直线与抛物线交于,两点,关于轴的对称点为.
(1)求抛物线的方程;
(2)试问直线是否过定点?若是,求出该定点的坐标;若不是,请说明理由.
21. (本小题满分12分)
已知.
(1)若,讨论函数的单调性;
(2)当时,若不等式在上恒成立,求的取值范围.
请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。
22. (本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为 (θ为参数),在以O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,直线l: (m为常数).
(1)求曲线C的普通方程与直线l的直角坐标方程;
(2)若直线l与曲线C相交于A、B两点,当|AB|=4时,求实数m的值.
23. (本小题满分10分)选修4-5 不等式选讲
已知函数.
(1)若不等式的解集为,求实数的值;
(2)在(1)的条件下,若,使得,求实数的取值范围.
参考答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
B
A
C
B
D
D
A
D
B
A
A
C
1.B
【解析】由题意求出,,要使 ,则.
根据题意,可得,,要使 ,则,故选B.
2.A
【解析】命题 ,即直线和直线互相垂直,故命题错误; 命题当时不等式成立,故命题正确;综上可知, 正确,故选A.
3.C
【解析】
∴
即。故选:C.
4.B
【解析】该几何体如下图所示,因为,
所以,三角形APD的面积最小,即,
所以,,解得:
故选:B
5.D
【解析】如图,
关于对称点,要使反射光线与圆相切,只需使得射线与圆相切即可,而直线的方程为:,直线为:.
由,得,结合图象可知: .故选D.
6.D
【解析】因为与向量共线,所以,解得, ,故选D.
7.A
【解析】由已知的茎叶图,我们易分析出甲、乙甲,乙两地某月14时的气温抽取的样本温度,进而求出两组数据的平均数、中位数可得答案.
由茎叶图中的数据,我们可得甲、乙甲,乙两地某月14时的气温抽取的样本温度分别为:
甲:26,28,29,31,31,
乙:28,29,30,31,32,
可得:甲地该月14时的平均气温:(26+28+29+31+31)=29,
乙地该月14时的平均气温:(28+29+30+31+32)=30,
故甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温;
甲地该月时的气温的中位数29,
乙地该月14时的气温的中位数30,
所以甲地该月时的气温的中位数小于乙地该月时的气温的中位数.故选:A.
8.D
【解析】设从下至上各节容积分别为a1,a2,…,a9,则{an}是等差数列,设公差为d,由题意利用等差数列通项公式列出方程组,由此能求出中间两节的容积.
设从下至上各节容积分别为a1,a2,…,a9,
则{an}是等差数列,设公差为d,
由题意得,
解得a1=1.6,d=﹣0.1,
∴中间两节的容积为:a4+a5=(1.6﹣0.1×3)+(1.6﹣0.1×4)=2.5(升).故选:D.
9.B
【解析】抛物线的焦点坐标,
由抛物线的定义可得等于到准线的距离,
因为在准线上,所以与准线垂直与轴平行,
因为三角形为正三角形,
所以
可得直线,
可得,
可得,则,,
等于到准线的距离,故选B.
10.A
【解析】由可得f(x)为奇函数,再由,>0,可判断出函数图像,可得答案.
解:由题意得:,
故f(x)为奇函数,故B、C项不符合题意,又,>0,
故D项不符合题意,故选A.
11.A
【解析】函数的图象向左平移个单位长度后,
图象所对应解析式为:,
由关于轴对称,则,
可得,,又,所以,
即,
当时,所以,,故选A.
12.C
【解析】关于的方程恰有三个不相等的实数解,
即方程恰有三个不相等的实数解,
即与有三个不同的交点.
令,
当时,,函数单调递减;
当时,,函数单调递增;
且当时,,
当时,,,
当时,,
据此绘制函数的图像如图所示,
结合函数图像可知,满足题意时的取值范围是 .本题选择C选项.
13.6
【解析】由系统抽样方法从学号为1到48的48名学生中抽取8名学生进行调查,把48人分成8组,抽到的最大学号为48,它是第8组的最后一名,则抽到的最小学号为第一组的最后一名6号.
故答案为:6.
14.
【解析】在△ABC中,由sinB=2sinA,利用正弦定理可得:b=2a.
∴S△ABC,解得a.
∴b=4.
∴c2=b2+a2﹣2bacosC=16+4﹣2cos120°=28,解得c,即AB=。故答案为
15.18
【解析】由约束条件作出可行域如图,
,
化目标函数为,
由图可知,当直线过A时,直线在y轴上的截距最大,z有最大值为18.
故答案为:18.
16.
【解析】对分类,找到的解集,再求的解集
时,,
①当时,,
解,即得或,
或
②当时,
解即得
当时,解集为或
是上的偶函数,
由对称性可知当时,解集为或
解集为或或
时,或或
解得或或
17.(1);(2)
【解析】设首项为,公差为d的等差数列是递增数列,且,.
则:,解得:或9,或1,由于数列为递增数列,
则:,.故:,则:.
由于,则:.
所以:.
18.(1)0.0075,230,224;(2)3家,2家,1家;(3)
【解析】由直方图的性质得:,
解方程得,直方图中.年平均销售量的众数是,
,年平均销售量的中位数在内,
设中位数为a,则:,
解得,年平均销售量的中位数为224.
年平均销售量为的农贸市场有:,
年平均销售量为的农贸市场有:,
年平均销售量为的农贸市场有:,
抽取比例为:,
年平均销售量在的农贸市场中应抽取家,
年平均销售量在的农贸市场中应抽取家,
年平均销售量在的农贸市场中应抽取家,
故年平均销售量在,,的农贸市场中应各抽取3家,2家,1家.
由知年平均销售量在,,的农贸市场中应各抽取3家,2家,1家.
设从这三组中抽取的农贸市场中随机抽取2家参加国台办的宣传交流活动,
基本事件总数,
恰有1家在组包含的基本事件的个数,
恰有1家在组的概率.
19.(1)证明:连接,
因为底面为菱形,,所以是正三角形,
因为是中点,所以,又,所以,
因为平面,平面,所以,
又,所以平面
又平面,所以平面平面.
(2)因为,则,
所以
.
20.(1);(2)
【解析】(1)由题意可知抛物线的焦点为椭圆的右焦点,坐标为,
所以,所以抛物线的方程为;
(2)【解法一】因为点与点关于轴对称
所以设,,,
设直线的方程为,
代入得:,所以,
设直线的方程为,
代入得:,所以,
因为,,所以,即,
所以直线的方程为,必过定点.
【解法二】
设,,,
因为点与点关于轴对称,所以,
设直线的方程为,
代入得:,所以,
设直线的方程为,
代入得:,所以,
因为,所以,即,
所以直线的方程为,必过定点.
21.(1)的定义域为
∵,,
∴当时,;时,
∴函数在上单调递减;在上单调递增.
(2)当时,
由题意,在上恒成立
①若,当时,显然有恒成立;不符题意.
②若,记,则,
显然在单调递增,
(i)当时,当时,
∴时,
(ii)当,,
∴存在,使.
当时,,时,
∴在上单调递减;在上单调递增
∴当时,,不符合题意
综上所述,所求的取值范围是
22.(1)解:曲线C的参数方程为 (θ为参数),普通方程为(x﹣1)2+(y+1)2=16,
直线l: ,即ρsinθ+ρcosθ=4m,直角坐标方程为x+y﹣4m=0
(2)解:由题意,圆心到直线的距离d= =2 ,
∴ =2 ,∴m=±
23.(1)3(2)
【解析】(1)不等式f(x)≤4,即|x﹣a|≤4,即﹣4≤x﹣a≤4,求得 a﹣4≤x≤a+4.
再根据不等式f(x)≤4的解集为{x|﹣1≤x≤7},可得a﹣4=﹣1,且a+4=7,求得 a=3.
(2)在(1)的条件下,若f(x)+f(x+5)<4m成立,即|x﹣3|+|x+2|<4m成立,
故(|x﹣3|+|x+2|)min<4m,
而|x﹣3|+|x+2|≥|(x﹣3)+(﹣x﹣2)|=5,
∴4m>5,解得:m>,
即m的范围为(,+∞).